(word完整版)苏教版八年级上数学期末复习知识点总结例题(完美版),文档

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八年级数学 ( 上) 期末复习 +例题解析
第一章三角形全等
1、全等三角形的定义：能够完满重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完满相等，与地址没关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后获取的三角形，与原三角形仍然全等；
．．
③三角形全等不因地址发生变化而改变。

2、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

⑵全等三角形的周长相等、面积相等。

⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角均分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判断：
①边角边公义 (SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

②角边角公义 (ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

③推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

④边边
边公义 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。

⑤斜边、直角边公义 (HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等。

4、证明两个三角形全等的根本思路：
⑴两边：①找第三边〔 SSS〕；②找夹角〔 SAS〕；③找可否有直角〔 HL〕.
⑵一边一角：①找一角〔AAS或 ASA〕；②找夹边〔 SAS〕.
⑶两角：①找夹边〔ASA〕；②找其他边〔 AAS〕 .
例题评析
例 1 ：如图，点D、 E 在 BC 上，且 BD=CE， AD=AE，A
求证： AB=AC．
B D E C
例 2 ：如图， A、 C、 F、 D 在同素来线上，AF＝ DC， AB＝ DE， BC＝ EF，求证：△ ABC≌△DEF．A
C E
B F
D
B
例 3 ： BE⊥ CD，BE＝ DE， BC＝ DA，F A
求证：①△ BEC≌△DEA；② DF⊥BC．
C E D
例 4 如图，在△ ABE中， AB＝AE,AD＝ AC,∠ BAD＝∠ EAC,
BC、DE 交于点 O.求证： (1) △ABC≌△ AED； (2) OB＝ OE .
例 5 如图，在正方形 ABCD中， E 为 DC边上的点，连接 BE，将△ BCE绕点 C 顺时针方向旋转90°获取△ DCF，连接 EF，假设∠ BEC=60°，求∠ EFD的度数 .
例 6 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′
的地址， AB′与 CD交于点 E.
（1〕试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明 .
（2〕假设AB=8，D E=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH 的值会变化吗？假设变化，请说明原由；假设不变化，央求出这个值。

例 7 ，点 P 是直角三角形 ABC斜边 AB 上一动点〔不与 A， B 重合〕，分别过 A， B 向直线CP 作垂线，垂足分别为 E， F， Q 为斜边 AB 的中点．
〔1〕如图 1，当点 P 与点 Q 重合时， AE 与 BF 的地址关系是，QE与QF的数量关系是；
〔2〕如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与 QF 的数量关系，并恩赐证明；
（3〕如图 3，当点 P 在线段 BA〔或 AB〕的延长线上时，此时〔 2〕中的结论可否建立？请画出图形并恩赐证明．
复习作业：
解答题
1.〔 1〕如以以下图，等边△ ABC内有一点 P 假设点 P 到极点 A，B， C的距离分别为 3， 4 ， 5，那么∠APB=__________。

解析：由于PA， PB不在一个三角形中，为认识决此题我们能够将△ABP绕极点 A 旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌ _____________ 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的
长度转变到一个三角形中从而求出∠APB的度数。

〔2〕请你利用第〔1〕题的解答思想方法，解答下面问题：如右图，△ABC中，∠CAB=90°，
2 2 2
2.以以下图，四边形 ABCD的对角线 AC， BD订交于点 O，△ ABC≌△
BAD．求证：〔 1〕OA=OB；〔 2〕AB∥CD．
3.以以下图，△ ABC≌△ ADE，且∠ CAD=10°，∠ B=∠ D=25°，
∠EAB=120°，求∠ DFB和∠ DGB的度数．
4.以以下图， AE⊥ AB， AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：
〔 1〕 EC=BF；〔 2〕 EC⊥ BF.
5.：如图， AB=AE,∠ 1=∠ 2,∠B=∠E. 求
证： BC=ED.
6.以以下图，在△ ABC 中， AB=A C， BD⊥ AC于 D， CE⊥ AB
于E， BD，CE订交于 F.求证： AF 均分∠ BAC.
7.△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC＝ 6，M 点在边 AC上，且 CM＝ 2，过 M 点作 AC的垂线
交 AB 边于 E 点 . 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 M 点运动，速度为每秒 1 个单位，当动点 P 到达 M 点时，运动停止 . 连接 EP， EC. 在此过程中，
⑴当 t 为什么值时，△ EPC的面积为 10？
⑵将△ EPC沿 CP翻折后，点E 的对应点为 F 点，当 t 为什么值时， PF∥EC？
A A
P P
M E F M E
B
C B
C
8.在△ ABC中，∠ABC＝90°，分别以边 AB、BC、CA向△ ABC外作正方形 ABHI、正方形 BCGF、
正方形 CAED，连接 GD，AG， BD.
⑴如图 1，求证： AG＝ BD.
⑵如图 2，试说明：△＝ S△. 〔提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角〕
S ABC CDG
F
H
B G
I
A C
E D
图 1
F
H
G
B
I
A C
E D
图 2
第二章轴对称
1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形
而言。

