配套K12高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教案北师大版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数教案 北师大版必修4
1.1 周期现象整体设计教学分析本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为：观察图片，感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的.在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例.三维目标通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象.教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例，在生活中处处有数学的氛围感受，从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律，由此自然地展开新课.思路2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作，并请学生观察时针、分针和秒针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出，这种现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本，进而展开新课.推进新课新知探究提出问题①什么是周期现象？每人各自举出3个以上周期现象的实例.②周期现象与函数的概念有什么联系？③如何画出“散点图”？④如何理解“散点图”？图1中横坐标和纵坐标分别表示什么？活动:引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据)，教师引导学生观察表格中的数据,并发现规律，比如重复出现的几个数据.指导学生根据散点图中点的位置排列，进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表示的量.当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数.下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据，我们来研究H(t)这根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图(如图1).图1教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升华周期现象，丰富学生对周期现象的感知.例如：实例1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它位于浙江省北部，全长605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现，这是一种周期现象.实例2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后,在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子.实例3.我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程.实例 4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡，大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达4 000 ℃左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象，平均活动周期为11.2年.实例5.在医学上，心脏收缩和舒张有规律的交替进行，称为心动周期.心房与心室每收缩和舒张一次，即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为：首先两心房收缩，一般占0.1秒(以每分钟心跳75次计算)；继而心房舒张，持续0.7秒.当心房收缩时，心室处于舒张状态，持续0.5秒；心房进入舒张后不久，心室开始收缩，持续0.3秒，随即又进入舒张状态.在正常情况下，左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面，无论心房或心室，收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关，心率过快，心动周期时间就过短，心房和心室的舒张时间也过少，这样就会影响心脏内血液充盈程度，降低每次心搏的输出量.实例 6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行一次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮.只有这样，虫体才能得以继续充分生长发育.显然，蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约2个月完整地脱落1次.实例7.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置)，根据自己的出生日期，就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线，并总结出自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力，以便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例.实例8.化学元素的性质取决于核外电子的分布，而核外电子的分布是周期性地重复着类似的排列，于是,元素的性质也就出现了周期性的变化，根据这些变化科学家制定了元素周期表,以揭示元素周期性变化规律，最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性运动变化规律更是大量存在，如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等.根据以上实例，教师与学生一起归纳提高：在我们生活的周围存在着大量的周期规律，充分认识这些规律，就能更好地造福于人类、造福于社会，而本章三角函数正是刻画周期现象的一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在，并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见，数学来源于生活，又指导生活，学好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言，也是宇宙语言”的道理.讨论结果:①-④略.应用示例1.地球围绕着太阳转(图2)，地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗？图2活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析.解:根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.点评:理解周期现象及相关知识.2.图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.图33.图4是水车的示意图.水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，距离y随时间t的变化规律也具有周期性.图4点评:抓住周期现象与函数的内在联系，从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量，其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅速抓住本质的能力.变式训练走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么手臂的摆动满足什么规律呢？解:如图5，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置时，设θ＝∠PON为摆动的幅角，y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.图5知能训练课本习题1—1 1、2.