26.2 阶段强化专训

专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．
利用反比例函数的定义求解析式
1．若y＝(m＋3)2－10是反比例函数，试求其函数解析式．
利用反比例函数的性质求解析式
2．已知函数y＝(n＋3)2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．
利用反比例函数的图象求解析式
3．(2015·广安)如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y ＝(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，＝，B是线段的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数解析式；
(2)点C的坐标及反比例函数解析式．
(第3题)
利用待定系数法求解析式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，，求y与x的函数解析式．【导学号：16872014】
利用图形的面积求解析式
5．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数解析式．
(第5题)
利用实际问题中的数量关系求解析式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2
h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
专训2反比例函数与一次、二次函数的综合应用名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，有时也与二次函数综合考查其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数解析式及求与函数图象有关的几何图形的面积等．
反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．如图，函数y＝k(x－10)和函数y＝(其中k是不等于0的常数)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为( )
A．①③B．①④C．②③D．②④
2．(中考·仙桃)如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(1，2)，B两点，给
出下列结论：
(第2题)
①k1<k2；
②当x<－1时，y1<y2；
③当y1>y2时，x>1；
④当x<0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
求函数解析式
3．已知反比例函数y＝(k≠0)和一次函数y＝＋n(m≠0)的图象的一个交点A 的坐标为(－3，4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的解析式．
求面积
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，
B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，求△的面积．
(第4题)
求点的坐标
5．(2015·兰州)如图，，B(－1，2)是一次函数y1＝＋b与反比例函数y2＝图象的两个交点，⊥x轴于点C，⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1－y2>0?
(2)求一次函数解析式及m的值．
(3)P是线段上一点，连接，，若△和△面积相等，求点P的坐标．
(第5题)
有关最值的计算题
6．如图，一次函数y＝＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使＋最小．【导学号：16872015】
(第6题)
反比例函数与二次函数的综合
反比例函数与二次函数图象的位置判断
7．函数y＝与y＝－2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
(第8题)
8．(2015·襄阳)二次函数y＝2＋＋c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y＝＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
反比例函数与二次函数综合求最值问题
9．(2015·柳州)如图，在矩形中，＝3，＝2，F是上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(k>0)的图象与边交于点E.
(1)当F为的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，△的面积最大，最大面积是多少？【导学号：16872016】
(第9题)
反比例函数与二次函数综合求式子值问题
10．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过点A(1，4)，B(m，n)．
(1)求式子的值；
(2)若二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B，求式子m3n－2m2n＋3－4n的值；
(3)若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a(x－1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
答案
1．解：由反比例函数的定义可知∴m＝3.
∴此反比例函数的解析式为y＝.
易错点拨：该题容易忽略m＋3≠0这一条件，得出m＝±3的错误结论．
2．解：由题意得解得n＝2(n＝－4舍去)．
∴此函数的解析式是y＝.
3．解：(1)∵＝，B(0，2)，点A在x轴负半轴上，∴A(－2，0)．
设一次函数解析式为y＝＋b，将A(－2，0)，B(0，2)的坐标代入解析式得∴
∴一次函数解析式为y＝x＋2.
(第3题)
(2)如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D.
∵B为的中点，且∥，
∴＝.∴＝4.
又∵C点在第一象限，
∴设C(m，4)，代入y＝x＋2得m＝2.
∴C(2，4)．
将C(2，4)的坐标代入y＝(k≠0)，得k＝8.
∴反比例函数解析式为y＝.
4．解：∵y1与x成正比例，∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例，∴设y2＝(k2≠0)．
由y＝y1＋y2，得y＝k1x＋.
又∵y＝k1x＋的图象经过(1，2)和两点，
∴解此方程组得
∴y与x的函数解析式是y＝－x＋.
点拨：遇到这种组合型函数的问题时可以分而解之．要特别注意在设待定系数时，不能设成同一个字母k，而要分别设为k1，k2….一般来说它们是不相等的．
(第5题)
5．解：如图，延长交y轴于点E，由题意可知S矩形＝1，S矩形＝k.