2、轴对称的性质：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直均分线；②若
是两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直均分线；
3、线段的垂直均分线：
①性质定理：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等。

②判判断理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直均分线上。

拓展：三角形三条边的垂直均分线的交点到三个极点的距离相等
．．．．
4、角的角均分线：
①性质定理：角均分线上的点到角两边的距离相等。

②判判断理：到角两个边距离相等的点在这个角的角均分线上。

拓展：三角形三个角的角均分线的交点到三条边的距离相等。

．．．
5、等腰三角形：
①性质定理：
⑴等腰三角形的两个底角相等；〔等边同等角〕⑵等腰三角形的顶角均分线、
底边上的中线、底边上的高线互相重合。

〔三
线合一〕
②判判断理：
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

〔等角同等边〕
6、等边三角形：
①性质定理：
⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三
个内角都相等，都等于 60°；
拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。

．．．．
②判判断理：
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是 60°的三角形是等边
三角形；
⑶有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

7、直角三角形推论：
⑴直角三角形中，若是有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。

．．．
例题评析
1、线段的对称轴有
条，是
2、线段垂直均分线上的点到 的
3、到
距离相等的点在线段的垂
距离相等
直均分线上
∵ D
∵ D
∴
∴
A
C B
∵ A
B
∴ ∴
例 1：如图，在△ ABC 中， DE 是 AC 的垂直均分线．
(1)假设 AC ＝ 6，△ ABD 的周长是 13，那么△ ABC 的周长是 _______；
(2)假设△ ABC 的周长是 30，△ ABD 的周长是 25，那么 AC ＝ _______．
C
例 2：如图，在△ ABC 中，边 AB 、 AC 的垂直均分线分别交 BC 于点 E 、点 D. (1)假设 BC ＝ 8，那么△ ADE 的周长是 _______；
(2) 假设∠ BAC=110°，那么∠ EAD ＝ ______
(3) 假设∠ EAD=100°，那么∠ BAC ＝ ______
4、角的对称轴有 条，是
A
5、角均分线上的点到
的距离相等
6、角的内部到
距离相等
∵
E
的点在角的均分线上
又∵
∵
∴
P
又∵
B F
C
∴
例 3：如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AD 均分∠ BAC. (1) 假设 CD=5，那么点 D 到 AB 的距离为 . (2) 假设 BD ： DC=3： 2，点 D 到 AB 的距离为
6，那么 BC 的长是 .
例 4：如图， OP 均分∠ AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为 A 、 B ． 以下结论中，不用然建立的是 (
)
A ．PA=P
B B ． PO 均分∠ APB
C ． OA=OB
D ．AB 垂直均分 OP
补充：①三角形的三条边的垂直均分线的交点到
②三角形的三条角均分线的交点到
1. 请你先在图的 BC 上找一点 P ，使点 P
到 AB 、 AC 的距离相等，再在射线 AP 上找一点 Q ，使 QB=QC ．
的距离相等
的距离相等
2. 如图，求作点 P ，使点 P 同时满足： ①
PA=PB ；②到直线 m ，n 的距离相等．
7、等边同等角
A 9、等腰三角形、
∵
A、
∴重合〔三线合一〕
〔有条对称轴〕
8、等角同等边
B ∵∵∵
∵C
又∵又∵
又∵
BDC
∴∴∴∴
例 5：〔 1〕等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，那么该等腰三角形的周长为〔 2〕等腰三角形的两边长分别为4、5.那么该等腰三角形的周长为
〔 3〕等腰三角形的一个外角为100°，那么这个等腰三角形的顶角为__________．〔 4〕等腰△ ABC中，假设∠ A=30°，那么∠B=．
例 6：(1)如图①，在Rt△ABC中，假设AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,那么∠EDC=_______．
(2) 如图②，∠ ACB=90° ,E、F 为 AB 上的点， AE=AC， BC=BF，那么∠ ECF=___ __．