课堂小结教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法，怎样从杂乱无章的现象中探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体会整章的风貌，让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀.作业1.课本习题1—1 3.2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子.设计感想本课时作为全章第一节开头，有仰望全章、激发探究、投石问路之意，因此在教案设计上应对教法、学法有一定设计，并对全章略做提点，也算抛砖引玉，以解学生之疑.本节通过创设一定的教学情境，让学生感知周期现象，并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量的周期现象的实例，以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来寻找规律.引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要，一开始不可要求学生机械地套用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素，每个学生都有着自己独特的体验，有了探索规律的过程，学生在面对新的现象或问题时，才能主动应用相关的策略，找到解决问题的方法.所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象，让学生放弃了自主探索、合作交流的机会，那才真是捡了芝麻丢了西瓜.习题详解习题1—11.解:由题意知钟摆的周期为T=1.8秒.∵1分钟=1.8×33+0.6秒,又41T=0.45, ∴钟摆在铅垂线的左边.点拨:根据钟摆的周期,可知在第一、四个41T 钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个41T 钟摆在铅垂线的右边.2.解:由题意,知钟摆的周期为T,则43T=5,所以T=320. 所以第三次经过M 点需要320-2=314秒. 点拨:根据题意,求出质点的运动周期即可.3.点拨:由摩天轮的转动周期,得8小时内转动24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐24×8×4=768人.备课资料一、周期现象1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象. 地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在12小时以下才能开花，在一定范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类，很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.2.流星雨是周期性的现象吗?流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名.英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现，它不仅数量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母，1992年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩，流星数目达到每小时400颗以上.天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现，极大日是10月8日，该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时120颗，其极大日一般接近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件， Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日，通常22日是极大日，该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.二、如何理解周期现象与三角函数的关系我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化，即f(x+k)=f(x)时，函数y=f(x)是一个周期函数.在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等.三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课件2北师大版必修4
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)每天晚上的新闻联播是周期现象.( ) (2)中国社会福利彩票中奖是周期现象.( ) (3)某中学(zhōngxué)每天上第一节课的时间是周期现象.( )
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【解析】(1)正确.每天晚上的新闻联播都是19:00播出. (2)错误.中国社会福利彩票中奖无规律可循，故不是周期现象. (3)正确.每天上第一节课的时间(shíjiān)是固定的. 答案：(1)√ (2)× (3)√
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(2)由数据表画出散点图如下(rúxià):
由图可知，在规定时间8:00至20:00之间，有6个小时时间可供运动， 时间为9:00至15:00.
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【方法技巧】通过散点图解决周期现象问题(wèntí)的步骤 (1)仔细审题，分析给定的数据. (2)建立适当的坐标系，将给定的数据以点的形式在坐标系中标出， 形成散点图. (3)观察画出的散点图的特征，解决有关问题(wèntí).
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 依据规定(guīdìng)，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上 表可以判断，一天内的8:00至20:00时之间，有多少时间可以供冲浪者 运动？
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【变式练习】我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时， 血压在增加或减少(jiǎnshǎo).下表是某人在1分钟内血压P与时 间t的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.
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[k12精品]高中数学第一章三角函数1.4.1任意角的正弦余弦函数1.4.2单位圆与周期性教案北师大版必修4
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1.4.1 任意角的正弦、余弦函数1.4.2 单位圆与周期性整体设计教学分析从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的变革.要使这次认知结构的变革在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系.因此,准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的.在初中，学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节教材的安排是以锐角三角函数为引子.由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆.利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.在三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.关于单位圆与周期性，教材上是根据在单位圆中，任意角的正弦、余弦函数定义得到周期函数的特征，然后通过分析两个等式直接下了定义.这样定义对学生来说来得有些突然，且没有应用例子.这样的效果使学生仅仅知道了周期函数及最小正周期的定义而不会应用，而定义的应用在好多的代数试题中有所涉及.因此，本教案设计时加了一个例题和两个变式训练，难度不大，算是抛砖引玉.