福建省南安第一中学2020学年高二数学上学期第一次阶段考试试题

福建省南安第一中学2020学年高二数学上学期第一次阶段考试试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．若，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．直线()1:4410l m x y -++=和()()2:4110l m x m y +++-=，若12l l ⊥，实数m 的值为（ ） A ．1或3-
B ．
12
或1
3-
C ．2或6-
D ．12-
或2
3
3．在数列{}n a 中，若12a =，()*121
n
n n a a n a +=
∈+N ，则5a =（ ） A ．
4
17
B ．
217 C ．
317
D ．
517
4．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．
52
5．已知点()2, 2,,3()1A B -，直线 10kx y --=与线段AB 有交点，实数k 的取值范围是（ ）
A ．3(,4),2⎛⎫-∞-+∞
⎪⎝⎭U B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ C ．3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U D ．34,2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
6．观察下列一组数据 11a =
235a =+ 37911a =++
413151719a =+++…
则10a 从左到右第一个数是（ ） A ．91
B ．89
C ．55
D ．45
7．关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．62,5
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．6,25⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D ．(][),22,-∞+∞U
8．已知实数满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为( ) A ．5
B ． 5
C ．25
D ．
5
5
9．把直线3
3
y x =
绕原点逆时针转动，使它与圆2223230x y x y ++-+=相切，则直线转动的最小正角的角度（ ）． A ．
2
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 10．数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为()421100,n a n n n N
*
=-≤≤∈，()64n
b
n n N *=-∈，
由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{}n c ，数列{}n c 的各项之和为（ ） A ．6788 B ．6812 C ．6800 D ．6824
二．多项选择题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分，每小题至少有二个项是符合题目要求，作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得4分）
11．下列说法正确的是（ ）
A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为
11
2121
y y x x y y x x --=--
C ． 点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)
D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 12．
是等差数列，n S 是其前项的和，且56,S S <，678,S S S =<，下列结论正确的是（ ）
A. 0d <
B. 70a =
C. 67n S S S 与均为的最大值
D. 95,S S >
13．设有一组圆224*
:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是（ ）
A ．存在k ，使圆与x 轴相切
B ．存在一条直线与所有的圆均相交
C ．所有的圆均不经过原点
D ．存在一条直线与所有的圆均不相交
三．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置） 14．等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L _____. 15. 已知0x >，0y >，且
36
22x y
+=．若247x y m m +>-恒成立，则m 的取值范围为________． 16．过P (1,2)的直线l 把圆2
2
450x y x +--=分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线l 的方程为_________.
17．已知M ，N 分别是曲线2222
12:4470,:20C x y x y C x y x +--+=+-=上的两个动点，P 为直
线10x y ++=上的一个动点，则PM PN ＋的最小值为____________ 四、解答题（本大题共6小题，共82.0分）
18. (本题满分13分)已知函数2
2
()56()f x x ax a a R =-+∈. （I ）解关于x 的不等式()0f x <；
（II ）若关于x 的不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或，求实数a 的值.
19.(本题满分13分)已知直线l 的方程为()220ax y a a R +--=∈．
（I ）求直线所过定点的坐标；（II ）当2a =时，求点()1,2A 关于直线l 的对称点B 的坐标； （III ）为使直线l 不过第四象限，求实数a 的取值范围．
20．(本题满分14分)已知数列{}n a 满足()2
*
12323n a a a na n n ++++=∈N L .
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若()*1
n n b n na =∈N ，n T 为数列{}1n n b b +的前n 项和，求证：12
n T <
21．(本题满分14分)在平面直角坐标xOy 中，圆22:4O x y +=与圆22
:(3)(1)8C x y -+-=相
交于PQ 两点． （I ）求线段PQ 的长．
（II ）记圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 上滑动，求MNC ∆面积最大时的直线NM 的斜率．
22．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足111a b ==，225
2
a b +=
，且3210a b =-.
（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（II ）设1122n n n c a b a b a b =+++L ，是否存在正整数k ，使n k c c ≥恒成立？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由.
23．(本题满分14分)已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足2PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线
E ，直线:4l y kx =-.
（I ）求曲线E 的轨迹方程；
（II ）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且
（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；
（III ）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.若有，请求出定点。

否则说明理由.
2020学年度秋季南安一中高二年第一次阶段考
数学科参考答案
1-5．A C B D D 6-10．A C B A C 11．AC 12． ABC 13． ABC
14．10 15. (,3)(4,)-∞+∞U 16．230x y -+= 17. 3
9.解析：由题意，设切线为y kx =，∴
2
|13|11k k
+=+.
