高中数学--单调性2

已知函数f(x)在（0,+ ）上是减函数,
求f(a2-a+1) 与f( 3 )的大小
4
解：因为f(x)在（0,+ ）是减函数
1
3
因为a2-a+1=（a-
2
)2+ 4
3 所以f(a2-a+1) ≤ f( 4)
3 ≥ 4 >0
（2） 已知函数f(x)在（-1,3）上是减函 数,且 f(2a-1) - f(a+1) >0,求实数 a 的范围。
复合函数的单调性
已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是 G,且对于任意的x∈G,g(x)∈F,试根据下表中所 给的条件,用“增函数”、“减函数”填空：
同增异减
f(x) 增函数 增函数 减函数 减函数
g(x) 增函数
减函数 增函数 减函数
f[g(x)]
增函数
减函数 减函数 增函数
f(x)+g(x)
在R上是减函数.
问题：
求函数f (x) x x 在区间[2,8]上的值域.
已知函数f (x)是定义在[－2,2]上的 减函数,且f (3x)＜f (x＋1),求x的取 值范围.
问题：函数f（x+1）=x2 － 2x+1的 定义域是[－2,6],求函数的单调区 间和值域.
解：由函数f(x)在（-1,1）上是减函数得：
2a-1<a+1 ①
-1<
2a-1<3
②
-1<a+1<3 ③
解得： 0 a 2
所以实数a的取值范围是： 0 a 2
（3）已知函数f (x)是定义在(0,＋∞)上的增函 数,且f (2)＝1,且f (x＋5)＜1,求x的取值范围.
问题：
用定义证明函数 f (x) 1 x2 x
函数t=x+1在[0,4]上递增,函数 y t
在[0,＋∞）上递增,函数 y x 1 在[0,4]上递增.
问题2：
已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在[a,b]上是 减函数,求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数．
证明：任取x1,x2∈[a,b],且x1＜x2, ∵g(x)在[a,b]上单调递减, ∴g(x1)＞g(x2), 又f(x)在R上递增, 而g(x1)∈R,g(x2)∈R, ∴f[g(x1)]＞f[g(x2)], 故f[g函数
f(x)+g(x) 不是f(x)与 g(x)的复合 函数.
例题:
（1）函数f (x) 2x 的递增区间是___,__1__,__1_, .
x 1 （2）函数f (x) x2 x 2的递增区间是___2_, __12__.
（3）函数f (x) 值域 ______ .
2
的单调区间是 ____,
x2 4x 3
（4）函数y=|x|+3的单调区间是 ； （5）函数y=x2-2|x|-3的单调区间是 ；
(x 1)2, x 0
（6）函数 y
, 的单调区
间是
2x, x 0
.
例题:
（1）函数f (x) x2 2bx 1在区间[1，2]上是单 调函数，则b的取值范围是 ____ .
判断函数单调性的方法:
1、图象法 2、定义法
证明函数单调性的方法: 定义法
定义法判断证明函数单调性的一般步骤： 任意取值 作差变形 判断符号 下结论
问题 1
求证:函数 f x x 在区间[0, +∞ )上是单调增
函数．
思考：将函数 y x 1表示为复合函数的形式,当
定义域为[0,4]时,观察它的单调性和复合它的两个 函数的单调性,它们之间有联系吗？