高一三角恒等式复习教案

龙文教育个性化辅导教案年月日
《三角恒等变换》章末总结
一、知识分析：
1、本章网络结构
tan tan tan 2212ααα
αβ
=
-=←−−−
←
相除
2、要点概述
（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()
2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，
α3
是
23
α的半角，
α2
是
α4
的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特
殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：
①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非
特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解
题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已
知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()
2ααβαβ=++-，()()t a n t a n t a n t a n t a n αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），
二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：
①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。

3、题型归纳
（1）求值题
例1. 已知απ
π∈⎛⎝
⎫⎭
⎪434，，βπ∈⎛
⎝
⎫
⎭
⎪04，，且c o s s i n παπβ
43554
12
13
-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛
⎝ ⎫
⎭
⎪=-，，求()cos αβ+。

分析：由已知条件求()cos αβ+，应注意到角之间的关系，αβπ
απα+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭
⎪44
，
可应用两角差的余弦公式求得。

解：由已知αππ∈⎛⎝
⎫⎭
⎪434，，得-∈-
-⎛⎝ ⎫⎭
⎪αππ3
44，
∴，παπ42
0-∈-⎛⎝ ⎫⎭⎪
又c o s s i n π
απ
α4
3
5
4
45
-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
=-，∴
由βπ∈⎛⎝
⎫⎭
⎪04，，得πβππ4
4
2+∈⎛⎝ ⎫⎭
⎪，
又∵s i n s i n 544πβππβ+⎛
⎝ ⎫
⎭⎪=++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪⎡
⎣
⎢⎤⎦
⎥
=-+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=-s i n πβ41213
1354cos 13124sin =
⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπβπ∴，∴
由πβπααβ4
4
+⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭
⎪=
+，得
()c o s c o s αβπβπα+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦
⎥44 =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
=
⨯
+
⨯-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=-
c o s c o s s in s in πβπαπβπα4444513
35
12
13453365
点评：<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键；
<2>常见角的变换：()()()()
2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，，πππ
442
+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x 等。

（2）化简题
例2. 化简：
()122
22++-⎛
⎝
⎫⎭⎪
+s i n c o s s
i n c o s c o s ααααα
，其中παπ<<2。

分析：式中有单角α与半角
α2
，可用倍角公式把α化为
α2。

解：原式=
+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭
⎪222222242
22
c o s s i n c o s s i n c o s c o s
α
ααααα
2
cos
cos 2cos 2
cos
2cos
2
sin 2cos
2
cos
22cos 2sin
2sin 2cos 2cos 22
2
α
α
α
αααααααααα·-=
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=
∵，∴，∴παππαπα
<<<<<2222
c o s ∴原式=
--=cos
cos cos
cos αααα2
2
·
（3）证明题
例3. 求证：1211
22
--=-+s i n c o s c o s s i n t a n t a n x x x x x
x
分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左边。

证法1：右边=
-
+
=-+11sin cos sin cos cos sin cos sin x
x x x
x x
x x
()
()()
=
--+=
+--=--=c o s sin c o s sin c o s sin c o s sin sin c o s c o s sin sin c o s c o s sin x x x x x x x x x x
x x
x x x x
2
2
2
2
2
22
212左边
∴原命题成立
分析2：由12-s i n c o s x x 配方，得()c o s s i n x x -2。

将左边约分，达到化简的目的。

证法
2：左边=+--s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2
2
22
2x x x x
x x
()
=
--=
-+=-+=c o s sin c o s sin c o s sin c o s sin ta n ta n x x x x x x
x x x x
2
2
2
11右边
∴原命题成立
分析3：代数证明中的作差法也适用于三角证明。

证明3：左－右()
=
----+c o s s i n c o s s i n t a n t a n x x x x x
x 2
22
11
=
-+-
-+=
-+-
-+=cos sin cos sin tan tan tan tan tan tan x x x x x x
x x
x x
1111110
∴左＝右 ∴原式成立
（4）与向量、三角形等有关的综合题
例4. 平面直角坐标系内有点()()P x Q x x 1144，，，，，c o s c o s ∈-⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ππ。

（1）求向量O P →
与O Q →的夹角θ的余弦；
（2）求cos θ的最值。

解析：（1）∵O P O Q x O P O Q x →→=→→
=+·，212
c o s ||||c o s ∴·c o s ||||
c o s c o s θ=→→
→→=+O P O Q O PO Q x
x
212
（2）c
o s ()c o s c o s c o s c o s θ==+=+
f x x
x
x x 212
12
∵，，∴，x x ∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥π
π44221cos
又∵21
32
2
≤+
≤
c o s c o s x x
∴2231≤≤f x ()，即22
31≤≤cos θ
∴，c o s c o s m i n m a x
θθ==22
3
1
导师签字： 主任签字:
南京龙文
教育总部。