云南省曲靖会泽县第一中学校2020学年高二数学第一次半月考试试题 理

会泽一中2020年春季学期半月考试卷1
高二数学（理科）
一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A.[1,0]- B. [1,2]- C. [0,1] D. (,1][2,)-∞+∞U
2.已知向量,a b r r 均为单位向量，若它们的夹角为0
60，则3a b +r r 等于（ ）
A 7
B 1013．4
3.若二项式22()n x x
-展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为（ ） A ．-1 B ．1 C ．27 D ．-27 4. “2
1
sin =
A ”是“︒=30A ”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,αβ，若m α⊥，n β⊂，则下列四个命题：
①若//αβ，则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ；③若//m n ，则αβ⊥；④若αβ⊥，则
//m n
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1 C.2 D ．3
6.执行右图程序框图，输出的结果s 的值为（ ） A ．32-
B ．0 C. 32
D 37.已知圆2
2
()1x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（ ）
A 2
B ．2- C. 2± D ．2-
8.若变量,x y 满足条件106010x y x y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩，则xy 的取值范围是（ ）
A ．[0,5]
B ．35[5,]4 C. 35
[0,]4
D ．[0,9] 9.在ABC ∆中，060A =，1b =，3ABC S ∆=，则sin c
C
=（ ）
A ．
83
81
B ．2393 C. 2633 D ．27
10. 函数2
()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是（ ）
O
y
x O y
x O y
x
.
O
y
x .
A
B
C
D
11.下列4个命题
111:(0,),()()23x x
p x ∃∈+∞< 21123:(0,1),log log p x x x ∃∈> 3121p :(0,),()log 2x x x
∀∈+∞> 41311
:(0,),()log 32x p x x ∀∈<
真命题是（ ） A.
13
,p p B.
14
,p p C.
23
,p p D.
24
,p p
12．设数列n n n
a 2
sin 22sin 21sin 2+++=
Λ，则对任意正整数n m ,)(n m >都成立的是（ ） A ．2||mn a a m n >- B ．2||n
m a a m n ->
- C ．n m n a a 2
1
||<-
D ．n m n a a 2
1
||>-
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.命题“任意的01,2
3
≤+-∈x x R x ”的否定是 ．
14.由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为 ．
15.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为22的等腰三角
形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是 ．
16.已知函数2
2cos[(1)sin[(1)]
44()45
x x f x x x ππ
--+-=++（40x -≤≤），则()f x 的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余12分，共70分） 17.（本小题满分10分）
在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据如下表： 价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y
12
10
7
5
3
已知6.16,621
21
==∑∑==i i i i i x y x ，
(1)求出y 对x 的线性回归方程；
(2)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
(附：在线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中，∑∑==--=n
i i
n
i i
i x
n x
y x n y
x b 1
2
2
1
ˆ，x b y a
ˆˆ-=．) 18.（本小题满分12分）
())
6
2sin(cos 22
π-+=x x x f 已知函数
（1）求函数()x f 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；
（2）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若
()2,2
3
=+=c b A f ，求实数a 的取值范围.
19. （本小题满分12分）
如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，3ED =．M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．
（1）求证：ED CD ⊥； （2）求证：//AD MN ；
（3）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM
FC
的值；若不能，说明理由．
20. （本小题满分12分）
某地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，幼儿园、中小学等教育机构纷纷停课.学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该
举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表： 年龄（岁） [15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4
6
9
6
3
4
（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（2）若从年龄在[25,35)，[65,75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
21. （本小题满分12分）
管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)完成如下列联表，计算是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：求X 的数学期望和方差.
2()0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
P K k k
≥
（2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
22.（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，已知35a =，且521,,a a a 为递增的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的通项公式12
12,212,2n n n
a n k
b n k +-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩
（*k N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .
高二 数学（理科）
参考答案
一、选择题
1-5: CCABC 6-10:CBDBB 11、12：DC 二、填空题
13. 存在01,2
03
00>+-∈x x R x 14. 10 15. 16.
