2024-2025学年高一数学必修第一册(北师版)教学课件第二章-§1生活中的变量关系
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A.多边形的边数和它的内角和
B.正方形的边长和面积
C.圆的面积和半径
D.人的体重和身高
高中数学
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北师大版
3.下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法错
误的是( C )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
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3.做一做:
下列说法不正确的是( C )
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
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二、依赖关系与函数关系
思考
1.在上述二【问题思考】1中,h是t的函数吗?t是h的函数吗?h,t有依赖关系吗?
第二章
§1
生活中的变量关系
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学习目标
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.
2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系.
核心素养：数学建模
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新知学习
一、依赖关系
思考
1.某人坐摩天轮一圈用时8 min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他位于
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延伸探究
1.本例中条件不变,请问大约在什么时刻,气温为0 ℃?
解:大约在8时和22时,气温为0 ℃.
2.本例中条件不变,大约在什么时间内,气温在0 ℃以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?
解:大约在8时到22时之间,气温在0 ℃以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图象是连续的,可知它们之间具有
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典例剖析
一 依赖关系与函数关系的判断
例1 下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?
(1)球的体积和它的半径;
(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
(3)家庭的收入与其消费支出;
(4)正三角形的面积和它的边长.
4
解:(1)中,球的体积V与半径r间存在 V=3πr3的关系.
摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分?
提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2 min或6 min.
2.填一填:
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这
具有
两个变量__________依赖关系.
请根据以上内容,回答下面的问题:
(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么?
(2)这种函数关系的特征是什么?
提示:(1)当0<x≤5时,y=2;当5<x≤10时,y=3,故y=ቊ
2,0 < ≤ 5,
3,5 < ≤ 10.
(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系也不同.
(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.
(3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性.
3
(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在S= 4 a2的关系.
综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系.
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②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.
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5.下图是我国某年某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份(单位:月),纵轴为降雨量(单位:cm).
由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系?
解:因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,故可得该年的降雨量与时间具有函数关系,且自变
反思感悟
对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题,求解时需根据表中两个变量对应数据,
分析其变化情况,即可做出判断.
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Hale Waihona Puke 随堂小测1.已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法错误的是( D )
A.x,y之间有依赖关系
B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数
D.x是y的函数
2.下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是( D )
的体质、所处环境等有关.
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三、分段函数
思考
1.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:
①5 km以内(含5 km),票价2元.
②5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1 km,
沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.
随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系.
反思感悟
对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况
相吻合,以达到用图的目的.
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典例剖析
三 用表格表示变量间的关系
例3
声音在空气中传播的速度简称音速,实验测得音速与气温的一些数据如下表:
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分段函数
2.填空:形如上述的函数,一般叫作____________.
即时巩固
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)圆的周长与其直径的比值是常量.( √ )
(2)任意四边形的内角和的度数是常量.( √ )
(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.( √ )
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(m/s)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图,由图可看出变量音速是随什么变化?
(2)用x表示y的关系式;
(3)气温为22 ℃时,某人看到烟花燃放5 s后才听到声响,那么此人与燃放烟花所在地约相距多少米?
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解:(1)根据题中数据,可作出右图.
提示:h是t的函数;t不是h的函数;h,t有依赖关系.
一定
不一定
2.填空:函数关系_______是依赖关系,而依赖关系_________是函数关系.要确定变量的函数关系,需先分清
谁是自变量,谁是因变量.
3.想一想:某天的感冒人数与天气之间的关系是函数关系吗?
提示:某天的感冒人数与天气之间有一定的依赖关系,但不是函数关系,因感冒人数除与天气有关外还与个人
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反思感悟
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个
具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个
变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
变式训练
谚语“瑞雪兆丰年”说明( A )
A.下雪与来年的丰收具有依赖关系
C.下雪是丰收的函数
B.下雪与来年的丰收具有函数关系
D.丰收是下雪的函数
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典例剖析
二 用图象表示变量间的关系
例2
某市一天24 h内的气温变化,如图所示.
上午8时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?
解:上午8时的气温是0 ℃,全天最高气温大约是9 ℃,在14时达到,全天最低气温大约是-2 ℃,在4时达到.
4.右图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时,
路程和时间的函数图象,由图可知,骑自行车者用了6 h(含途中休息的1 h),骑摩托
车者用了2 h,有人根据这个函数图象,提供了这两个旅行者的如下信息,其中正确
①
的信息是
.(填序号)
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
量是时间,因变量是降雨量.
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课堂小结
1.函数关系是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.
要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量.
2.分段函数.
2,0 < ≤ 5,
y=ቊ
3,5 < ≤ 10.
由图可看出变量音速随气温的变化而变化.
(2)由题干表中数据可知,气温每升高5 ℃,音速加快3 m/s,
3
5
又图象过点(0,331),故所求函数关系式为y= x+331.
3
(3)由(2)可知气温为22 ℃时音速y=5×22+331,
3
5
故此人与燃放烟花所在地约相距5×( ×22+331)=66+1 655=1 721(m).
