山西省忻州市静乐一中2019届高三下学期第三次月考数学(文)试卷含详解

静乐一中2019学年第二学期高三年级第三次月考
数学试题（文）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合题目要求的）
1.若集合{}{}
2540;1,
A x x x
B x x a
=-+=-
＜＜则“(2,3)
a∈”是“B A
⊆”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 记复数z的虚部为)
Im(z，已知复数
5
2
2
z i
i
=-
+
（i为虚数单位），则)
Im(z为( ) A．2 B. 3
- C. 3i
- D. 3
3．已知函数()()
sin
f x x
ωϕ
=+（0
ω>，
2
π
ϕ<）的零点构成一个公差为
2
π
的等差数列，
3
(0)
f=-，则()
f x的一个单调递增区间是( )
A.⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
12
,
12
5π
π
B. ⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
3
,
6
π
π
C. ⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
12
5
,
12
π
π
D. ⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
12
7
,
12
π
π
4.已知点P为双曲线()
22
22
10
x y
a b
a b
-=>>右支上一点，点
1
F，
2
F分别为双曲线的左右焦点，点I
是
12
PF F
△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有
1212
1
3
IPF IPF IF F
S S S
-≥
△△△
成立，则双曲线的离心率取值范围是（）
A．(]
1,2B．()
1,2C．(]
0,3D．(]
1,3
5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE
-内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD
-内的概率为（）
A．
3
4 B．
2
3 C．
1
3 D．
1
2
6．已知圆()()
22
:1
C x a y b
-+-=，平面区域
60
:40
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
Ω-+≥
⎨
⎪≥
⎩
，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则圆心(),
C a b与点()
2,8连线斜率的取值范围是（）
A．
77
,,
35
⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞
⎪
⎥⎢
⎝⎦⎣⎭
U B．
77
,,
35
⎛⎤⎛⎫
-∞-+∞
⎪
⎥
⎝⎦⎝⎭
U C．
77
,
35
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D．
77
,
35
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
7．已知正项等比数列{}
n
a满足
765
2
a a a
-=.若存在两项,
m n
a a
1
4
m n
a a a
=，则
9
n m
mn
+的最小值为( )
A．
8
3
B．
11
4
C．
14
5
D．
17
6
8. 函数2
sin
()2
x
f x x x
x
=+-的大致图象为（）
A ．
B ．
C ．
D ． 9．已知()122F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫
=++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
L ，n *∈N 则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．()21n a n =+ C ．1n a n =+ D ．223n a n n =-+ 10．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu u v 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,3 11.将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O
的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．7π2
B ．7π
C ．13π2
D ．13π3
12．定义在R 上的可导函数)(x f 满足1)1(=f ，且1)(2>'x f ，
当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈23,2ππx 时，不等式232sin 2)cos 2(2>+x x f 的解集为( )
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,3ππ
C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π
D ． ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3,3ππ
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的
最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法 —“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源
于“辗转相除法”，当输入6102,2016a b ==时，输出的a =
14.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接
嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为12,P P ，则12P
P += . 15. 设函数x x x f 1
)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1
)()(21+≤k x f k x g 恒成立，
则正数k 的取值范围是 .
16.设函数()2(),f x x a x b a b R =+++∈，当[]2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则
(),M a b 的最小值为______．
三、解答题（解答应学出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）
17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为
sin sin sin 23
,,,0sin sin 3
a A
b B
c C a b c a B C +--=且
.
（1）求角C ；
（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.
18. （本题满分12分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测
0
→ → → → →
出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(]
195,210内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.
(1)根据图1估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;
(2)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了
5000件产品,则甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?
(3)根据已知条件完成下面22
⨯列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”?
附:B (其中
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
为样本容量)
2
()
P K k
≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19. （本题满分12分）
如图，在三棱柱
111
ABC A B C
-中，侧棱
1
AA⊥底面ABC，M为棱AC的
中点．=
AB BC，=2
AC，
1
2
AA．
（1）求证：
1
B C∥平面
1
A BM；
（2）求证：
1
AC⊥平面
1
A BM；
（3）在棱
1
BB上是否存在点N，使得平面1
AC N⊥平面
11
AA C C？
如果存在，求此时
1
BN
BB
的值；如果不存在，请说明理由．
20．（本题满分12分）
已知椭圆()
22
122
:10
x y
C a b
a b
+=>>的左右顶点是双曲线
2
2
2
:1
3
x
C y
-=的顶点，且椭圆
1
C的上
顶点到双曲线
2
C
3
．
（1）求椭圆
1
C的方程；
（2）若直线l与
1
C相交于
1
M，
2
M两点，与
2
C相交于
1
Q，
2
Q两点，且
12
5
OQ OQ
⋅=-
u u u u r
u u u u r
，求
12
M M 的取值范围．
21．（本题满分12分）已知函数()()02ln 22
>+-=m x mx x x f (1)讨论函数()x f 的单调性； (2)当2
23≥
m 时，若函数()x f 的导函数()x f '
的图象与x 轴交于B A ,两点，其横坐标分别为()2121,x x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且21,x x 恰为函数bx cx x x h --=2
ln )(的零点，
求证：.()()2ln 3
20'
21+-≥-x h x x .
选考题（本题满分10分）请考生在22,23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22．选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos ,
2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）经过点(2,1)M （平面直角坐标系xOy 中点）作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()32f x a x x =--+. （1）若2a =,解不等式()30f x -≤；
（2）若存在实数a , 使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立,求实数a 的取值范围.