(3)如图③，AB=AC=DC，且 BD=AD，那么∠ B=_____．
③
例 7：如图，∠ ABC、∠ ACB的均分线订交于点 F，过点 F 作 DE∥ BC，交
AB 于点 D，交 AC 于点 E．试说明 BD＋ EC＝ DE．
例 8：如图， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．
例 9：在△ ABC 中， AB=AC，点 D是 BC的中点，点 E 在 AD上．
（1〕求证： BE=CE；
（2〕如图 2，假设 BE的延长线交 AC于点 F，且 BF⊥AC，垂足为 F，∠ BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△ AEF≌△ BCF．A
A
F
E
E
B
10、〔 1〕等边三角形的性质：
等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴〔 2〕等边三角形的 3 个判断方法：
三条边都的三角形是等边三角形
三个角都的三角形是等边三角形
有一个角是的三角形是等边三角形
例 10： (1)如图①，在等边三角形 ABC中， BD＝ CE，AD 与 BE 订交于点 P，那么∠ APE=____．
(2)如图②，正方形ABCD，△ EAD为等边三角形，那么∠EBC＝ _______．
(3)如图③，等边△ ABC，AC=AD,且AC⊥ AD，垂足为A，那么∠ BEC＝ _______．
D
A
B C
①②③
例 11：如图， C 为线段 AE 上一动点 (点 C 不与点 A、E 重合 )，在 AE 的同侧分别作等边△ABC
和等边△ CDE，AD 与 BE订交于点 O，AD 与 BC 订交于点 P，BE 与 CD 订交于点 Q，连接 PQ．以下
五个结论：① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤∠ AOB=60°，其中恒建立的有
__________(填序号 )．
例 12：如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE，
使点 E、 A 在直线 DC 的同侧，连接AE．
求证： AE∥ BC．
11、直角三角形斜边上的中线等于
∵又∵
∴
A
B D C
A
12、用等积法求直角三角形斜边上的高
S ABC=
=B D C
13、直角三角形中，30°的角所对的直角
边等于
A
∵
又∵
∴B C
例 12： (1)在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， CD 是斜边 AB 的中线，且CD=4 cm，那么 AB=_______ ．
(2)在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AB=8，那么 AC=_______．
(3)在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=8， BC=6，那么 AB 边上的高CD=．
例 13：如图，在△ ABC中， BD、 CE是高， G、F 分别是 BC、DE 的中点，
连接 GF，求证： GF⊥ DE．
例 14：如图，：三角形 ABC 中，∠ A＝ 90°， AB＝ AC，D 为 BC的中点，E， F 分别是 AB， AC上的点，且 BE＝ AF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形．
相关练习：
1．如图，在△ ABC中， BC=8 cm，BP、 CP分别是∠ ABC和∠ ACB 的均分线，且 PD∥AB， PE ∥AC，求△ PDE的周长．
2．如图，在边长为 2 等边△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E、 F 是 AD 的三均分点，那么图
中阴影局部的面积是 __________cm 2．
3．如图，在△ ABC 中，CD与 C，分别是△ ABC的内角、外角均分线， DF//BC 交 AC于点 E．试说明 (1) △ DCF为直角三角形； (2)DE=EF．
4．如图，△ ABC 是等腰三角形，∠ B=∠ C，AD 是底边 BC 上的高， DE∥ AB 交 AC 于点 E．试
找出图中除△ ABC外的等腰三角形，并说明你的原由．
5.如图， AD是△ ABC的角均分线，点 E 在 AB 上，且 AE=AC，EF∥ BC交 AC于点 F．求证： EC 均分∠ DEF．
6．如图， AC 均分∠ BAD， CE⊥ AB 于 E，CF⊥ AD 于 F，且 BC＝DC． BE 与 DF 相等吗？请说明原由．
7．如图， C 为线段 AB 上任意一点〔不与A、 B 重合〕，在 AB 的同侧分别作
△ACD 和△ BCE，CA＝ CD， CB＝CE，∠ ACD 与∠ BCE都是锐角，且∠ ACD＝∠ BCE，连接
AE 交 CD于点 M，连接 BD 交 CE于点 N， AE 与 BD 交于点 P，连接 PC．