同时,周期性作为函数的重要性质之一，在备课资料中做了扩展，以供学生课余时间进一步探究时查询，为学生的进一步探究提供一个跳板.以上内容在设计时都遵循了由易到难，由特殊到一般，由具体到抽象的认知规律，以便于学生接受并培养学生灵活运用知识的能力.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,教学时尽可能的利用信息技术，帮助学生更好地理解正弦、余弦函数的本质，激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学效果.三维目标1.通过回忆初中锐角的正弦函数定义，理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义，熟练记忆正弦、余弦函数值在各象限的符号；掌握周期函数的概念及最小正周期的意义.2.通过本节课的学习，使学生对正弦、余弦函数的概念有一个全新的认识，对本章第一节的周期现象有了具体的定量的分析；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学生的学习积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦函数定义及正弦、余弦函数值在各象限的符号；周期函数、最小正周期.教学难点：对任意角的正弦、余弦函数定义的深刻理解及周期函数的概念.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.教科书在定义任意角的正弦、余弦函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数，引入弧度的概念后的三角函数的写法.因此教师可先让学生看教科书上的三角函数初中定义，回忆锐角三角函数概念，借助于直角三角形表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的正弦、余弦奠定基础并引入单位圆，由此展开新课.思路 2.设疑引入，我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择.推进新课新知探究提出问题①复习初中锐角三角函数定义(多媒体投影)可问:sin α=________,cos α=____________②阅读课本，理解什么是单位圆.③将锐角α放到直角坐标系中，其正弦、余弦函数又是怎样的呢？④类比初中三角函数的定义，利用单位圆可否把锐角三角函数推广到任意角的三角函数呢？⑤当角α的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角α的正弦、余弦函数值的正负号分别是什么？活动:我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数.教师与学生一起探究，在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值:sin α＝斜边对边.然后设问：把角放到平面直角坐标系中，我们来看看会是什么情况呢？如图1在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆.给定一个锐角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则点P 的纵坐标v 是角α的正弦函数值，横坐标u 是角α的余弦函数值,即sin α＝v,cos α＝u.图1由图1可知，当α＝0时,sin0=v=0,cos0=u=1；当α＝2π时，sin 2π=v=1,cos 2π=u=0. 这样就得到定义在［0,2π］上的角α的正弦函数v=sin α和余弦函数u ＝cos α.以上显然不能包含所有的角，但是，我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数?一般地，如图2所示，在直角坐标系中,给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数,记作v=sinα；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数,记作u=cosα图2通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值.这样,我们就定义了任意角的三角函数y=sinx和y=cosx.它们的定义域为全体实数，值域为［-1,1］.利用课件出示图3，教师引导学生观察，当角α的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角α的正弦、余弦函数值的正负号的情况.教师要让学生自己思考探究，确切理解正弦、余弦函数值在各象限的符号情况，并指导学生记忆自己的探究所得.图3正弦、余弦函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号,取决于u,v的符号.当点P在第一、二象限时,纵坐标y＞0;点P在第三、四象限时,纵坐标y＜0.所以,正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示).同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的,即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.教师指导学生将自己的思考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用.在指导学生思考探究过程中，教师应点拨学生注意一些问题：尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数，但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到，用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数，不仅简单、方便，而且反映本质，这也是数形结合的充分体现，思考时注意领悟.教师还可以引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么?特别注意α既表示一个角,又表示一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.特别指出的是：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，因此sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“cos”是没有意义的.利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域,对于正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域是R.讨论结果:略.提出问题①观察图4，根据以上知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？②怎样定义周期函数？③怎样确定最小正周期？图4活动:教师引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点:我们知道,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系呢?点拨学生从角的终边的关系到角之间的关系,再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z；终边相同的角的余弦函数值相等，即cos (2kπ+x)=cosx,k∈Z.上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.生活中有许多周期性变化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化也呈周期性变化.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ (k∈Z)为正弦函数、余弦函数的周期.例如，-4π,-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦、余弦函数正周期中最小的一个(可以证明)，称为最小正周期.一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内地任意一个x值，都有f(x+T)=f(x)我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期.讨论结果:①—③略.