辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷及答案

辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试
高三数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}
1B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．（1，4） B ．（1，2）
C ．()4,-+∞
D ．()2,-+∞
2．复数55i
13i
z +=-的实部与虚部之和为（ ） А．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
3．“0a b <<”是“41a b
-<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若P （0，1）为圆2
2
2150x x y ++-=的弦MN 的中点，则直线MN 的方程为（ ） A ．21y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =-+
D ．21y x =+
5．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A ．
22
1169x y -=
B ．22
143x y -= C ．22
189
x y -=
D ．2
214
x y -= 6．已知2a =
3log 6b =，0.20.9c =，则（ ）
A ．b a c >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
7．若函数()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
与函数()2cos 24g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
都在区间[],a b 上单调递增，则b a -的最大值
是（ ） A ．
524
π B ．
724
π C ．
4
π D ．
2348
π
8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AA BC =．若堑堵111ABC A B C -外接球的表面积是40π，则堑堵
111ABC A B C -体积的最大值是（ ）
A ．42
B ．82
C ．162
D ．322
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知1a >，则2
21
a a +-的取值可以是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论错误的是（ ）
A ．该款服装这3个月的销售额逐月递减
B 该款服装这3个月的销售总额为23.69万元
C ．该款服装8月份和9月份的销售额相同
D ．该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额
11．已知函数()231f x x x a x =++-，则下列结论正确的是（ ） A ．若()f x 没有零点，则(),0a ∈-∞ B ．若()f x 恰有2个零点，则()1,5a ∈ C ．若()f x 恰有3个零点，则1a =或5a = D ．若()f x ）恰有4个零点，则()5,a ∈+∞
12．已知函数()4ln 8f x x kx k =--+，若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，则k 的取值可以为（ ） A ．1
B ．e
C ．4
D ．2e
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()
a k
b a +⊥，则k =______．
14．7
12x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中2x 的系数是______．（用数字作答）
15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，1PA =，3AB BC ==，42AC =，则PB 与平面PAC 所成角的正切值为______．
16．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线:0l x my m --=与抛物线C 交于A
（点A 在第一象限），B 两点，且
2AF
BF
=，则ABO △（O 为坐标原点）的面积是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，990S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1
n n
b S =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）
某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．
（1）从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；
（2）从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19．（12分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，BC AD ∥，AD AB ⊥，E ，F 分别是棱AB ，PC 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAD ．
（2）若PA AB BC ==，2AD BC =，求平面AEF 与平面CDF 所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）
如图，某水域的两条直线型岸边1l ，2l 的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在1l ，2l 上），围出养殖区ABC △．
（1）若6km BC =，求养殖区ABC △面积（单位：2
km ）的最大值；
（2）若ABC △是锐角三角形，且4km AB =，求养殖区ABC △面积（单位：2
km ）的取值范围．
21．（12分）
已知函数()()()11ln f x a x x x =--+．
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在e x =处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式()
01
f x x <+在()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围． 22．（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(
)6,0A -，
)
6,0B ，动点(),E x y 满足直线AE 与BE 的斜率之积为1
3
-，
记E 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线．
（2）过点D （2，0）的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线3x =的垂线，垂足为G ，过点O 作OM QG ⊥，垂足为M ．证明：存在定点N ，使得MN 为定值．
辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试