试说明：(1)△ ACE≌△ DCB．(2)PC 均分∠ APB．
8．如图，等边△( l 〕求 BE 的长；ABC中， D 是
( 2 〕试说明
AC的中点，延
长
BD=ED
BC到
点
E，使CE=CD， AB=10cm．
9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点 C、 D 分别在 OA、 OB 上．
〔1〕尺规作图〔不写作法，保存作图印迹〕：作∠ AOB的均分线OP；作线段CD 的垂直平分线 EF，分别与CD、 OP 订交于 E、 F；连接 OE、 CF、 DF．
〔2〕在所画图中，
①线段 OE 与 CD 之间有怎样的数量关系，并说明原由．
②求证：△ CDF为等腰直角三角形
10.如图，点 D 为等腰直角△ ABC内一点，∠ CAD＝∠ CBD＝15°， E 为 AD延长线上的一点，
且 CE＝ CA．
（1〕求证： DE均分∠ BDC；
（2〕假设点 M在 DE上，且 DC=DM，求证： ME=BD．
11.如图，设∠ BAC=θ〔0°＜θ＜90°〕 . 现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线 AB，AC 上. 从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且AA=AA .
121
(1)小棒能无量摆下去吗？答：.(填“能〞或“不能够〞)
(2) 假设已经摆放
了 3 根小棒，那么θ=___________，θ =__________ ，θ=__________；〔用
1
23
含θ的式子表示〕
(3)假设只能摆放 4 根小棒，求θ的范围 .
12．如图 1，点 P、 Q 分别是等边△ ABC边 AB、BC 上的动点〔端点除外〕，点 P 从顶点 A、点 Q 从极点 B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、 CP交于点 M ．（1〕求证：△ ABQ≌△ CAP；
（2〕当点 P、Q 分别在 AB、 BC 边上运动时，∠ QMC 变化吗？假设变化，请说明原由；假设不变，求出它的度数．
〔 3〕如图 2，假设点 P、 Q 在运动到终点后连续在射线AB、 BC上运动，直线AQ、 CP交点为 M ，那么∠ QMC 变化吗？假设变化，请说明原由；假设不变，那么求出它的度数．
13．如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，点 D、 E、F 分别在 BC、 AB、 AC 边上，且 BE＝ CD， BD ＝CF．
(1)试说明 DE＝ DF．
(2)假设∠ A＝ 40°，求∠ EDF的度数．
14．如图，△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=54°，∠ BAC的均分线与 AB 的垂直均分线交于点 O，将∠ C沿 EF〔 E 在 BC 上， F 在 AC上〕折叠，点 C 与点 O 恰好重合，那么∠ OEC为 _______．
15．如图，在△ ABC 中， AB＝AC＝ 5， BC＝ 6，点 M 为 BC的中点， MN⊥ AC于点 N，那么MN 等于
16．如图， P 为∠ AOB的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M， PN⊥ OB 于 N，连接 MN 交OP 于点 D．那么① PM＝ PN；② MO＝ NO；③ OP⊥ MN ；④ MD ＝ ND．其中正确的有
17．以以下图，等边三角形 ABC 的边长是 6，点 P 在边 AB 上，点 Q 在 BC 的延长线上，且AP＝CQ，设 PQ 与 AC 订交于点 D．
(1)当∠ DQC＝ 30°时，求 AP 的长．
(2)作 PE⊥ AC于 E，求证： DE＝ AE＋CD．
18．如图，在△ ABC 中， BA＝BC，
∠ B＝120°， AB 的垂直均分线DE 交 AC 于点 D．
(1)求∠ A 的度数；
(2)假设 AC＝ 6cm，求 AD 的长度．
19.假设直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、 12 cm，那么它的面积为__________cm 2．
20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．
AC=80 m． BC=60 m．
(1)假设入口 E 在边 AB 上，且与 A、 B 距离相等，求从人口 E 到出口 C 的最短路线的长；
10 元／ m，那么点 D 在距(2) 假设线段 CD 是一条水渠，且点 D 在 AB 边上，水渠造价约为
点 A 多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?
第三章勾股定理
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
1、勾股定理：
直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a2＋b2＝c2。

