遵化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

遵化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
2． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ）
A ．[﹣6，2]
B ．[﹣6，0）∪（ 0，2]
C ．[﹣2，0）∪（ 0，6]
D ．（0，2]
3． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 下列函数中，与函数()3
x x
e e
f x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）
A ．(ln y x =
B ．2y x =
C ．tan y x =
D ．x y e = 5． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0
6． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨
>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．22⎡-⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．⎤⎥⎣⎦
D ．⎡-⎢⎣⎦
7． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件
8． 已知命题p ：∀x ∈（0，+∞），log 2x ＜log 3x ．命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2．则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p ∧q
B ．￢p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∧￢q
9． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等
于（ ）
A． B． C．24 D．48
10．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）
A．1
3
B．
2
3
C．1D．2
11．设集合，则A∩B等于（）
A．{1，2，5} B．{l，2，4，5} C．{1，4，5} D．{1，2，4}
12．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
（）
二、填空题
13．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；
以上命题中真命题的序号为．
14．已知实数x，y满足约束条，则z=的最小值为．
15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
16．8
1()x x
的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）
【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
17．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．
18．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．
三、解答题
19．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2
﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．
20．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是CC 1、BC 的中点，AE ⊥ A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点． （1）证明：DF ⊥AE ；
（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D 的位置，
若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X ，求X 的分布列和期望．
参考公式：22
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++
22．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=1﹣，b n =
，其中n ∈N *
．
（1）求证：数列{b n }为等差数列；
（2）设c n =b n+1•（），数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ；
（3）证明：1++
+…+
≤2
﹣1（n ∈N *
）
23．2()sin 2f x x x =. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆的面积为. 24．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

遵化市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2
，圆心为（﹣a ，0），
∴方程x 2+2ax+y 2
=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A ．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
2． 【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q ， ∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=
．
当q ＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b ∈（0，2]；
当q ＜0时，b =﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b ∈[﹣6，0）．
∴b 的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3． 【答案】B 【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．
考点：几何体的结构特征． 4． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性．
5．【答案】
B
【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．
分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）
那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．
故选B．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．
6．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
7．【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），
∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=
或A=
，
故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
8． 【答案】 B
【解析】解：命题p ：取x ∈[1，+∞），log 2x ≥log 3x ，因此p 是假命题．
命题q ：令f （x ）=x 3﹣（1﹣x 2
），则f （0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0，∴f （0）f （1）＜0，∴∃x 0∈（0，1），
使得f （x 0）=0，即∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2
．因此q 是真命题．
可得￢p ∧q 是真命题． 故选：B ． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基
础题．
9． 【答案】C
【解析】解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|=10，
∵3|PF 1|=4|PF 2|，∴设|PF 2|=x ，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF 1|=8，|PF 2|=6， ∴∠F 1PF 2=90°，
∴△PF 1F 2的面积=． 故选C ．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
10．【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111
ABCD A B C D
中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=，选B ． 11．【答案】B 【解析】解：∵集合，
当k=0时，x=1； 当k=1时，x=2； 当k=5时，x=4； 当k=8时，x=5， ∴A ∩B={1，2，4，5}． 故选B ．
【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
12．【答案】D 【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．
二、填空题
13．【答案】 ①②④ ．
【解析】解：①连结BD ，B ′D ′，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′，所以①正确．
②连结MN ，因为EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积
最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
14．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．【答案】 84 ．
【解析】解：（x 2﹣）9
的二项展开式的通项公式为 T r+1=
•（﹣1）r •x 18﹣3r ，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T 7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
16．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
17．【答案】 （3，1） ．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0，得 即（2x+y ﹣7）m+（x+y ﹣4）=0， ∴2x+y ﹣7=0，① 且x+y ﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0的图象就和m 无关，恒过一定点． 由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）； 故答案为：（3，1）
18．【答案】4．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，
由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．
X的分布列为：
X的数学期望为
()5151519
0123
282856568
E X=⨯+⨯+⨯+⨯= (12)
分
22．【答案】
【解析】（1）证明：b n+1﹣b n
=
﹣
=
﹣=1，又b1=1．∴数列{b n}为
等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：b n=n．
c n=b n+1•
（
）=（n+1
）．
∴数列{c n}的前n项和为T n
=+3
×
++…+（n+1
）．
=+3
×+…
+n+（n+1
），
∴T n
=
+
++…
+﹣（n+1
）
=
+﹣（n+1
），
可得T n=﹣．
（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n∈N*）即为：1+++…+≤﹣1．
∵=＜=2（k=2，3，…）．
∴1+++…+≤1+2[（﹣1）+（）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．
∴1+++…+≤2﹣1（n∈N*）．
23．【答案】（1）
5
,
36
k k
ππ
ππ
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
（k∈Z）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据3
222
262
k x k
πππ
ππ
+≤-≤+可求得函数()
f x的单调递减区间；（2）由1
2
A
f
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
可
得
3
A
π
=，再由三角形面积公式可得12
bc=，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
试题解析:（1）111
()cos22sin(2)
2262
f x x x x
π
=-=-+，
令3
222
262
k x k
πππ
ππ
+≤-≤+，解得
5
36
k x k
ππ
ππ
+≤≤+，k Z
∈，
∴()
f x的单调递减区间为5
[,]
36
k k
ππ
ππ
++（k Z
∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．
24．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，。