高三数学试卷参考答案
1．D 由题意可得{}24A x x =-<<，则{}
2A B x x ⋃=>-． 2．A 因为()()()()()()55i 13i 1i 13i 55i 12i 13i 13i 13i 2
z +++++=
===-+--+，所以复数z 的实部与虚部之和为121-+=．
3．A 由0a b <<，得0a b -<，则41a b -<；由41a b -<，得0a b -<，即a b <．故“0a b <<”是“41a b -<”充分不必要条件
4．C 圆22
2150x x y ++-=的圆心为C （－1，0），则CP MN ⊥．因为()
10
101CP k -=
=--，所以1MN k =-，
故直线MN 的方程为1y x =-+．
5．B 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点（4，3）在该双曲线上．设该双曲线的方程为
()222210,0x y a b a b -=>>，则2
22224,431,
a a b
=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =
，b =22
143x y -=． 6．A
因为1 1.5<
<，0.20.91<，所以a c >
．因为33log 2log 0.5>=，
所以33log 6log 21 1.5=+>，所以b a >，故b a c >>． 7．A 令()2222
32
k x k k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈Z ，解得()512
12
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈Z ， 则()f x 的单调递增区间为5,12
12k k π
πππ⎡⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z ． 令()2224
k x k k π
πππ-≤-
≤∈Z ，解得()388
k x k k ππ
ππ-
≤≤+∈Z ， 则()g x 的单调递增区间为()3,88k k k ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ， 则[](),,12
8a b k k k π
πππ⎡
⎤
⊆-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，故58
12
24
b a π
π
π-≤
+
=
． 8．B 设2BC a =，则14AA a =．由题意易知堑堵111ABC A B C -外接球的球心是矩形11BCC B 的中心，
则堑堵111ABC A B C -外接球的半径R 满足22
22
1522AA BC R a ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 从而24540a ππ⨯=
，解得a =
12AA BC ==
设AB x =，AC y =，则22
8x y +=，故4xy ≤，当且仅当2x y ==时，等号成立，
故堑堵111ABC A B C -的体积11
822
V xy AA =
⋅≤． 9．BCD ()22
2212242611
a a a a +=-++≥+=--，当且仅当2a =时，等号成立．
10．ABD 由题意可知该款服装7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元， 则这3个月的销售总额为24万元，故A ，B ，D 错误，C 正确． 11．AC 当0x =时，()010f =≠，所以0x =不是()f x 的零点； 当0x ≠时，由()0f x =，即2310x x a x ++-=，得1
3a x x
=+
+， 则()f x 的零点个数等于直线y a =与函数1
3y x x
=+
+图象的交点个数． 作出函数1
3y x x
=+
+的大致图象（如图所示），由图可知A ，C 正确；B ，D 错误
12．CD 由题意可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，从而()0f x ≤等价于()14ln 8k x x +≥+， 即转化为函数()1y k x =+的图象恒在函数4ln 8y x =+的图象上方．
结合4ln 8y x =+的图象（图略）可知，当直线()1y k x =+与曲线4ln 8y x =+相切时，k 取得最小值． 设直线()1y k x =+与曲线4ln 8y x =+相切时，切点为()00,4ln 8A x x +． 因为4ln 8y x =+，所以4
y x
'=
，则00004ln 841x k x x +==+，整理得000ln 10x x x +-=． 设()ln 1g x x x x =+-，则()ln 2g x x '=+． 由()0g x '>，得21e x >；由()0g x '<，得2
1
0e
x <<． 则()g x 在2
10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在21,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
从而()2222min 1211110e e e e g x g ⎛⎫==-+-=--<
⎪⎝⎭
． 当01x <<时，ln 0x x <，10x -<，所以()0f x <，
当1x =时，()10f =，则方程000ln 10x x x +-=有唯一解01x =， 即A （1，8），从而04k =，故4k ≥．
13．
13
8
由题意可得()2,32a kb k k +=--+．因为()
a k
b a +⊥，所以()()223320k k ---+=， 即1380k -=，解得13
8
k =．
14．448-7
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项为()
()737721771212r
r
r
r r
r r
r T C x
C x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭
． 令
7322r -=，得1r =，则612
2227
2647448T C x x x =-=-⨯=-． 15．1
3
如图，取AC 的中点D ，连接BD ，PD ．因为AB BC =，所以BD AC ⊥．
又PA ⊥底面ABC ，所以PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，则BPD ∠为PB 与平面PAC 所成的角．
因为1PA =，3AB BC ==，42AC =，所以1BD =，3PD =，故1
tan 3
BD BPD PD ∠==．
16．
3216由题意可得,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则02p m -=，解得2p m =，故直线l 的方程为22p p x y =+． 联立2,222,p p x y y px ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
整理222
0y p y p --=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
12y y p +=，212y y p =-．
因为
2AF BF
=，所以122y y =-，所以22y p =-，则2
422
22y p p -=-=-，解得22p =，
从而123
2
y y -=
，故ABO △
的面积是12113222OF y y ⋅-==．
17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 则1126,