2、勾股定理的逆定理：
若是三角形的三边长a，b，c 相关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：
满足 a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。

常有勾股数： 3,4,5 ；6,8,10 ； 9,12,15； 5,12,13 。

4、简单运用：
⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；
理解：①直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。

②用于证明线段平方关系的问题。

③利用勾股定理，作出长为n 的线段
⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；
理解：①确定最大边〔不如设为c〕；
②假设 c2＝a2＋b2，那么△ABC是以∠C为直角的三角形；
假设 a2＋b2＜c2，那么此三角形为钝角三角形〔其中c为最大
边〕；假设 a2＋b2＞c2，那么此三角形为锐角三角形〔其中c为
最大边〕
⑶难点：运用勾股定理立方程解决问题。

例题评析
1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
∵
∴
C
B
例 1：〔 1〕如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，正方形 A、B、C 的面积分别是 8 cm2、10 cm2、14 cm2，那么
正
方形 D 的面积是 _______cm2．
〔 2〕如图， 1 号、 4 号两个正方形的面积为为7 ，2 号、 3 号两个正方形的面积和为4，那么 a， b， c 三个方形的面积和为
（3〕如图，阴影局部是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．那么大的半圆面积是 __________ ．
例 2： (1) 在 Rt△ ABC 中，∠ A＝ 90°，∠ B＝ 45°， AB＝3 ，那么 AC＝ _______ ． BC＝ ______ ．
(2)在 Rt△ ABC中，∠ B＝90°，∠ C＝ 30°， AB＝ 3，那么 AC＝_______． BC＝ ______.
(3)在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°， AC:AB=3:4， AB＝ 25，那么 AC＝ _______． BC＝ ______.
(4).在 Rt△ ABC 中 , AB＝6，AC＝ 8，那么 BC=.
例 3：〔 1〕如图， AB＝ 13，BC＝ 14， AC＝ 15， AD⊥BC 于 D，求 AD 长．
（2〕△ ABC中， AB＝ 13， AC＝15， AD⊥ BC，且 AD=12，求 BC 的长 .
例 4：〔 1〕在 Rt△ ABC 中，∠ A＝ 90°，∠ B＝ 45°， BC＝ 6, 求 AC和 BC．
（2〕在 Rt△ ABC中，∠ B＝90°，∠ C＝ 30°， BC＝ 3，求 AB 和 AC．
〔 3〕假设直角三角形中，一斜边比素来角边大2，且另素来角边长为6，求斜边的长．
〔 4〕等腰三角形 ABC的面积为 12，底上的高 AD 为 4，求它的腰长〔 5〕
等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积 .
例 5：〔 1〕在△ABC中，∠ C＝ 90°， AB＝ 6， BC＝ 8，DE 垂直均分 AB，求 BE 的长 .
（2〕在△ABC中，∠ C＝90°， AB＝ 6， BC＝ 8， AE 均分∠ CAE， ED⊥ AB,求 BE的长 .
（3〕如图，折叠长方形纸片 ABCD，是点 D 落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求 EC的长度 .
C C
E
E
A D B
A D B
2、勾股定理的逆定理：
一个三角形中，若是两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
A ∵
∴
C
B
例 1：每个小正方形的边长为 1.
(1)求ABC的面积(2) 判断ABC的形状
例 2：如图，在四边形 ABCD中，AB＝ 3 cm，AD＝ 4 cm，BC＝13 cm，CD＝ 12 cm，∠ A＝90°，求四边形 ABCD的面积．
例 3：如图，在△ ABC中， CD是 AB 边上的高， AD＝ 9， BD＝ 1， CD＝3试问：△ ABC是直角三角形吗？为什么？
例 4：如图，在△ ABC 中， AB=17 cm，BC=16 cm， BC 边上的中线 AD=15 cm，求 AC
3、勾股数：
常有勾股数有：3、、；5、、； 6、、；
9、、；
例：以下命题中，是假命题的是 ()．
A．在△ ABC中，假设∠ B＝∠ C＝∠ A，那么△ ABC 是直角三角
形B．在△ ABC中，假设 a2＝ (b＋ c) (b－ c)，那么△ ABC是直角
三角形
C．在△ ABC中，假设∠ A：∠ B：∠ C＝ 3：4： 5，那么△ ABC是直角三角形
D．在△ ABC中，假设 a： b： c＝ 5： 4：3，那么△ ABC是直角三角形
4、补充：
①长方体盒子内最长的线段d；
②长方体盒子外小虫爬行的最短路线d；
B B
A A
①圆柱体盒子内最长的线段d
②圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d C
B
C
B
A
A
例 2：底面周长为12，高为 8 的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点 B，那么蚂蚁爬行的最
短距离是 ()．
A． 10B． 8
C． 5D． 4
例 3：某开发区有一空地ABCD，以以下图，现方案在空地上种草皮，经测量，∠B＝ 90°，
AB＝ 3m，BC＝ 4 m ，AD＝ 12 m ， CD＝ 13 m ，假设每种植 1 平方米草皮需要 100 元，问总合需要投入多少元？
5、勾股定理的应用
例 1：〔 1〕一轮船以16 n mi1e ／ h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mi1e ／h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么走开港口A2h 后，两船相距
〔2〕一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能凑近建筑物底端 5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，那么云梯能够到达该建筑物的最大高度是
〔3〕一棵树在离地面9m 处断裂，树的顶部落在离底部12 m 处，树折断从前有 _______m．例 2：如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m ，
梯子的顶端 B 到地面的距离为24 m，现将梯子的底端 A 向外搬动到
A'，使梯子的底端A'到墙根 O 的距离等于 15 m ．同时梯子的顶端
B 下降至 B'，那 BB'等于()
A．3m B． 4 m C． 5 m D． 6 m
课后练习
1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的极点叫做格点，以格点为
极点分别按以下要求画三角形(涂上阴影 )。