静乐一中2019学年第二学期高三年级第三次月考
数学（文科）参考答案
一、选择题
CBCDD ABDBA BD 二、填空题 13.18 14. 56 15. 25
8
16.246+ 三、解答题 17.（Ⅰ）由
sin sin sin 3
0sin sin 3
a A
b B
c C a B C +--=，得：
3b sin 3a a b b c c a C ⋅+⋅-⋅=⋅，即2223sin 2ab 3a b c C +-=,由余弦定理得3
cos 3
C C =
∴tan 3C =
∵()0,C π∈，∴3
C π
=
……………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理：
22
121cos 42c c b CDA =+-⨯⨯⋅∠，22
121cos 42
C a c c DB =+-⨯⨯⋅∠，
两式相加得22
2
22
c b a +=+ 即222
)2(4b a c +=+
∵2222cos a c b ab C =+-⋅，
∴2242a b ab ab
+=-≥
∴
43
ab ≤
，当且仅当a b =时取等号 所以11433S =
absinC 22323
ABC ∆≤⨯⨯=……………………………12分 18．(Ⅰ)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ,因为
()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=,
则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= 解得3900
19
x =
（或写成205.263）. …………………4分 (Ⅱ)由甲,乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件, 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010
P =
=甲 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855
P =+⨯=
乙,
于是,若某个月内甲,
乙两条流水线均生产了5000件产品, 则甲,乙两条流水线生产的不合
格品件数分别为:
31
50001500,50001000105⨯
=⨯=.…………………8分 (Ⅲ) 22⨯列联表:
则()2
21003506004
1.350507525
3
K ⨯-=
=
≈⨯⨯⨯, 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”. …………………12分 19．（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．
在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，
又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．…………………4分 （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．
∵1=AA AC A I ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥
∵=2AC ，∴=1AM ．又∵12AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan 2AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝，
即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥
∵1BM A M M =I ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．…………8分 （3）解：当点N 为1BB 的中点，即
11
2
BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C
证明如下：
设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，
且11
2
DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，
∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，
∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ， ∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．…………………12分
20．（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ， 双曲线2C 的渐近线为：3
30y x x y =±
⇔±=， 由点到直线的距离公式有：3312b b ±=⇒=，∴椭圆方程2
213x y +=．……4分
（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2
213
x y -=，消去y 并整理得：
()2
2
2136330k x
kmx m ----=，
要与2C 相交于两点，则应有：()()2222222
2
130130
36413330
13k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩， 设()111,Q x y ，()222,Q x y ，
则有：122
613km x x k +=-，212233
13m x x k --⋅=-．
又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u u u u u r u r
．
又：125OQ OQ ⋅=-u u u u r
u u u u r ，所以有：
()()()22222221
133613513k m k m m k k
⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②
将y kx m =+，代入2
213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，
要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③
由①②③有21
09
k <≤．
设()133,M x y 、()244,M x y ．有342
613km x x k -+=+，234233
13m x x k -⋅=+，
()()
()
22222
122
23643313113k m m k M M k k --+=+⋅
+
()
()
2222
24339113m k k k ---=+⋅
+．
将22
19m k =-代入有()
2
2
212122
2
212144111313k k M M k M M k k
k =+⋅
⇒=
+++．
()
()
22122
2112
13k k M M k +⇒=+，令2t k =，10,9t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦，
令()()
()
()()
2
3
11'1313t t t
f t f t t t +-=
⇒=
++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
．
所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦内单调递增，
故()(
1250,0,1072f t M M ⎛⎤
⎤∈⇒∈ ⎥⎦⎝⎦
．…………………12分 21．解：（1）由于的定义域为，则. --—--1
分
对于方程，其判别式. 当，即时，恒成立，故
在内单调递增. ---2
分 当
，即
，方程
恰有两个不相等是实，令，得
或，此时
单调递增；令
，得
，此时
单调递减.
综上所述，当时，
在
内单调递增；
当
时，
的减区间为：
，
增区间为： ，
-----4分
（2）由（1）知，，
所以的两根，
即为方程的两根.因为，所以，
，
. ----5分
又因为，为
的零点， 所以
，22
22ln bx cx x --=0，----- 6分
两式相减得，得. ----7分
而，所以
.
-------9分
令，由得，因为，
两边同时除以，得，因为，故，
解得或，所以.
--------10分
设，所以，则在上是减函数，所以
，
即的最小值为.所以. ----12分22.（1）由曲线C的参数方程,得
cos,
4
sin,
2
x
y
θ
θ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
…………………………………………1分
所以曲线C的普通方程为
22
1
164
x y
+=. …………………………………………3分
（2）设直线l的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为
1
1
2cos,
1sin,
x t
y t
θ
θ
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（t为参数）. ………………………………………………4分
代入曲线C的直角坐标方程，得
()()
222
1111
cos4sin4cos8sin80
t t
θθθθ
+++-=, ……………………………6分
所以
11
1222
11
1222
11
4cos8sin
,
cos4sin
8
.
cos4sin
t t
t t
θθ
θθ
θθ
+
⎧
+=-
⎪+
⎪
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
…………………………………………7分
由题意可知
12
2
t t
=-. …………………………8分
所以22
1111
12sin16sin cos3cos0
θθθθ
++=，即2
121630
k k
++=.………9分
解得47
k -±=
.所以直线l 的斜率为47-±. ……………………10分
23（1）不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤,……………………………1分
则2,2323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩,或233223
x x x ⎧
>⎪
⎨⎪---≤⎩………4分, 解得3742x -
≤≤,所以不等式()3f x ≤的解集为37|42x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭.………………5分
（2）不等式x a x f ++-≥221)(等价于a x x a -≥+--1233，……6分 即a x a x -≥+--1633，由基本不等式知
()()6633633+=+--≤+--a x a x x a x ，……………………………8分
若存在实数a ，使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立，则
a a -≥+16，……………………………9分
解得25-
≥a ，所以实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-,25……………………………10分。