2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)

一、单选题
二、多选题
1. 若复数，（i 为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 在正方体中，E 为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
3.
在钝角三角形
中，，，分别为角，，的对边，且其面积为
，则的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
4.
已知函数
的图象上存在点
，函数的图象上存在点
，且，关于轴对称，则的取值范围是
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
5. 现有300名老年人，500名中年人，400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取人，若抽取的老年人与青年人共21名，则的值
为（ ）
A ．15
B ．30
C ．32
D ．36
6. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点
，现将角
的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则
点的坐标为（ ）
A
．B
．
C
．D
．
7.
已知
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
8. 设F 为抛物线C ：的焦点，点A 在C 上，且A 到C 焦点的距离为3，到y 轴的距离为2，则p ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
、，过
作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第
一象限），
，
为线段
的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A
．B ．双曲线
的离心率为C ．
的面积为
D ．直线
的斜率为
10. 在棱长为4的正方体
中，点E 为棱的中点，点F 是正方形
内一动点（含边界），则下列说法中正确的是
（ ）
A ．直线与直线
夹角为
B
．平面
截正方体所得截面的面积为
C ．若
则动点F
的轨迹长度为
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题 (2)
三、填空题
四、解答题
D ．若
平面
，则动点F
的轨迹长度为
11. 在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的离心率为，且双曲线的右焦点在直线
上，
、分别是双曲线的左、右顶点，点
是双曲线
的右支上位于第一象限的动点，记、
的斜率分别为
、
，则下列说法正确的是
（ ）
A ．双曲线
的渐近线方程为B ．双曲线
的方程为C ．
为定值
D ．存在点
，使得
12. 对任意，下列不等式恒成立的有（ ）
A
．B
．C
．
D
．
13. 若定义在
上的函数
满足，且
恰有（）个根（
，2，…，
），
，则数列
的前项和
___________.
14. 已知椭圆
，、
分别是其左，右焦点，P 为椭圆C 上非长轴端点的任意一点，D 是x 轴上一点，使得
平分．
过点D
作
、
的垂线，垂足分别为A 、B ．则
的最大值是__________．
15. 已知单位向量
，
满足
，则，夹角的余弦值为__________.
16. 已知函数．
(1)函数为的导函数，讨论
的单调性；
(2)
当
时，证明：
存在唯一的极大值点，且
．
17. 已知数列
是等差数列，
是等比数列，且，
，
，．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)设
，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知数列
是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设
，
为数列
的前
项和，记
，证明：．
19.
如图，直三棱柱
中，，，
，点P 在线段
上．
(1)若P 为
的中点．证明：平面；
(2)是否存在点P
，使得平面与平面ABC 所成的二面角为
？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.
20. 为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
经常应用偶尔应用或者不应用总计
农村
城市
总计
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取个学校进行分析，然后再从这个学校中随机抽取个学校所在的地域进行核
实，求没有抽取到农村学校的概率.
附：，
临界值表：
.
21. 已知数列满足.
(1)若，证明是等差数列；
(2)设，数列的前项和为，若，求.。