∴0k =或3k =-.∴3k =-时转动最小．
∴最小正角为
2362
πππ
-=.故选A. 10．C 由题意可得112a b ==，等差数列{}n a 的公差为4，且100398a =， 等差数列{}n b 的公差为6，且100596b =，
易知数列{}n c 为等差数列，且公差为数列{}n a 和{}n b 公差的最小公倍数， 由于4和6的最小公倍数为12，所以，等差数列{}n c 的公差为12，
()21211210n c n n ∴=+-=-，由100100n n c a c b n N *≤⎧⎪≤⎨⎪∈⎩，即12103981210596n n n N *-≤⎧⎪
-≤⎨⎪∈⎩
，解得34n ≤，n *∈N ，
所以，等差数列{}n c 共有34项，该数列各项之和为3433
3421268002
⨯⨯+
⨯=本题选C 11．AC A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，C 中0+121
(
,)22
+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以C 正确，B 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =. 12． ABC
，则
，
，则，则
，
，
．
，∴
，
由
知
是中的最大值．从而ABC 均正确．故选ABC ．
13． ABC 根据题意得圆的圆心为（1，k ），半径为2k ，
选项A,当k=2k ，即k=1时，圆的方程为()()22
111x y -+-=，圆与x 轴相切，故正确； 选项B ，直线x=1过圆的圆心（1，k ），x ＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C,将（0，0）带入圆方程，有1+k 2＝k 4，不存在 k ∈N *使上式成立，所有圆不过原点，正确．
选项D,圆k ：圆心（1，k ），半径为k 2
，圆k +1：圆心（1，k +1），半径为（k +1）2
， 两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R ﹣r ＝2k +1，（R ﹣r ＞d ），∁k 含于C k +1之中， 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；故选：ABC 15
因为13613241
4(4)12(121222222
y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=
++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当3
2
x =
，6y =时，取等号，由题意得2127m m >-，解得4m >或3m <． 16． 当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，
当点()1,2P 是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短， 圆：()2
229x y -+=，圆心()2,0C ，20212
CP k -=
=--,1
2l k ∴= ,
∴直线方程是()1
212
y x -=
-，即230x y -+=， 17 3 求出圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称点为2
(-1,2)C '-，则||||PM PN +的最小值是12
12C C R R --'． 解：圆22
1:4470C x y x y +--+=的圆心1(2,2)C ，半径为11R = ，圆
222:20C x y x +-=，圆心2(1,0)C ，半径为21R =，圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称
点为2
(x,y)C '， x+1y+0++1=022y-0=1
x-1
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩ 解得x=-1y=-2⎧⎨⎩故2(-1,2)C '-
11222
1223PM PN PC R PC R C C '∴+≥-+-≥-==
18．解（I ）不等式()0f x <，可化为：()()230x a x a --<. 1分 ①当0a =时，不等式的解集为∅； 3分
②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为()2,3a a ； 5分 ③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为()3,2a a ； 7分 （II ）不等()2f x a ≥可化为：225620x ax a a -+-≥. 8分 由不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或可知，
1和4是方程225620x ax a a -+-=的两根 10分 故有2514
6214a a a =+⎧⎨
-=⨯⎩
，解得1a =. 12分
由1a =时方程为2540x x -+=的根为1或4，则实数a 的值为1. 13分 19．解（I ）直线l 的方程化简为()()1210a x y -+-=，点()1,1满足方程，故直线l 所过定点的坐标为()1,1． 3分 （II ）当2a =时，直线l 的方程为20x y +-=，设点B 的坐标为(),m n ， 4分
列方程组2
11
12202
2n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得：0m =，1n =，
故点()1,2A 关于直线l 的对称点B 的坐标为()0,1， 9分
（III ）把直线l 方程化简为2
22a a y x +=-+，由直线l 不过第四象限，得02202
a
a ⎧-≥⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，11
分
解得20a -≤≤，即a 的取值范围是[20]-，
． 13分 20． （I ）解：∵()2
12323n a a a na n
n ++++=∈*
N L ，
∴()()2
12312311n a a a n a n -++++-=-L （2n ≥，*N n ∈）， 2分 两式相减得：21n na n =-，∴()21
2n n a n n
-=
≥． 5分 当1n =时，11a =，满足上式， 6分
∴21
n n a n
-=
． 7分 （II ）证明：由（1）知21n n a n -=
，∴1121n n
b na n ==-， 9分 ∴()()11
111212122121n n b b n n n n +⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
， 11分
∴111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦L 13分 11112212
n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 14分 21． （I ）由圆O 与圆C 方程相减可知，相交弦PQ 的方程为330x y +-=． 2分 点（0，0）到直线PQ
的距离d ， 4分
5PQ == 6分
（Ⅱ）MC =
Q
NC =分
1
sin 2sin 2
MNC S MC NC MCN MCN ∆=
∠=∠(也可以直接说明MC NC ⊥) 当90MCN ∠=︒时，MNC S V 取得最大值． 8分 此时MC NC ⊥，又1CM k =则直线NC 为4y x =-+． 10分
由22
4
(3)(1)8
y x x y =-+⎧⎨
-+-=⎩，()1,3N 或()5,1N - 12分 当点()1,3N 时，3MN k =-， 13分 当点()5,1N -时，1
3
MN k =-
， 14分 22． （I ）解：设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的公差与公比分别为d ，q ， 1分
则5121210d q d q ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，解得2
12d q =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 3分
于是，21n a n =-，1
12n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 5分
（II ）解：由1122n n n c a b a b a b =+++L ，
即()21
11113521222n n c n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，① 6分
()2
3
111111352122222n
n c n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，② 7分 ①-②得：()2131111122122222n n
n c n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦L ， 9分
从而得1
2611992n n n c -+⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭． 11分
令1
61192n n n d -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,得16713122261n n d n d n n ++==+++,显然0n d >、113
1261
n n d d n +=+<+ 所以数列{}n d 是递减数列， 12分 于是，对于数列{}n c ，当n 为奇数时，即1c ，3c ，5c ，…为递减数列， 最大项为1
1c =，最小项大于29
； 13分
当n 为偶数时，即2c ，4c ，6c ，…为递增数列，最小项为212
c =-
，最大项大于零且小于2
9，
那么数列{}n c 的最小项为2c ． 故存在正整数2k =，使2n c c ≥恒成立． 14分
23．（I ）设点的坐标为 1分
由可得，
， 3分
整理可得
所以曲线的轨迹方程为. 5分 （II ）依题意，，且，则点到边的距离为 7分
即点
到直线
的距离
，解得
所以直线的斜率为. 9分
（III ）依题意，
，则
都在以
为直径的圆上
是直线上的动点，设 10分则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为， 11 又因为在曲线上
由，可得 12 即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点. 14分。