∵S矩形＝6，∴k－1＝6.∴k＝7.
∴B点所在双曲线对应的函数解析式是y＝.
6．解：(1)由已知得＝300.
∴t与v之间的函数关系式为t＝(v＞0)．
(2)运了一半物资后还剩300×＝150(t)，150÷2＝75()．
因此剩下的物资要在2 h之内运到江边，运输速度至少为75 .
点拨：运用实际问题中的数量关系求反比例函数的关系式，必须是a×b＝c(c一定)型的数量关系．如：路程一定时，速度与时间的关系；总利润一定时，每件商品的利润与商品数量的关系等．
1．C2
3．解：∵函数y＝的图象经过点A(－3，4)，
∴4＝.∴k＝－12.∴反比例函数的解析式为y＝－.
又由题意知，一次函数y＝＋n的图象与x轴的交点为(5，0)或(－5，0)．
当直线y＝＋n经过点(－3，4)和(5，0)时，
有解得
∴y＝－x＋；
当直线y＝＋n经过点(－3，4)和(－5，0)时，
有解得
∴y＝2x＋10.
∴一次函数的解析式为y＝－x＋或y＝2x＋10.
技巧点拨：此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题，要特别注意距离与坐标的关系，考虑问题要全面．
4．解：(1)把(1，m)的坐标代入y＝，得m＝，∴m＝4.
∴点C的坐标为(1，4)．
把(1，4)的坐标代入y＝2x＋n，得4＝2×1＋n，解得n＝2.
(2)对于y＝2x＋2，令x＝3，则y＝2×3＋2＝8，
∴点P的坐标为(3，8)．
令y＝0，则2x＋2＝0，得x＝－1，
∴点A的坐标为(－1，0)．
对于y＝，令x＝3，则y＝.
∴点Q的坐标为.
∴△的面积＝·＝×(3＋1)×＝.
点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，解答这类题通常运用方程思想．
5．解：(1)在第二象限内，当－4<x<－1时，y1－y2>0.
(2)∵双曲线y2＝过，∴m＝－4×＝－2.
∵直线y1＝＋b过，B(－1，2)，
∴解得∴y1＝x＋.
(3)设，如图，过P作⊥x轴于M，⊥y轴于N.
∴＝t＋，＝－t.
∵S
△＝S
△
，∴··＝··，
即×(t＋4)＝×1×，解得t＝－，∴.
(第5题)
6．解：(1)将B(4，1)的坐标代入y＝，得1＝，∴k＝4.
∴y＝. 将B(4，1)的坐标代入y＝＋5，得1＝4m＋5，
∴m＝－1.∴y＝－x＋5.
(2)在y＝中，令x＝1，得y＝4，
∴A(1，4)．∴S＝×1×4＝2.
(3)如图，作点A关于y轴的对称点N，则N(－1，4)，作直线，交y轴于点P，点P即为所求．
设直线对应的函数解析式为y＝＋b，
由解得
∴y＝－x＋.∴.
7．B
8．C
9．解：(1)∵在矩形中，＝3，＝2，∴B(3，2)．∵F为的中点，∴F(3，1)，∵点F在反比例函数y＝(k>0)的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝(x>0)；
(2)由题意知E，F两点的坐标分别为，，∴S△＝·＝×k×＝k－k2＝－(k2－6 k＋9－9)＝－(k－3)2＋.当k＝3时，S△有最大值．S△最大值＝.
10．解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(1，4)，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝.∴＝4.
(2)∵二次函数y＝(x－1)2的图象经过点B(m，n)，∴n＝(m－1)2，∴n＝m2－2m＋1.∴m2－2m＝n－1.由(1)得＝4，∴原式＝4m2－8 m＋12－4n＝4(m2－2m)＋12－4n＝4(n－1)＋12－4n＝8.
(3)由(1)得反比例函数的解析式为y＝.令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2.∴反
比例函数y＝的图象与直线y＝x交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y ＝a(x－1)2的图象经过点(2，2)时，可得a＝2；当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a＝－.∵二次函数y＝a(x－1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0<a<2或a<－.
(第10题)。