2三、解答题
17．(本题满分10分）
(1)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15
×37＝7.4，∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5
i ＝1x 2
i ＝16.6， 所以b ＝
∑5
i ＝1
x i y i －5x y
∑5
i ＝1
x 2i －5x
2
＝
62－5×1.8×7.4
16.6－5×1.8
2＝－11.5，
a ＝y －
b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y 对x 的线性回归方程为y ＝28.1－11.5x . (2)y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t. 18.（本小题共12分）
解：（1）1)6
2sin(12sin 232cos 21)6
2sin(cos 2)(2++=++=
-+=ππ
x x x x x x f 2
26
222π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k ，可得f(x)递增区间为)](6
,3
[z k k k ∈+
-
π
ππ
π
函数f(x)最大值为2，当且仅当1)6
2sin(=+π
x ，即2
26
2π
ππ
+
=+
k x ，
即)(6
Z k k x ∈+
=π
π取到
∴}6
|{π
π+=∈k x x x
(2)由231)6
2sin()(=
++
=π
A A f ，化简得2
1
)62sin(=+πA ππ
π6
5
6
2A
),0(=
+∴∈A Θ 3
A π
=
∴
在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2-bc=(b+1)2
-3bc 由b+c=2，知bc≤1,即a 2
≥1 ∴当b=c=1时，取等号 又由b+c>a 得a<2 所以a∈[1,2)
19．(本小题满分12分)
（解：（1）因为 ABCD 为矩形，所以 CD AD ⊥．
又因为 CD EA ⊥， 所以 CD ⊥平面EAD ．
所以 ED CD ⊥． 4分 （2）因为 ABCD 为矩形， 所以 //AD BC ，
所以 //AD 平面FBC ． 又因为 平面ADMN I 平面FBC MN =，
所以 //AD MN ． 8分 （3）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：
连接 DF ．因为 AD ED ⊥，AD CD ⊥ ，
所以 AD ⊥平面CDEF ． 所以 AD DM ⊥．
因为 //AD MN ，所以DM MN ⊥． 因为 平面ADMN I 平面BCF MN =， 若使 平面ADMN ⊥平面BCF ，
则 DM ⊥平面BCF ，所以 DM FC ⊥． 在梯形CDEF 中，因为//EF CD ， ED CD ⊥，22CD EF ==，3ED 所以 2DF DC ==．
所以 若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以
1
2
FM FC =． 12分 20.(本小题满分12分)
（1）补全频率分布直方图如图年示： （2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，
22
64225109015
(0)45075
C C P X C C ==•==
，
21112646442222
51051020434
(1)45075C C C C C P X C C C C •==•+•==， 11122
46444222251051013222
(2)45075C C C C C P X C C C C ==•+•==
， 124422510244
(3)45075
C C P X C C ==•==
()0123 1.275757575
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
所以X 的数学期望为() 1.2E X =. 21.(本小题满分12分)
(1) 由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表： 2
2200(80104070)
11.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好
评与服务好评有关. (6分)
(2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为
25，且X 的由于2
~(5,)5
X B ，则()25
2
5=⨯
=X E ； ()5
6
521525=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=X D . (12分)
22.(本小题满分12分)
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意2
333(2)(2)()a d a d a d -+=-，
即2
20d d -=，解之得2d =或0d =（舍去），
所以3(3)21n a a n d n =+-=-，即21n a n =-，*
n N ∈为所求
（2）当2n k =，*k N ∈时，
121321242n n k k S b b b b b b b b b -=+++=+++++++L L L 01112(222)k k a a a -=+++++++L L
2(121)1221212
k k k k k +--=+=+--
2
2214
n
n =+-； 当21n k =-，*k N ∈时，12n k +=
111
22122
211(1)23212244
n n n n n n n n n S S b ++--++++-=-=+--=+
综上，2
212
221,24
232,214
n
n n n n k S n n n k -⎧+-=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，（*k N ∈。