人教版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B含答案解析

课时作业(五十七)B[第57讲排列、组合]
[时间：35分钟分值：80分]
基础热身
1．由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a19＝()
A．2 014 B．2 034 C．1 432 D．1 430
2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法种数是()
A．1 136 B．1 600 C．2 736 D．1 120
3．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是()
A．C280C820B．A280A820
C．A880C220D．C880C220
4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资项目不超过2个，则他不同的投资方案有()
A．60种B．70种C．100种D．120种
能力提升
5．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是()
A．120 B．98 C．63 D．56
6．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有()
A．252个B．300个
C．324个D．228个
7．2011年，哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()
A．80种B．90种C．120种D．150种
8．某校高三师生为“庆元旦·迎新年”举行了一次联欢晚会，高三年级8个班中每个班的学生准备了一个节目，且节目单已排好．节目开演前又增加了3个教师的节目，其中有2个独唱节目，1个朗诵节目，如果将这3个节目插入原节目单中，要求教师的节目不排在第一个和最后一个，并且教师的2个独唱节目不连续演出，那么不同的排法有()
A．294种B．308种C．378种D．392种
9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为________(用数字作答)．
10．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．
11．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种．
12．(13分)一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？
难点突破
13．(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？
(2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中，异面直线有多少对？
课时作业(五十七)B
【基础热身】
1．A [解析] 千位是1的四位偶数有C 13A 23＝18，故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，
即2 014.
2．A [解析] 方法一：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2
个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C 116C 24＋C 216C 14＋C 3
16＝1136(种)．
方法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 3
4＝1 136(种)．
3．D [解析] 由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关，与顺序无关，是组合问题．分步计
数，先选8名教师再选2名职员，共有C 880C 220种选法．
4．D [解析] 在五个城市中的三个城市各投资一个，有方法数A 35＝60，
将三个项目分为两组投资到五个城市中的两个，有方法数C 13A 2
5＝60，故不同的投资方案有120种．
【能力提升】
5．B [解析] 分两类：(1)不包含A ，B ，C 的有C 37种选法；(2)包含A ，B ，C 的有C 27·C 13
种选法．所以共有C 37＋C 27·C 13
＝98(种)选法，故应选B. 6．B [解析] (1)若仅仅含有数字0，则选法是C 23C 14，可以组成四位数C 23C 14A 3
3＝12×6＝72个；
(2)若仅仅含有数字5，则选法是C 13C 24，可以组成四位数C 13C 24A 33＝18×6＝108个；
(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C 13C 14，排法是若0在个位，有A 33＝6种，若5在个位，有2×A 2
2＝
4种，故可以组成四位数C 13C 1
4(6＋4)＝120个．
根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．
7．D [解析] 分组法是(1,1,3)，(1,2,2)，共有C 15C 14C 33A 22＋C 15C 24C 22
A 22
＝25，再分配，乘以A 33，即得总数150. 8．D [解析] 根据题意可将教师的1个朗诵节目排在学生的8个节目中的7个空中的任一个，共有7种
排法，然后将教师的2个独唱节目排在9个节目中的8个空中的2个空中，故共有C 17A 2
8＝392种不同的排法．故选D.
9．8 [解析] 总的分法是⎝⎛⎭
⎫C 14＋C 24
A 22A 22＝14，若仅仅甲、乙分到一个班级，则分法是A 22
＝2，若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到3名学生，则分法是C 12A 2
2＝4，故总数是14－2－4＝8.
10．72 [解析] 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是C 13A 3
3＝18，
而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是C 15C 24C 22A 22
A 3
3＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝
72种．
11．222 [解析] 总数是C 223＝253，若有两个学校名额相同，则可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,11个名额，此时有10C 2
3＝30种可能，若三个学校名额相同，即都是8个名额，则只有1种情况，故不同的分配方法数是253－30－1＝222.
12．[解答] 依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：
(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有C 26C 4
5＝75种情况；
(2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有C 36C 3
5＝200种情况；
(3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有C 46C 2
5＝150种情况；
(4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有C 56C 1
5＝30种情况；
(5)代数题全对，几何题全错，此时有C 66C 0
5＝1种情况． 由分类计数原理得所有可能的答题情况有456种． 【难点突破】
13．[解答] (1)由于是10个名额，故名额和名额之间是没有区别的，我们不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡，10个名额之间就出现了9个空挡，我们的目的是把这10个名额分成6份，每份至少一个，那我们只要把这9个空挡中的5个空挡上各放上一个隔板，两端的隔板外面的2部分，隔板和隔板之间的4部分，这样就把这10个指标从左到右分成了6份，且满足每份至少一个名额，我们把从左到右的6份依次给1,2,3,4,5,6班就解决问题了．这里的在9个空挡上放5个隔板的不同方法数，就对应了符合要求的名额分配方法数．这个数不难计算，那就是从9个空挡中选出5个空挡放隔板，不同的放法种数是C 59＝126.
(2)方法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有C 48种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件，去掉．因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，
故有(C 48－12)种．不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有3(C 4
8－12)＝174对．
方法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有C228种情况，除去其中共面的情况：(1)6个表面，每个面上有6条线共面，共有6C26条；(2)6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有6C26条；(3)从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线都共面，共有8C23条，故共有异面直线C228－6C26－6C26－8C23＝174对．。