2018届高三数学文高考总复习课时跟踪检测十一 函数与

课时跟踪检测(十一) 函数与方程
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12
x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝x 2－1
2
D ．y ＝－x 3
解析：选B 函数y ＝log 12
x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－1
2
在(－1,1)上不是单调函数，
y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.
2．(2017·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选A 因为f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．
3．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个
D ．5个
解析：选B 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．
4．已知函数f (x )＝
2
3x
＋1
＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231
＋1
＋a ＝0，解得a ＝－12.
答案：－1
2
5．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是______．
解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)<0，即4＋2m －6<0，解得m <1. 答案：(－∞，1)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选C ∵y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数． 又f (1)＝－4，f (2)＝ln 2－2<ln e －2<0， f (3)＝ln 3>0.
∴零点在区间(2,3)上，故选C.
2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －2，x ≤0，
－1＋ln x ，x >0
的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．7
D ．0
解析：选B 法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，
－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x
＝e.
因此函数f (x )共有2个零点．
法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．
3．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.
4．(2016·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )
在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(－1,0)
D ．[－1,0)
解析：选D 当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1
3，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a
＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.
5．(2016·湖南考前演练)设x 0是函数f (x )＝2x －|log 2x |－1的一个零点，若a >x 0，则f (a )满足( )
A ．f (a )>0
B ．f (a )<0
C ．f (a )≥0
D ．f (a )≤0
解析：选A 当x >1时，f (x )＝2x －log 2x －1，易证2x >x ＋1>x .又函数y ＝2x 的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以2x >x ＋1>x >log 2x ，从而f (x )>0.故若a >1，有f (a )>0；若0<a ≤1，因为当0<x ≤1时，f (x )＝2x ＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2<0，所以x 0是f (x )唯一的零点，且0<x 0<1，所以f (a )>0，故选A.
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2， x >0，
－x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4，
c ＝－2.
令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，
该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
－x 2
－4x －2＋x ＝0，
解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：3
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
log 2(x ＋1)，x >0，－x 2
－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．
解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
8．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为______． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．
当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5,10)
9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.
证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，1
2，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .
∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－1
8， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.
又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，1
2上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭
⎫0，1
2，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－
1
2a
.
①当－12a ≤－1，即0<a ≤1
2时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤5，a ≥1，
∴无解．
②当－1<－12a <0，即a >1
2
时，
须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－12a －3－a ≤0，
a ≥1，
解得a ≥1，
∴a 的取值范围是[1，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x ≥0，
f (x ＋1)，x <0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞)
解析：选C 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≥0，
f (x ＋1)，x <0的图象如图所示，
作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，
即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根， 即有a <1，故选C.
2．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x )
x －4ln x 的零点个数．
解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3
x －4ln x －2(x >0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.
令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：
又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。