应用示例思路1例1 在直角坐标系的单位圆中，α＝-4π， (1)画出角α;(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；(3)求出角α的正弦、余弦函数值.图5活动:教师引导学生画出单位圆，充分利用任意角的定义.教师要留给学生一定的时间,让学生自己独立思考解决，可适时点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意角α的任意性.解:(1)如图5，以原点为角的顶点，以x 轴正半轴为始边，顺时针旋转4π，与单位圆交于点P,α=∠MOP=-4π，即为所求作的角. (2)由于α=-4π，点P 在第四象限，所以点P 的坐标为(22,-22). (3)根据任意角的三角函数定义,易得sin(-4π)=-22,4π(-4π)=22. 点评:本例的目的是让学生熟悉角与单位圆的关系，巩固并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数形结合的思想解题.变式训练求35π的正弦、余弦值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,-23). 所以sin 35π=-23,cos 35π=21.例2 已知角α的终边在直线y ＝-3x 上，求10sin α+acos 3的值. 活动:教师可让学生独立思考这一题目，本题虽然看似简单，但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要指出其思路的不正确性,并适时的点拨学生应该怎样组织步骤. 解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=10)3(22=-+k k |k|.(1)当k ＞0时，r=10k,α是第四象限角，sin α=r y =kk 103-=-10103, αcos 1=x r =k k 10=10, ∴10sin α+αcos 3=10×(-10103)+310=-310+310=0; (2)当k ＜0时，r=-10k,α为第二象限角，sin α=r y =k k 103--=10103,αcos 1=xr =k k 10-=-10, ∴10sin α+αcos 3=10×10103+3×(-10)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sin α+αcos 3=0. 点评:本题的解题关键是要清楚当k ＞0时，P(k,-3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k ＜0时，P(k,-3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限，这与角α的终边在y=-3x 上是一致的.思路21.求证:当且仅当不等式组⎩⎨⎧<<)2(0cos )1(,0sin θθ成立时,角θ为第三象限角. 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道：任意角的正弦、余弦函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号取决于x,y 的符号,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y ＞0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y ＜0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的.证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sin θ＜0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上.又因为②式cos θ＜0成立,所以θ角的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的负半轴上.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.反过来请同学们自己证明.点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.例2 求下列三角函数值： (1)sin390°;(2)cos619π. 活动:教师引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点:我们知道,终边相同的角相差2π的整数倍,这些角的同一三角函数值是相等的.教师可引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明. 解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21 (2)cos 619π=cos(2π+67π)=cos 67π=-23. 点评:本题主要是巩固任意角的正弦、余弦函数的意义，让学生体会三角函数值的符号只与角的终边所在象限有关，与角的大小没有关系.例3 已知f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8).活动:教师引导学生充分利用f(x ＋3)＝f(x)，这个等式说明3即是函数f(x)的周期，同时引导学生回顾奇函数的定义.本例可由学生独立解决，教师适时地点拨.解:由题意,知3是函数f(x)的周期，且f(-x)＝-f(x),所以f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(-1＋3)＝f(-1)＝-f(1)＝-2.点评:巩固周期函数的定义，体会周期的初步应用.变式训练设f(x)=sin3πx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin 3π=23,f(2)=sin 32π=23,f(3)=sin π=0, f(4)=sin 34π=-23,f(5)=sin 35π=-23,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin 37π=sin 3π,f(8)=sin 38π=sin 32π,…,f(12)=sin 312π=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理,f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域.任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°—360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记. 作业课本习题1—4 A 组1-5.设计感想1.关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为如此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握.2.教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.备课资料备用习题1.角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0),则cos α的值是( ) A.1313 B.1213 C.±1313 D.±13132 2.已知f(x)为奇函数，且f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时，f(x)=2x ,则f(21log 23)的值为__________.3.(2006山东高考)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.24.已知函数f(x)(x∈R )是周期为3的奇函数，且f(-1)=a,则f(7)=________________. 参考答案: 1.D 2.-1623 3.B 4.-a。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课件3北师大版必修4
【解析】设小球从点M处放下,经过平衡位置O到达最高点N,由于第一 次到达平衡位置的时间(shíjiān)为0.5秒,因此由M点第一次到达N点的 时间(shíjiān)为1秒,由N处摆动到平衡位置是第二次到达平衡位置,用 时0.5秒,到达M点用时0.5秒,从点M再次达到平衡位置O,即第三次到达 平衡位置又用时0.5秒.故第三次经过平衡位置的时间(shíjiān)为 1+0.5+0.5+0.5=2.5(秒).
