学18—19学年上学期高二第一次调研考试数学(理)试题(附答案)

2018-2019学年高二年级第一次调研考试
数学 试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（每题5分，共60 分） 1.命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定是( )
A ．∀x ∈R ，|x|＋x 2<0
B ．∀x ∈R ，|x|＋x 2≤0
C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 02<0
D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 02≥0
2.已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3.下列关于命题的说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“a ，b 都是有理数”的否定是“a 、b 都不是有理数”
D ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题为真命题 4.用辗转相除法求840和1764的最大公约数是（ ） A ．84 B ．12 C ．168 D ．252 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )
A ．5 040
B ．4 850
C ．2 450
D ．2 550
6.若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.12 B.1
4
C ．2
D ．4
7.到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线
C ．线段AB
D ．无轨迹 8.已知P 是椭圆 x 225＋y 2b 2＝1(0<b<5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP →＋OF 1→
|＝8，
则点P 到该椭圆左焦点的距离为( ) A ．6 B ．4 C ．5
2
D.2
9.中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本
进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A ．30 B ．35 C ．32 D ．36
10.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)． 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2，5 B ．5，8 C ．5，5 D ．8，8
11.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日
参加某公益
活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12
D.7
12
12.
如图，已知椭圆C: x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满
足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )
A.x 225＋y 25＝1
B.x 236＋y 210＝1
C.x 236＋y 216＝1
D.x 245＋y 2
25＝1
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知焦点在x 轴上的椭圆,
= 1
2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________ 14.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为________元． 15．下列四个命题中
①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；
②“a ＝
3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件； ③函数y ＝
x 2＋4
x 2
＋3
的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
a x
b y
ˆˆˆ+=b ˆ
a
c
16.已知O 为坐标原点， F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右
顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 中 为________ 三、解答题（18题10分，其余每题12分）
17.命题P ：函数 有意义，命题q ：实数 满足
当 且 p ∧q 为真，求实数 的取值范围；
若 是 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18.已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀ x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．
19.如图，已知椭圆 x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶
点，直线AF 2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆中 的值；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆的方程．
20.已知F 1，F 2为椭圆C ：
（a ＞b ＞0）的左右焦点，椭圆上的点到F 2的最近距离为2，且
为13
． （1）椭圆C 的方程；
（2）设点A （-1，2），若P 是椭圆C 上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
)0)(34lg(22>-+-=a a ax x y 02
3<--x x 1=a p ⌝q
⌝122
2
2=+b y a x x
x l a
c
a c
a
c
（3）若E 是椭圆C 上的动点，求 的最大值和最小值．
21.2018年“双节”期间，高速公路车辆较多．库尔勒市某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图． （1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值． （3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车 速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．
22.某研究机构对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据： （1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方
程 ；
（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
相关公式：
2
1.EF EF →→a x b y ˆˆ
ˆ+=x b y a
x n x
y x n y
x b
n
i i
n
i i
i
ˆˆ,ˆ1
2
2
1
-=--=∑∑==
高二第一次调研考试数学参考答案
一．选择题
1-5 CADAC 6-10 BCDDB 11-12 AC 二．填空题
13.x 24＋y 23＝1 14. 65.5 15. ①②③ 16.13 三.解答题
17.解：（1）由-x 2+4ax-3a 2＞0得x 2-4ax+3a 2＜0， 即（x-a ）（x-3a ）＜0，其中a ＞0， 得a ＜x ＜3a ，a ＞0，则p ：a ＜x ＜3a ，a ＞0． 若a=1，则p ：1＜x ＜3， 由
解得2＜x ＜3． 即q ：2＜x ＜3．
若p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，
即，解得2＜x ＜3，
∴实数x 的取值范围（2，3）．.........................................................................................(6分) （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴即（2，3）是（a ，3a ）的真子集．
所以，解得1≤a ≤2．实数a 的取值范围为[1，2]. .........................................(12分)
18.解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a>1.....................................................................(2分) 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即a 2－4a<0，∴0<a<4.∴q ：0<a<4........(4分)
而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．.
(1)若p 真，q 假，则a ≥4；(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1...........................................................(8分)
所以a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．.....................................................................................(10分)
19.(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．
所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c.所以a ＝2c ，c a ＝2
2.....................................(6分)
(2)由题知 A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，由题意得x ＝32，y ＝－b
2
.
代入x2
a2＋
y2
b2＝1，得
9
4
a2＋
b2
4
b2＝1..即
9
4a2＋
1
4＝1，解得a
2＝3.所以椭圆方程为x
2
3＋
y2
2＝
1.................(12分)
20.解：（1）由条件知，解得c=1，a=3．
则b2=a2-c2=8．
所以椭圆C ：；............................................................................................................（4分）
（2）设M（x，y），因为M为PA的中点，所以P（2x+1，2y-2）．
又因为点P 在椭圆上，所以即为所求点M的轨迹方程；..............（8分）
（3）设E（x0，y0），则有．因为F1（-1，0），F2（1，0）．
所以
=．
因为点E在椭圆上，所以
0．所以．
所以当时，所求最小值为7，当时，所求最大值为8．..............................................(12分)
21.解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样.................................................................................................（2分）
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5...........................................（4分）
设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×
（x-75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为
77.5..................................................................................（6分）
（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）.........................................................................................................（8分）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种....................... ..........（10分）
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种,所以车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为
．...........................................(12分)
22解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．如
图所示：......(3分)
(2)
x i y i=6×2+8×3+10×5+12×6=158，==9，==4，
=62+82+102+122=344，===0.7
=-=4-0.7×9=-2.3，故线性回归方程为
=0.7x-2.3．..............................................(10分)
当x=9时，=0.7×9-2.3=6.3-2.3=4，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4．..........(12分)。