2022年北师大版八年级上册数学第四章一次函数 单元复习课

单元复习课第四章一次函数
答案：①变量；②关系式法；③图象法；④y＝kx(k≠0)；⑤第一、三；⑥第二、四；⑦增大；
⑧减小；⑨y＝kx＋b(k≠0)；⑩第一、二、三象限；⑪第一、三、四象限；⑫第一、二、四象限；⑬第二、三、四象限；⑭增大；⑮减小．
考点1 一次函数的概念
1．(2021·陕西中考)如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：
①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是(B)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解析】因为这是球形容器，S是V的函数，S是h的函数，因此，①④符合题意；V不是S
的函数，h 不是S 的函数，②③不符合题意．
2．(2021·昭通中考)若y ＝(k －2)x |k －1|＋1表示一次函数，则k 等于(A ) A ．0
B ．2
C ．0或2
D ．－2或0
【解析】∵函数y ＝(k －2)x |k －1|＋3是一次函数， ∴|k －1|＝1且k －2≠0， 解得：k ＝0. 【加固训练】
(2021·西吉中考)过A (1，1)，B (4，0)两点的函数表达式是(C ) A ．y ＝－1
3
x
B ．y ＝13 x －4
3
C ．y ＝－13 x ＋4
3
D ．y ＝4x
【解析】∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (1，1)，B (4，0)两点，∴k ＋b ＝1 ①， 4k ＋b ＝0 ②， 解得k ＝－13 ，b ＝4
3 ，
∴函数表达式为y ＝－13 x ＋4
3
.
【方法技巧】 快速理解函数
变量：变化的量，找对应值
常量：不变的量，决定“变量”的变
考点2 一次函数的图象和性质
3．在平面直角坐标系中，函数y ＝2kx (k ≠0)的图象如图所示，则函数y ＝－2kx ＋2k 的图象大致是(D )
【解析】根据题图象可得：2k＜0，∴－2k＞0，
∴函数y＝－2kx＋2k的图象是经过第一、三、四象限的直线．
4．(2021·孝义中考)同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k(k，b为常数)的图象可能是(B)
【解析】A.若k＞0，b＞0，则一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k(k，b为常数)都是y随x增大而增大，且都交y轴的正半轴，不符合题意；
B．若k＜0，b＞0，则一次函数y＝kx＋b是y随x增大而减小，交y轴的正半轴，y＝bx＋k(k，b为常数)是y随x增大而增大，交y轴的负半轴，符合题意；
C．若k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx＋b是y随x增大而增大，且交y轴的负半轴，y＝bx ＋k(k，b为常数)是y随x增大而减小，且交y轴的正半轴，不符合题意；
D．若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k(k，b为常数)都是y随x增大而减小，且都交于y轴的负半轴，不符合题意．
【加固训练】
如图，直线y＝3x和直线y＝ax＋b交于点(1，3)，根据图象分析，方程3x＝ax＋b的解为(A)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
【解析】∵直线y＝3x和直线y＝ax＋b交于点(1，3)，
∴方程3x＝ax＋b的解为x＝1.
【方法技巧】一次函数的图象与性质
图象与性质y＝kx(k≠0)
k＞0k＜0
经过的象限一、三二、四
增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小与坐标轴的交点(0，0) (0，0)
图象与性质y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0，b≠0) k>0k<0
经过的象限一、二、三或一、三、
四
一、二、四或二、三、
四
增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小
与坐标轴的交点
b
(0,b),(,0)
k
-
b
(0,b),(,0)
k
-
特别提醒：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象取决于k，b的符号，而其性质只与比例系数k 有关．
考点3 一次函数综合应用
5．(2021·宁波中考)周末上午小明和大强分别从家出发，相约一起去体育馆打球，小明比大强先出发2 min，大强出发5 min后与小明相遇，小明的行进速度为60 m/min，设小明、大强两人相距y m与小明行进的时间x min之间的函数关系如图所示：
(1)填空：a＝________，小明和大强家相距________m；
(2)求线段AB对应的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
(3)设大强离家的距离为y1 m，小明行进的时间x min，求y1与x的函数表达式，并画出函数的图象．
【解析】(1)当大强出发后，y与x的图象变化，得a＝2，由题图象可知小明和大强家相距820 m.
答案：2 820
(2)大强出发时，两人相距820－2×60＝700(m)， ∵大强出发5 min 后两人相遇， ∴两人速度和为700÷5＝140(m/min)， ∴在2 min 后两人距离为
y ＝700－140(x －2)＝－140x ＋980， ∵两人7 min 时相遇，∴2≤x ≤7.
(3)由(2)两人速度和140 m/min ，则大强速度为80 m/min ，小明出发2 min 后大强出发， 当2≤x ≤7时，则大强离家的距离为y 1＝80(x －2)＝80x －160. 又0≤x ＜2时，y 1＝0，∴y 1＝⎩⎨⎧0，0≤x ＜2，
80x －160，2≤x ≤7.
【加固训练】
某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x (件)，销售人员的月收入为y (元)，原有的薪酬计算方式y 1(元)采用的是底薪＋提成的方式，修改后的薪酬计算方式为y 2(元)，根据图象解答下列问题： (1)求y 1关于x 的函数表达式；
(2)王小姐是该商场的一名销售人员，某月发工资后，王小姐用原有的薪酬计算方式算了下，她所得的薪酬比原有的薪酬计算方式算出的薪酬多750元，求王小姐该月的销售量为多少件？
【解析】(1)设y 1＝kx ＋3 000，将(100，4 500)代入得：4 500＝100k ＋3 000，解得k ＝15， ∴y 1关于x 的函数表达式为y 1＝15x ＋3 000；
(2)设y2＝mx，将(100，3 000)代入得：3 000＝100m，解得m＝30，∴y2＝30x，∵所得的薪酬比原有的薪酬计算方式算出的薪酬多750元，∴y2－y1＝750，即30x－(15x＋3 000)＝750，解得x＝250.
答：王小姐该月的销售量为250件．
【方法技巧】“三步走”解决实际问题
第一步：分析实际问题的发生过程；
第二步：结合图象理解关键转折点；
第三步：求出函数表达式，解决问题．
特别提醒：图象“拐点”的理解，是分析实际问题的关键！
(2021·河北中考)《九章算术》中记载，浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x(小时)02468
箭尺读数y(厘米)618304254
【探索发现】y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？(箭尺最大读数为100厘米).
【解析】【探索发现】①如图，
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则b＝6，
又2k＋b＝18，
解得：k＝6，
∴y＝6x＋6.
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①当x＝11时，y＝6×11＋6＝72，
∴供水时间达到11小时时，箭尺的读数为72厘米；
②当y＝96时，6x＋6＝96，解得：x＝15，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
8＋15＝23，
∴当箭尺读数为96厘米时是23点钟．
【加固训练】
如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
(1)求一次函数的表达式； (2)求点C 和点D 的坐标； (3)求△OB 的面积．
【解析】(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b 得，－2k ＋b ＝－1 ①；
k ＋b ＝3 ②， 解得：k ＝43 ，b ＝5
3
，
所以一次函数表达式为y ＝43 x ＋5
3 ；
(2)令y ＝0，则0＝43 x ＋5
3 ，
解得x ＝－5
4
，
所以C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－54，0 ，
把x ＝0代入y ＝43 x ＋53 得y ＝5
3 ，
所以D 点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，53 ；
(3)S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12 ×53 ×2＋12 ×5
3 ×1 ＝52
.。