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2.下列现象不是周期现象的是 ( )
A.四季交替现象
B.暴风雪的发生
C.每年春节(Chūn Jié)联欢晚会 D.物理中的简谐振动
【解析】选B.A,C,D中的现象都符合周期现象的特征,而B中暴风雪的发生是一种
随机现象.
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3.下列现象不是周期现象的是__________(填序号).
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【解题探究】周期现象有什么特点? 提示:周期现象按照(ànzhào)一定规律不断重复出现. 【解析】1.选B.月亮东升西落、昼夜变化是周期现象,气候的冷暖、火山爆发不 是周期现象.
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2.(1)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动
作,因而是周期现象.
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【题型探究】
类型一 周期现象的判断
【典例】1.下列(xiàliè)自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火
山爆发.其中是周期现象的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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2.判断下列现象是否是周期现象. (1)钟表的秒针(miǎozhēn)的运动. (2)地球的自转. (3)地球上一年四季的变化. (4)物理学中的单摆运动.
高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数素材 北师大版必修4
1.1 周期现象与周期函数一、周期现象1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象. 地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在12小时以下才能开花，在一定范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类，很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.2.流星雨是周期性的现象吗?流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名.英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现，它不仅数量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母，1992年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩，流星数目达到每小时400颗以上.天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现，极大日是10月8日，该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时120颗，其极大日一般接近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件， Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日，通常22日是极大日，该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.二、如何理解周期现象与三角函数的关系我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化，即f(x+k)=f(x)时，函数y=f(x)是一个周期函数.在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等.三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课件1北师大版必修4
【变式练习】
如下图是一个点的运动轨迹，该点的运动具有周期性吗？ 是一个周期现象吗?
y
0
4
8
12
16 t
【解析】该点的运动具有周期性，该点每隔t=4会重复出现， 因此，这是一个周期现象.
例2.如图是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN 的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ ，根 据物理知识，y与θ 都随时间的变化而周期性变化.
M
θ
y A
N
【变式练习】
走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么 手臂的摆动满足什么规律呢？
【解析】如图，以ON代表手臂的垂直 位置，当手臂摆动到OP位置时，设θ ＝∠PON为摆动的幅角，y为P点离开直 线ON的水平距离，r为手臂的长度，根 据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
例3. 如图是水车的示意图.水车上点P到水面的 距离为y.假设水车5 min转一圈，那么y的值每经 过5 min就会重复出现，因此，距离y随时间的变 化规律也具有周期性.
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
一、选择题 1.下列现象不是周期现象的是 ( D ) A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.“哈雷彗星”的运行时间 D.某同学每天上数学课的时间
【解析】选D.某同学每天上数学课的时间不确定,不是周期现象.
2. 2014索契冬奥会是第22届,则第24届冬奥会是 ( B )年 A.2018 B.2022 C.2026 D.2030 【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年 举办一次. 【解析】选B.2014+8=2022.
高中数学第一章三角函数1.1周期现象学案北师大版必修4(2021年整理)
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§1周期现象学习目标1。
了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点）.2.初步了解周期函数的概念,能判断简单的函数的周期性（难点）．知识点周期现象（1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2）特点:①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√）（2）钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7，2，0,1，7，2，0,1，7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0，1，7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.答案2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象,并说明理由．（1)地球的自转；(2）连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数;（3）钟表的秒针的转动；（4）某段高速公路每天通过的车辆数．解（1)地球每天自转一圈,并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．（2）连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…,6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现,也可能不出现,故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3）钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．（4）某段高速公路每天通过的车辆数,会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象（或值)重复出现"这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：（1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗,日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解（1)奥运会每4年一届,所以其举办时间呈周期现象．(2）北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数，所以不是周期现象．（3）每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象1.2角的概念的推广知识导航学案北师大版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数１.１周期现象 1.２角的概念的推广知识导航学案北师大版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数１.１周期现象 1.２角的概念的推广知识导航学案北师大版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数 1.１周期现象 1.2 角的概念的推广知识导航学案北师大版必修４的全部内容。