(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
2：?中华人民共和国道路交通管理条例?规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得高出70千米／时．一辆“小汽车〞在一条城市街道上直道行驶，如图某一时辰恰好行驶到
路对面“车速检测仪 A〞正前面 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得“小汽车〞地址 B 与“车速检测仪 A〞之间的距离为 130 米，这辆“小汽车〞超速了吗？请说明原由．
3：如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且∠ QPN＝ 30°，点 A 处有一所中学，160 米，假设拖拉机行驶时，周围100 米以内会碰到噪音的影响，那么拖拉机在公路
AP＝MN 上
沿 PN 方向行驶时，学校可否回碰到噪声的影响？说明原由．若是受影响，拖拉机的速度
为 18 千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？
4：如图，A、B 两个乡村在河CD 的同侧， A、B 两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km ，CD＝3 km 现在河边CD 上建一水厂向A、B 两村输送自来水，铺设水管的花销为20 000 元／千米，请你在河CD边上选择水厂地址O，使铺设水管的花销最省，并求出铺设水管的总费
用？
第四章实数
1、平方根：
⑴定义：一般地，若是 x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根〔或二次方根〕。

⑵表示方法：正数 a 的平方根记做“ a 〞，读作“正、负根号a〞。

⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零的平方根是零；
③负数没有平方根。

2、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

3、算术平方根：
⑴定义：一般地，若是 x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地， 0 的算术平方根是 0。

⑵表示方法：记作“ a 〞，读作“根号a〞。

⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；
②零的算术平方根是零；
③负数没有算术平方根。

⑷注意 a 的双重非负性：a0,a0.
⑸ a 2
a 2 a a0 ,a2 a a 0
a a 0 ,
4、立方根：
⑴定义：一般地，若是 x3=a 那么这个数x就叫做a的立方根〔或三次方根〕。