93690,
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a =，2d =．故()112n a a n d n =+-=．
（2）由等差数列前n 项和公式可得()()2212
n n n S n
n +=
=+，
则()111111n n b S n n n n =
==-++． 故11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． 18解：（1）从这15天中随机抽取4天的情况有4
15C 种，
其中符合条件的情况有134
1055C C C +种，
故所求概率13410554
15101051
1513713
C C C P C +⨯+===⨯⨯． （2）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．
()4104152013C P X C ===，()31
10541540
191
C C P X C ===，
()2210541530291C C P X C ===，()13105415203273C C P X C ===，()454
151
4273
C P X C ===． 则X 的分布列为
故()012341391912732733
E X =⨯+⨯
+⨯+⨯+⨯=． 19．（1）证明：取CD 的中点G ，连接EG ，FG ．
因为F ，G 分别是被PC ，CD 的中点，所以FG PD ∥，所以FG ∥平面PAD ．
因为BC AD ∥，且E 、G 分别是棱AB ，CD 的中点，所以EG AD ∥，所以EG ∥平面PAD ． 因为EG ，FG ⊂平面EFG ，且EG FG G ⋂=，所以平面EFG ∥平面PAD ． 因为EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面PAD ．
（2）解：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．
设2AB =，则A （0，0，0），C （2，2，0），D （0，4，0），E （1，0，0），P （0，0，2）． 因为F 是棱PC 的中点，所以F （1，1，1），所以()1,0,0AE =，()1,1,1AF =，
()2,2,0CD =-，()1,1,1CF =--．
设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z =
则11110,0
n AE x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11y =，得()0,1,1n =-． 设平面CDF 的法向量为()222,,m x y z =，
则22222220,0
m CD x y m CF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，得()1,1,2m =． 设平面AEF 与平面CDF 所成的锐二面角为θ， 则13
cos cos ,662
m n m n m n
θ⋅==
=
=⨯． 20．解：（1）由题意可知60BAC ∠=︒，6BC =．
在ABC △中，由定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠， 即2236AB AC AB AC +-⋅=．
因为222AB AC AB AC +≥⋅，所以22AB AC AB AC AB AC +-⋅≥⋅，即36AB AC ⋅≤． 故ABC △的面积113
sin 369322S AB AC BAC =
⋅∠≤⨯= 即养殖区ABC △面积的最大值为2
93km ．
（2）因为4AB =，60BAC ∠=︒，所以ABC △的面积1
sin 32
S AB AC BAC AC =⋅∠=． 在ABC △中，由正弦定理可得
sin sin AB AC
ACB ABC
=
∠∠，
则()4sin 120sin 2sin sin ACB AB ABC AC ACB ACB ︒-∠∠=
==+∠∠． 因为ABC △是锐角三角形，所以012090,
090,
ACB ACB ︒<︒-∠<︒⎧⎨
︒<∠<︒⎩所以3090ACB ︒<∠<︒
所以tan 3ACB ∠>
，所以10tan ACB
<<∠
则228tan ACB
<
+<∠，即28AC <<．
故(S =∈，即ABC △面积的取值范围是(． 21．解：（1）当2a =时，()()()211ln f x x x x =--+，则()1
ln 1f x x x
'=-
-+． 从而()11
e 11e e
f '=--+=-，因为()()()e 2e 1e 1e 3f =--+=-， 所以所求切线方程为()()1
e 3e e
y x --=--，
即1e 2e
y x =-+-（或2
e e 2e 0x y +-+=）．
（2）设()()()
1ln 11
f x a x
g x x x x -=
=-++， 则()()()
()
()()
22
2112111
11a x a x x a x g x x x x x +--+-+'=
-=-++． 当2a ≤时，因为1x >，所以()()2
2
2
2112110x a x x x x +-+≥-+=->，()0g x '<， 所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意．
当2a >时，设()()2
211h x x a x =+-+，()1420h a =-<，()2410h a a =+>，
所以存在唯一的()01,2x a ∈，使得()00h x =， 即存在()01,2x a ∈，使得()00g x '=．
当()01,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()01,x 上单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()0,x +∞上单调递减， 故()()010g x g >=，不符合题．综上，a 的取值范围为(]
,2-∞．
22．（1
13=-
，化简得(22162x y x +=≠， 所以C 是中心在原点，焦点在x 轴上，不含左、右顶点的椭圆．
（2）证明：由（1）知直线l 与x 轴不重合，可设l ：2x my =+， 联立222,1,6
2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()223420m y my ++-=． 设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则12243m y y m +=-
+，12223y y m =-+，224240m ∆=+>， 所以121112m y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
． 因为()13,G y ，()222,Q my y +，所以直线QG 的斜率为2121122122111112y y y y y my y y y --=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭
， 所以直线QG 的方程为()1123y y y x -=-，所以直线QG 过定点5,02H ⎛⎫
⎪⎝⎭． 因为OM QG ⊥，所以OHM △为直角三角形，
取OH 的中点5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1524MN OH ==，即MN 为定值． 综上，存在定点5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得MN 为定值．。