2019年高考数学第一次模拟试卷(含答案)

2019年高考数学第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．函数ln ||
()x
x f x e =
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
4．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆
229x y +=内的概率为（ ）
A ．
536
B ．
29
C ．
16
D ．
19
5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）
ξ
0 1 2
P
12
p
- 12
2
p
A ．()D ξ减小
B ．()D ξ增大
C ．()
D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小
6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
8．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．72
B ．64
C ．48
D ．32
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中
点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.
14．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.
15．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则AB AC
⋅=______．
16．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
17．设α为第四象限角，且sin3 sin
α
α
＝
13
5
，则2
tan＝
α________.
18．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）19．函数()
lg12sin
y x
=-的定义域是________．
20．在ABC
∆中，若13
AB=，3
BC=，120
C
∠=︒，则AC=_____．
三、解答题
21．已知数列{}n a满足1
11
2,22n
n n
a a a+
+
==+.
（1）设
2
n
n n
a
b=，求数列{}n b的通项公式；
（2）求数列{}n a的前n项和n S；
（3）记
()()
2
1
1422
n n
n
n n
n n
c
a a
+
-++
=，求数列{}n c的前n项和n T.
22．“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B、20005000步，C、50008000步，D、800010000步，E、1000012000步，且A、B、C三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的400位
微信好友中，每天走路步数在2000
8000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽
取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
23．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 24．
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为
2,
,x m m m y k =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
25．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范
围.
26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为6
3
，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点
为顶点的三角形的面积为22． （1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()x
ln x f x =e
，得()f 1=0，()f 1=0-
又()1f e =
0e e >，()1f e =0e e
--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知
()()()·
0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算
4．D
解析：D
掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=
41369=. 故选D
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
111
()0122222
p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=
--+--+--=-++， 1
(0,1)2
∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
221
1
1
(),()(())().n
n
n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】
解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
=
，所以应选A ．
8．C
【解析】 【分析】
跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】
由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】
本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．
9．C
解析：C 【解析】
分析：写出10315
2r
r
r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315522r
r
r
r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
令103r 4-=,则r 2= 所以225
52240r
r C C =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

10．C
解析：C 【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
11．B
解析：B
【分析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为1445443643
V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B 。

【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。

求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

12．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，
所以2OM PF ⊥,
所以2MF b =
=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
2
2222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+ 整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立
【解析】 【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】
方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22
(2)16x y -+=，
联立方程22195
x y +=
可解得321
,22
x x =-
=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，
求得3,22P ⎛- ⎝⎭
，所以212
PF
k ==
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2
OF|=|OM|=c=，
由中位线定理可得
12||4
PF OM
==，即
3
4
2
p p
a ex x
-=⇒=-
求得
315
,
2
P
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，所以
15
215
1
2
PF
k==.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
14．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-
33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l的解析：4
【解析】
试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得
，解得，所以，所以
．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯
形中，．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
15．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB 于D则D为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答
解析：2 【解析】 【分析】
过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1
AD AB 12
=
=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1
cos A AC
=
，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅的值． 【详解】
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．
Rt △ACD 中，1
AD AB 12
==， 可得cosA=11
,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC
=∴⋅=⋅=⋅⋅==2． 故答案为2 【点睛】
本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
16．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（），则
、
、
成等比数列，则
或
（舍），则原三个数：15、20、25
17．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－34
【解析】 因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα
+ ＝
22sin cos cos sin sin αααα
α
+
＝
()
22221sin cos cos sin sin αααα
α
+-
＝24sin cos sin sin αααα
-
＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝
135，所以cos 2α＝45
. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
35，tan 2α＝－3
4
. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
18．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660 【解析】 【分析】 【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有22
6215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故
答案为660.
19．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为
解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫
+<<+∈⎨
⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1
sin 2
x ， 解得
51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈. 20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】
【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯
错位相减得12
1
1122222
2212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
11
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231
2
1223
1111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-+
+-+-+-++-
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
()()11
12113621?2n n
n n ++-⎛⎫=-
+--
⎪+⎝⎭
或写成()()()1
1412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3
5
． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】
（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为
26
40026040
⨯
=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友
中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2
615n C ==种，
至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，
∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263
15
C P C =-=．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
23．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数
n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.
【解析】 【详解】
（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()2
2224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.
（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222
n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦
=
=.
令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.
24．（1）()22
40x y y -=≠（2
【解析】
（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程
()21
:2l y x k
=
+. 设(),P x y ,由题设得()()21
2y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
，消去k 得()22
40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2
2
40x y y -=≠.
（2）C 的极坐标方程为()()2
2
2
cos sin 402π,πρ
θθθθ-=<<≠.
联立()
(
)222
cos sin 4,cos sin 0
ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.
故1
tan 3
θ=-
， 从而2
291cos ,sin 1010
θθ==. 代入()2
2
2
cos sin 4ρ
θθ-=得2
5ρ
=，
所以交点M
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 25．（Ⅰ）4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】
试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：
（1）当5m =时，()()
()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，
由()2f x >得不等式的解集为332
2x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
. （2）由二次函数()2
22312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩
，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.
只需22m -≥，即4m ≥.
26．（1）22
162
x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；
（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合
弦的长度为
即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．
【详解】
解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>
得3c a =
，3
b a =.
由2
122S c b =⋅⋅==
a =
b =22162x y +
=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．
联立方程()22
2360
y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()2222
13121260k x k x k +-+-=， 2212122212126
,1313k k x x x x k k -+==++
.()
2
122113k AB x x k
+=-=+． 所以2
02
613k x k
=+， 点M 到直线1x =的距离为22
022
316111313k k d x k k
-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =
2
22
2AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以(
)
2
2
22
2221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎥-= ⎪++⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式
AB =
，考查学生的计算能力，属于中档题．。