⑵表示方法：记作“3 a 〞，读作“三次根号a〞。

⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③零的立方根是零。

⑷注意：3a3 a ，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。

⑸ 3
2
3 a3a a
5、开立方：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。

6、实数定义与分类：
⑴无理数：无量不循环小数叫做无理数。

理解：常有种类有三类：
①开方开不尽的数：如7 ,39 等；
②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8 等；
③有特定结构的数：如等； ( 注意省略号 )
⑵实数：有理数和无理数统称为实数。

⑶实数的分类：
①按定义来分②按符号性质来分
整数 ( 含 0)正有理数有理数分数正实数正无理数实数实数0
无理数负实数负有理数
负无理数7、实数比较大小法：
理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于所有负数；
⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左侧的大；
⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

⑷平方法： a、b 是两负实数，假设a2＞b2，那么 a＜b。

8、实数的运算：
①六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
②实数的运算序次：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，若是有括号，就先算括号里面的。

③实数的运算律：
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。

9、近似数：
由于实质中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不能能
获取精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫
取近似值的方法—— 四舍五入法。

近似数 。

10、科学记数法：
把一个数记为 a 10n 〔其中 1≤a ＜1,n 是整数 ) 的形式，就叫 科学计数法 。

11、实数和数轴：
每一个实数都能够用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是 一一对应 的关系。

例题评析
1、 a 的平方根是
，〔其中 a 〕
2、平方根的性质：
正数有
个平方根，它们
有有 个平方根，是
负数
〔 的平方根是它自己〕
3、 a 的算术平方根是 ，〔其中 a
〕
〔
的算术平方根是它自己〕
4、公式：
2
，〔其中 a
a
〕
a 2
，〔其中 a
〕
5、 a 的立方根是
，〔其中 a
〕
〔
的立方根是它自己〕
6、公式：
3
3
，〔其中 a
a
〕 3
a 3
，〔其中 a
〕
例 1：〔 1〕169 的平方根是 _____， 196 的算术平方根是 _____， 125 的立方根是 _____；
〔 2〕 144 的平方根是 _____， 3 64 的平方根是 _____，
64 的立方根是 ____ ．
例 2：化简：
0.64 ____ ，－
121
_____， 3
2
10
____，
3 =____， 3
7
____
2
3
81
27
例 3：若是一个正数的平方根是a＋3 与 2a－15，求这个正数．
例 4： 2a－1 的平方根是±3， 3a＋b －1 的立平方根是 3，求 a＋ 2b 的平方根．
例 5：〔 1〕假
设x y1y 32
＝ 0，那么 x－y＝_____
〔 2〕y3x 2 2 3x 2 ，那么x＝_____，y＝_____
例 6：求以下各式中的x．
(1) 4x2-3＝22(2)(4x－ 1)2＝ 289(3)1 x39 0(4)( x2)3729 0
3
0例 7： (1) 5242(2)363 27(3) 19〔 4〕(2)2 3 81
253
例 8：数 a 在数轴上对应的地址以以下图，化简2
3 a3．2a 1a 1
7、和统称为实数.实数与一一对应.
无理数的三种形式：〔 1〕
〔 2〕
〔 3〕
例 1：把以下各数填入相应的会集内， 4 2
，- 39，，10 ，，0，3125 ，，33
16
，，
49
(1)有理数会集：{}(2)无理数会集：{}
(3)正实数会集：{}(4)负实数会集：{}
例 2：在数轴上找出表示- 5的点 .
例 3：
〔1〕指出以下各数在哪两个相邻整数之间
①<27<；②<3+27<；③<27－2<；④<7－27<；〔2〕27 的整数局部是，小数局部是.
〔3〕满足
2 x
3
的整数是
〔4〕绝对值小于
7 的整数是
例 4：〔1〕 3
1
的倒数是 _______，相反数是 _______，绝对值是 _______．
27
〔2〕2－ 5 的相反数是 ____，绝对值是 ______． 2 - 1的相反数是
_ ___，绝对值是 _____．
〔3〕 5- 30 =
，3- 6=
， 3
， p - 3 =
.
例 5：比较以下各组数的大小：
〔1〕3 2
2 3
〔2〕- 8 2
- 5 6
〔3〕37
2
例 6：如图，数轴上表示 1，
2 的对应点分别为
A 、
B ，点 B 关于点 A 的对称点为
C ，那么点
C 表示的实数为
〔
〕
0 C
A
B
A ．
2 － 1
B ． 1－ 2
C ．2－ 2
D ． 2 － 2
例 7：计算：
1
1
2021
3
2021
骣
1
-1 (1) 16
1
；(2)
8 (3)
( 1)
| 2
3 |
1-
2 +
3- 2 +?
-
÷
；(3)
÷
?
÷
2
?
桫3
8、近似数
例 1: 小明的体重约为
51.51 kg ，假设精确到 10 kg ，其结果为 ______；
假设精确
到 1 kg ，其结果为 ______；
假设精确
到 0.1 kg ，其结果为 ______．
例 2：近似数
5
1.8 ×10精确到
例 3：近似数 的正确数 a 的取值范围是 __
__
__．
相关练习：
1、以下各数： 13， ， 0，一 4， (一 3)2
，一
3 ， 3．14— ，其中有平方根的数的
个数是
(
)
A ．2个
B ．3个
C ．4 个
D ．5 个
2、若是
3
a
4 4 ，那么 (a —67)3 的值为
()
A ． 64
B ．一 27
C ．一 343
D ． 343
3、以下说法中不正确的选项是〔
〕 .
A.10 的平方根是±10
B.－ 2 是 4 的一个平方根
C.4
的平方根是
2
D.0.01 的算术平方根是93
4、假设2x1 31x 有意义，那么x的取值范围
是()
A． x≥1
B． x≤ 1C．
1
≤x≤ 1D． x≥
1
或 x≤1 222
5、若是2a 1和
5
a 是一个数 m 的平方根，那
么a____,m______.
6、 a 是小于 3+ 5 的整数，且2a a 2 ，那么a的所有可能的取值是______．
7、 5+7 的小数局部是a， 5 一7 的小数局部是b ，求 (a+b)2021的值．
8、设 m 是 5 的整数局部，n是 5 的小数局部，试求2m －n 的值．
9、实数 x,y 满足x 2 y 32x
2
0，求x一8y的立方根．3 y 5
10、 3x－ 9 的平方根是0，那么
x=
； 5+2y 的立方根是－ 3，那么
y=．
11、当 0＜ a＜ 1 时，化简a 1 － a 2=．
12、写出一个 3 到 4 之间的无理数 _________．
13、比较以下实数的大小： 3 6___________ 213．
14、a 6 +(b8)2c10 =0，那么以a、b、c为三边的三角形形状是.
15、按要求取近似数：
〔1〕 68.5 〔精确到10〕；〔 2〕万〔精确到千位〕；〔3〕 0.05097 〔精确到万分位〕；〔 4〕 367 000 000 (精确到千万位 ).
16、假设 a、b 为实数，且a2b14b7 3 ，求 (a b)2 。