§1周期现象 2 角的概念的推广知识梳理1．周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现,这种现象被称为周期现象.2。
任意角（1)角的定义①静态定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
（2）在平面内,一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向。
习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,也把它看成一个角,称为零角；旋转生成的角又常称为转角．这样就形成了任意大小的角，即任意角。
(3）角的记法用一个希腊字母；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”）.(４)角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角(1）定义:将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,那么就把角放在了平面直角坐标系中。
如果角的终边(除原点外）在第几象限,则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）。
2019学年高中数学第一章三角函数1.1周期现象学案北师大版必修4word版本
§1 周期现象学习目标 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析 周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机． 答案 直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析 4÷0.4＝10，所以经过了10个周期． 答案 105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解 共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C．4 D．8解析17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( )A．2020 B．2024C．2026 D．2028解析C中2026不是4的倍数，选C.答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( ) A ．8点处 B ．10点处 C ．11点处D ．12点处解析 由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B. 答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A 点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A ．点A 处B ．点B 处C ．O 、A 之间D ．O 、B 之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A ，B ，C ，…，G )，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解 通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B ，C ，D ，E ，F ，G ，F ，E ，D ，C ，B ，A ”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.。
高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象学案 北师大版必修4
1.1 周期现象周期现象 同学们，你们有没有见过大海，观看过潮起潮落？我们看到波浪每间隔一段时间会重复出现，这种现象被称为________．众所周知，海水会发生潮汐现象．大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，因此潮汐是________．当潮汐发生时，水的深度会发生______变化．预习交流在现实生活中，你能举出一些具有周期现象的例子吗？答案：周期现象 周期现象 周期性预习交流：提示：物理学中的波，单摆；地理学中的日夜更替；气象学中的四季交替变化等．1．对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．1．钟表的秒针每分钟转一圈，它的运行是周期现象吗？2．今天是星期一，50天后的那一天是星期几？2．周期现象在实际中的应用天上的有些恒星的亮度是会变化的，其中有一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间变化的图像．据此回答：此星亮度的变化周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？思路分析：在给出的图像中，我们可以得到亮度呈周期性变化的规律，从而得到我们要求的结论．连续掷一枚骰子，可能出现点数为1,2,3,4,5,6，这些数字是否会周期性地重复出现？观察具有周期性的函数图像，要注意什么时候重复和怎么重复．这样就找到了我们需要的变化的周期．答案：迁移与应用：1.是．2．星期二．活动与探究：解：此造父变星亮度的变化周期约为5.5天，最亮时是3.7等星，最暗时是4.4等星．迁移与应用：不会．1．判断下列现象是否为周期现象．(1)地球的公转；(2)海水发生潮汐；(3)手表的时针转动．2．今天是星期一，那么7k(k∈N＋)天后的那一天是星期几？从明天算起，第7k天是星期几？100天后的那一天是星期几？3．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？答案：1．解：(1)(2)(3)都是．2．解：每周7天，呈周期性变化．今天是星期一，则7k(k∈N＋)天后的那一天是星期一．从明天算起，第7k天亦是经过了周期的整数倍，所以是星期一，100天后的那一天是星期三(因为100＝14×7＋2)．3．解：(1)观察图像可知，图像从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期现象；(2)振动的周期为0.8 s；(3)由图像知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.。
北师大版数学高一必修4教学设计 1.1周期现象与周期函数
1.1 周期现象【创设情境，揭示课题】借助多媒体让学生观看钱塘江发生潮汐壮观现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
请同学们观察实物时钟，引导学生发现时钟变化中有周期现象吗？[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
旋转方向顺时针，逆时针均包含周期现象（为任意角的学习做铺垫），我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(显示课题) 【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们仔细观察钱塘江潮的场景，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）一、周期现象2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3—P4的相关内容，并思考回答下列问题：1)“散点图”？[观察潮汐现象数学方法：采集数据观察某港口某一天水深h与时间的对应表→在坐标系描出散点图→给出周期的数学符号H(t+24)=h(t) ]2)图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？3)如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？4)对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；H(t＋T)＝H(t)。
二、周期概念1)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝20052)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－23)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数 你的终边在哪里？素材 北师大版必修4(20
高中数学第一章三角函数1.1 周期现象与周期函数你的终边在哪里？素材北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1 周期现象与周期函数你的终边在哪里？素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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n α，你的终边在哪里？ 已知α所在的象限,求n α终边所在的位置问题，有常规方法和单位圆法.我们不妨通过一个例题来讲解. 引例：已知α为第一象限角,试确定2α终边所在的象限。
