新初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编附解析(1)

新初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编附解析(1)
一、选择题
1．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.
【详解】
∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，
∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，
则有
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.
2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( )
A．24002400
8
(120%)
x x
-=
+
B．
24002400
8
(120%)x x
-=
+
C．
24002400
8
(120%)x x
-=
-
D．
24002400
8
(120%)
x x
-=
-
【答案】A
【解析】
【分析】
求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．
【详解】
原计划用的时间为：2400
x ，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：
2400
x
-()2400120%x +=8．
故选A 【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）
A ．
60045025x x =- B ．
600450
25
x x =- C ．
600450
25x x
=+ D ．
600450
25
x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】
原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】
由题意得：现在每天生产（x+25）个，
∴600450
25x x =+， 故选：C. 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=
B ．800800
402.25x x -= C ．800800
401.25x x -= D ．
800800
401.25x x
-= 【答案】C 【解析】 【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即
可． 【详解】
小进跑800米用的时间为
800
1.25x
秒，小俊跑800米用的时间为
800
x
秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是800800
40
1.25
x x
-=，
故选C．
【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
5．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）
A．110100
2
x x
=
+
B．
110100
2
x x
=
+
C．
110100
2
x x
=
-
D．
110100
2
x x
=
-
【答案】A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
110
2 x+=
100
x
，
故选A．
6．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x元，则可列方程为（）
A．30007200
40
30
x x
-=
+
B．
72003000
40
30
x x
-=
+
C．72003000
40
30
x x
-=
+
D．
30007200
40
30
x x
-=
+
【答案】C
【解析】
【分析】
设该花束上午单价为每束x元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
设该花束上午单价为每束x元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：
72003000
4030x x -=+ 故选：C 【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，
∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程
1
311y a y y
+-=-- 解得y=
2
a
+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
8．方程
221
11
x x
x x
-
=
-+
的解是（）
A．x＝1
2
B．x＝
1
5
C．x＝
1
4
D．x＝
1
4
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，
解得：x＝1
5
，
经检验x＝1
5
是分式方程的解，
故选B．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为3000元和2000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元．求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程正确的是( )
A．30002000
1500
1
x x
+=
+
B．
20003000
1500
1
x x
+=
+
C．30002000
1500
1
x x
+=
-
D．
20003000
1500
1
x x
+=
-
【答案】C
【解析】
【分析】
设A种月饼单价为x元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A种月饼单价为x元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程30002000
1500
1
x x
+=
-
，
故选C.【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180180
32
x x -=+ B ．180180
32x x -=+ C ．
180180
32x x -=- D ．
180180
32x x
-=- 【答案】D 【解析】 【分析】
先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊
了3元钱车费列出方程即可. 【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：180180
32x x
-=-. 故选：D. 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23
a b a ab
⊗=-，这里等式右边是通常的
四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】
根据题中的新定义化简得：
33
9342x x
=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，
经检验x =﹣1是分式方程的解．
故选B ． 【点睛】
本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．方程
1235
x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =
C ．3x =-
D ．1x =
【答案】D 【解析】 【分析】
方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】
方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】
本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.
13．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程
233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答
案． 【详解】
解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根， 所以：2
44(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：4
3
a ≥-且0a ≠，
因为：
233x a a x x
-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，
所以：(1)22a x a -=+， 当1a =时，方程无解， 当1a ≠时，方程的解为224
211
a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，
所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：4
3
a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，
所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．
14．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为
150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间
比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）
A ．15020150 1.52.5x x --=
B ．15015020
1.5
2.5x x --= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．15020150
1.5
2.5x x --= 【答案】C 【解析】 【分析】
根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案. 【详解】
根据题意可得，走高速所用时间150202.5x -小时，走国道所用时间150
x
小时
即15015020
1.5
2.5x x --= 故答案选择C. 【点睛】
本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等式是解决本题的关键.
15．解分式方程
221
112
x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ）
A ．220x x -+=
B ．4241x x x -+=-
C ．4241x x x +-=-
D ．221x x x +-=-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案． 【详解】 ∵221
112x x x x --=--， ∴
221
112
x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1， 去括号得：4x+2x-4=x-1， 故选：C ． 【点睛】
本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．
16．如果关于x 的分式方程
有负数解，且关于y 的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A ．﹣2
B ．0
C ．1
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
解关于y 的不等式组
，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程
有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所
有符合条件的值之和即可． 【详解】
由关于y 的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解， ∴2a +4≥﹣2 即a ≥﹣3 又∵
得x ＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
17．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）
A．10000
x
﹣
9000
5
x-
=100 B．
9000
5
x-
﹣
10000
x
=100
C．10000
5
x-
﹣
9000
x
=100 D．
9000
x
﹣
10000
5
x-
=100
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
9000 x5 -﹣
10000
x
=100，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
18．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()
A．5
x
＋
1
6
＝
5
2x
B．
5
x
＝
5
2x
＋
1
6
C．
5
x
＋10＝
5
2x
D．
5
x
－10＝
5
2x
【答案】B 【解析】【分析】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．
【详解】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，
由题意得, 5
x
＝
5
2x
＋
1
6
所以答案为B.
【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
19．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）
A．480
x
＋
480
+20
x
＝4 B．
480
x
－
480
+4
x
＝20 C．
480
x
－
480
+20
x
＝4 D．
480
4
x-
－
480
x
＝20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．【详解】
由题意得
480 x －
480
+20
x
＝4
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
20．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．120100
x x10
=
-
B．
120100
x x10
=
+
C．
120100
x10x
=
-
D．
120100
x10x
=
+
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，120100 x x10
=
-
.
故选A.。