17、求 x 的值：(1)16x2490；(2)( x1)225 ；(3)(2 x) 38 ； (4) ( x 3)327
18、以以下图的正方形网格，每个正方形极点叫格点，
请在图中画一个面积为10 的正方形．
19、地球七大洲的总面积约是149480000 km2，如对这个数据精确到百万可表示为_________ 20、中华人民共和国 2004 年公民经济和社会睁开统计公报?宣布的数据， 2004 年我国因洪涝和干旱造成
的直接经济损失达97500000000 元，用科学记数法表示这一数据为____________元〔精确到亿〕。

21、在实数- π，1 ，|-2
3
｜，4，7，39 ，中，无理数个数为()
（A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕5
22、在所给的数：23，3 5 ，1 ，， 0．57．0． 585885 888 588 885 (相邻两个 5
3
之间的 8 的个数逐次增加1)中，无理数的个数是() A． 2B． 3C．4D． 5
第五章平面直角坐标系
1、在平面内，确定物体的地址一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系及相关看法：
⑴平面直角坐标系：
定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；
铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向； x 轴和 y 轴统称
坐标轴。

它们的公共原点 O称为直角坐标系的原点；
建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

⑵象限：为了便于描述坐标平面内点的地址，把坐标平面被x 轴和 y 轴切割而
成的四个局部，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意： x 轴和 y 轴上的点〔坐标轴上的点〕，不属于任何一个象限。

⑶点的坐标的看法：
①关于平面内任意一点P, 过点 P 分别 x 轴、 y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、 y。