解法一:（常规方法) 因α为第一象限角，所以222k k ππαπ<<+，则4k k απππ<<+2。
当2k n =时，224n n απππ<<+2，2α∴为第一象限角； 当21k n =+时，5224n n αππππ+<<+2，2α∴为第三象限角； 综上所述，2α∴为第一、三象限角；解法二：（单位圆法）将单位圆平均分成2×4=8份（如图1),从x 轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四；得到的“一”所在的阴影部分所示的象限,就是2α所在的象限，即2α为第一、三象限角; 规律小结:已知α所在的象限，求nα终边所在的位置问题,有常规方法和单位圆法。
利用 （一）常规方法（范围限定法）将α的范围用式子表示出来,然后求出2α、3α、4α、5α、6α等角的范围，根据此范围进行判断，需要进行分类。
（二)单位圆法(图示法）将直角坐标系中的各个象限依次进行二等份、三等份、四等份……从x 轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上一、二、三、四；一、二、三、四；……α是第几象限就找数字几，其对应的位置就是2α、3α、4α、5α、6α……所在的象限； 如果是n α-，将直角坐标系中的各个象限依次进行二等份、三等份、四等份……从x 轴右下方开始按顺时针将各区域依次标上一、二、三、四；一、二、三、四;……α是第几象限就找数字几，其对应的位置就是2α-、3α-、4α-、5α-、6α-……所在的象限； 深化例题：例题:已知α为第二象限角，试确定4α和3α-终边所在的象限。
数学：1.1周期现象1 教案 (北师大版必修4)
第一节周期现象【创设情境，揭示课题】借助多媒体让学生观看钱塘江发生潮汐壮观现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
请同学们观察实物时钟，引导学生发现时钟变化中有周期现象吗？[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
旋转方向顺时针，逆时针均包含周期现象（为任意角的学习做铺垫），我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(显示课题) 【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们仔细观察钱塘江潮的场景，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）一、周期现象2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3—P4的相关内容，并思考回答下列问题：1)“散点图”？[观察潮汐现象数学方法：采集数据观察某港口某一天水深h与时间的对应表→在坐标系描出散点图→给出周期的数学符号H(t+24)=h(t) ]2)图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？3)如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？4)对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；H(t＋T)＝H(t)。
二、周期概念1)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝20052)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－23)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
【配套K12】2018北师大版高中数学必修四学案：第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广
学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2(1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角．①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2解(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同．③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．(2)由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，①所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．由①得45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)，当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z)，故α2是第一象限角．当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<α2<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，即225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z)，故α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．例3解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．。
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1.1 周期现象整体设计教学分析本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为：观察图片，感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的.在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例.三维目标通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象.教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例，在生活中处处有数学的氛围感受，从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律，由此自然地展开新课.思路2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作，并请学生观察时针、分针和秒针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出，这种现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本，进而展开新课.推进新课新知探究提出问题①什么是周期现象？每人各自举出3个以上周期现象的实例.②周期现象与函数的概念有什么联系？③如何画出“散点图”？④如何理解“散点图”？图1中横坐标和纵坐标分别表示什么？活动:引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据)，教师引导学生观察表格中的数据,并发现规律，比如重复出现的几个数据.指导学生根据散点图中点的位置排列，进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表示的量.当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数.下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据，我们来研究H(t)这根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图(如图1).图1教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升华周期现象，丰富学生对周期现象的感知.例如：实例1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它位于浙江省北部，全长605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现，这是一种周期现象.实例2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后,在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子.实例3.我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程.实例 4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡，大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达4 000 ℃左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象，平均活动周期为11.2年.