B.正方形的边长和面积
C.圆的面积和半径
D.人的体重和身高
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3.下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法错
误的是( C )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
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3.做一做:
下列说法不正确的是( C )
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
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二、依赖关系与函数关系
思考
1.在上述二【问题思考】1中,h是t的函数吗?t是h的函数吗?h,t有依赖关系吗?
第二章
§1
生活中的变量关系
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学习目标
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.
2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系.
核心素养：数学建模
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一、依赖关系
思考
1.某人坐摩天轮一圈用时8 min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他位于
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1.本例中条件不变,请问大约在什么时刻,气温为0 ℃?
解:大约在8时和22时,气温为0 ℃.
2.本例中条件不变,大约在什么时间内,气温在0 ℃以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?
解:大约在8时到22时之间,气温在0 ℃以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图象是连续的,可知它们之间具有
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典例剖析
一 依赖关系与函数关系的判断
例1 下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?
(1)球的体积和它的半径;
(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
(3)家庭的收入与其消费支出;
(4)正三角形的面积和它的边长.
4
解:(1)中,球的体积V与半径r间存在 V=3πr3的关系.
摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分?
提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2 min或6 min.
2.填一填:
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这
具有
两个变量__________依赖关系.
请根据以上内容,回答下面的问题:
(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么?
(2)这种函数关系的特征是什么?
提示:(1)当0<x≤5时,y=2;当5<x≤10时,y=3,故y=ቊ
2,0 < ≤ 5,
3,5 < ≤ 10.
(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系也不同.
(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.
(3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性.
3
(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在S= 4 a2的关系.
综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系.
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②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.
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5.下图是我国某年某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份(单位:月),纵轴为降雨量(单位:cm).
由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系?
解:因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,故可得该年的降雨量与时间具有函数关系,且自变
反思感悟
对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题,求解时需根据表中两个变量对应数据,
分析其变化情况,即可做出判断.
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Hale Waihona Puke 随堂小测1.已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法错误的是( D )
A.x,y之间有依赖关系
B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数
D.x是y的函数
2.下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是( D )
的体质、所处环境等有关.
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三、分段函数
思考
1.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:
①5 km以内(含5 km),票价2元.
②5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1 km,
沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.
随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系.
反思感悟
对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况
相吻合,以达到用图的目的.
高中数学
必修第一册
北师大版
典例剖析
三 用表格表示变量间的关系
例3
声音在空气中传播的速度简称音速,实验测得音速与气温的一些数据如下表:
高中数学
必修第一册
北师大版
分段函数
2.填空:形如上述的函数,一般叫作____________.
即时巩固
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)圆的周长与其直径的比值是常量.( √ )
(2)任意四边形的内角和的度数是常量.( √ )
(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.( √ )
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(m/s)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图,由图可看出变量音速是随什么变化?
(2)用x表示y的关系式;
(3)气温为22 ℃时,某人看到烟花燃放5 s后才听到声响,那么此人与燃放烟花所在地约相距多少米?
高中数学
必修第一册
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解:(1)根据题中数据,可作出右图.
提示:h是t的函数;t不是h的函数;h,t有依赖关系.
一定
不一定
2.填空:函数关系_______是依赖关系,而依赖关系_________是函数关系.要确定变量的函数关系,需先分清
谁是自变量,谁是因变量.
3.想一想:某天的感冒人数与天气之间的关系是函数关系吗?
提示:某天的感冒人数与天气之间有一定的依赖关系,但不是函数关系,因感冒人数除与天气有关外还与个人
必修第一册
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反思感悟
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个
具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个
变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
变式训练
谚语“瑞雪兆丰年”说明( A )
A.下雪与来年的丰收具有依赖关系
C.下雪是丰收的函数
B.下雪与来年的丰收具有函数关系
D.丰收是下雪的函数
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典例剖析
二 用图象表示变量间的关系
例2
某市一天24 h内的气温变化,如图所示.
上午8时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?
解:上午8时的气温是0 ℃,全天最高气温大约是9 ℃,在14时达到,全天最低气温大约是-2 ℃,在4时达到.
4.右图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时,
路程和时间的函数图象,由图可知,骑自行车者用了6 h(含途中休息的1 h),骑摩托
车者用了2 h,有人根据这个函数图象,提供了这两个旅行者的如下信息,其中正确
①
的信息是
.(填序号)
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
量是时间,因变量是降雨量.
高中数学
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课堂小结
1.函数关系是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.
要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量.
2.分段函数.
2,0 < ≤ 5,
y=ቊ
3,5 < ≤ 10.
由图可看出变量音速随气温的变化而变化.
(2)由题干表中数据可知,气温每升高5 ℃,音速加快3 m/s,
3
5
又图象过点(0,331),故所求函数关系式为y= x+331.
3
(3)由(2)可知气温为22 ℃时音速y=5×22+331,
3
5
故此人与燃放烟花所在地约相距5×( ×22+331)=66+1 655=1 721(m).