实例5.在医学上，心脏收缩和舒张有规律的交替进行，称为心动周期.心房与心室每收缩和舒张一次，即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为：首先两心房收缩，一般占0.1秒(以每分钟心跳75次计算)；继而心房舒张，持续0.7秒.当心房收缩时，心室处于舒张状态，持续0.5秒；心房进入舒张后不久，心室开始收缩，持续0.3秒，随即又进入舒张状态.在正常情况下，左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面，无论心房或心室，收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关，心率过快，心动周期时间就过短，心房和心室的舒张时间也过少，这样就会影响心脏内血液充盈程度，降低每次心搏的输出量.实例 6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行一次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮.只有这样，虫体才能得以继续充分生长发育.显然，蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约2个月完整地脱落1次.实例7.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置)，根据自己的出生日期，就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线，并总结出自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力，以便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例.实例8.化学元素的性质取决于核外电子的分布，而核外电子的分布是周期性地重复着类似的排列，于是,元素的性质也就出现了周期性的变化，根据这些变化科学家制定了元素周期表,以揭示元素周期性变化规律，最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性运动变化规律更是大量存在，如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等.根据以上实例，教师与学生一起归纳提高：在我们生活的周围存在着大量的周期规律，充分认识这些规律，就能更好地造福于人类、造福于社会，而本章三角函数正是刻画周期现象的一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在，并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见，数学来源于生活，又指导生活，学好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言，也是宇宙语言”的道理.讨论结果:①-④略.应用示例1.地球围绕着太阳转(图2)，地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗？图2活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析.解:根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.点评:理解周期现象及相关知识.2.图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.图33.图4是水车的示意图.水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，距离y随时间t的变化规律也具有周期性.图4点评:抓住周期现象与函数的内在联系，从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量，其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅速抓住本质的能力.变式训练走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么手臂的摆动满足什么规律呢？解:如图5，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置时，设θ＝∠PON为摆动的幅角，y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.图5知能训练课本习题1—1 1、2.课堂小结教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法，怎样从杂乱无章的现象中探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体会整章的风貌，让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀.作业1.课本习题1—1 3.2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子.设计感想本课时作为全章第一节开头，有仰望全章、激发探究、投石问路之意，因此在教案设计上应对教法、学法有一定设计，并对全章略做提点，也算抛砖引玉，以解学生之疑.本节通过创设一定的教学情境，让学生感知周期现象，并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量的周期现象的实例，以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来寻找规律.引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要，一开始不可要求学生机械地套用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素，每个学生都有着自己独特的体验，有了探索规律的过程，学生在面对新的现象或问题时，才能主动应用相关的策略，找到解决问题的方法.所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象，让学生放弃了自主探索、合作交流的机会，那才真是捡了芝麻丢了西瓜.习题详解习题1—11.解:由题意知钟摆的周期为T=1.8秒.∵1分钟=1.8×33+0.6秒,又41T=0.45, ∴钟摆在铅垂线的左边.点拨:根据钟摆的周期,可知在第一、四个41T 钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个41T 钟摆在铅垂线的右边.2.解:由题意,知钟摆的周期为T,则43T=5,所以T=320. 所以第三次经过M 点需要320-2=314秒. 点拨:根据题意,求出质点的运动周期即可.3.点拨:由摩天轮的转动周期,得8小时内转动24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐24×8×4=768人.备课资料一、周期现象1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象. 地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在12小时以下才能开花，在一定范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类，很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.2.流星雨是周期性的现象吗?流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名.英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现，它不仅数量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母，1992年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩，流星数目达到每小时400颗以上.天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现，极大日是10月8日，该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时120颗，其极大日一般接近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件， Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日，通常22日是极大日，该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.二、如何理解周期现象与三角函数的关系我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化，即f(x+k)=f(x)时，函数y=f(x)是一个周期函数.在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等.三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.。