【北师大版】2012高中数学同步练习选修1-23-1.1

第3章 1.1
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如图所示是一患黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )
A ．白色
B ．黑色
C ．白色可能性大
D ．黑色可能性大
解析： 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．
答案： A
2．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A ．a k ＋a k ＋
1＋…＋a 2k
B ．a k －
1＋a k ＋…＋a 2k －
1
C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k
D ．a k －
1＋a k ＋…＋a 2k －
2
解析： 利用归纳推理可知，第k 项中第一个数为a k －
1，且第k 项中有k 项，且次数连续，故第k 项为a k －
1＋a k ＋…＋a 2k －
2.
答案： D
3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是( )
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
解析： 第一个三角形数是1， 第二个三角形数是1＋2＝3， 第三个三角形数是1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.
因此，归纳推理得第n 个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋n )n 2(个)．
由此可以得出第七个三角形点数是28.
答案： B
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)等于()
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n＋1个顶点出发的n－2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知2＋2
3＝22
3，3＋
3
8＝3
3
8，4＋
4
15＝4
4
15，…，若6＋
a
b＝6
a
b
(a，b均为实数)，请推测a＝____________，b＝________.
解析：由三个等式知，左边被开方式中整数和分数的分子相同，而分母是这个分子的
平方减1，由此推测6＋a
b＝6a
b中，a＝6，b＝6
2－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：635
6．(2010·福建高考)观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1；可以推测，m－n＋p＝________.
解析：观察各式可知
m＝29＝512
n＝－400
p＝10×5＝50
∴m－n＋p＝962
答案：962
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．观察下表，填表后再解答问题：
(1)完成下列表格：
解析： (1)16,9；(2)设第n 个图形中“◎”的个数和“
☆”的个数相等．观察图形可知8n ＝n 2，解得n ＝8或n ＝0(舍去)．
所以第8个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．
8．设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s <t 且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列组成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，…，将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表．
(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行各数； (2)求a 100.
解析： (1)第四行的数分别为17、18、20、24，第五行的数分别为33、34、36、40、48. (2)设n 为a n 的下标，
三角形数表第一行第一个元素下标为1. 第二行第一个元素下标为2×(2－1)
2＋1＝2.
第三行第一个元素下标为3×(3－1)
2＋1＝4.
……
第t 行第一个元素下标为t (t －1)
2＋1.
第t 行第s 个元素下标为t (t －1)
2＋s .
该元素等于2t ＋2s －
1.
据此判断a 100所在的行为 14(14－1)2<100≤15(15－1)
2
. 所以a 100是三角形数表第14行的第9个元素，
a 100＝214＋29－
1＝16 640.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知正项数列{a n }满足S n ＝1
2⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n . 解析： 方法一：a 1＝S 1＝1
2⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1， 又因为a 1＞0，所以a 1＝1.
当n ≥2时，S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，S n －1＝1
2⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1， 两式相减得：
a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －1
2⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1， 即a n －1
a n ＝－⎝⎛⎭
⎫a n －1＋1a n －1.
所以a 2－1
a 2＝－2，又因为a 2＞0，所以a 2＝2－1.
a 3－1
a 3＝－22，又因为a 3＞0，所以a 3＝3－ 2.
a 4－1
a 4＝－23，又因为a 4＞0，所以a 4＝2－ 3.
将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0， a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3， 由此可以归纳出：a n ＝n －n －1. 方法二：令n ＝1，则S 1＝1
2⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1， 即a 1＝12a 1＋1
2a 1
，
∴a 12＝1，又a 1＞0，∴a 1＝1. 令n ＝2，则S 2＝1
2⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 即a 1＋a 2＝1
2⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， ∴1＋12a 2＝1
2a 2
，
∴a 22＋2a 2－1＝0，即(a 2＋1)2＝2. ∵a 2＞0，∴a 2＝2－1. 令n ＝3，则S 3＝1
2⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， ∴a 1＋a 2＋a 3＝12a 3＋1
2a 3
，
即2＋12a 3＝1
2a 3
，
∴a 32＋22a 3＝1，即(a 3＋2)2＝3. ∵a 3＞0，∴a 3＝3－ 2. 令n ＝4，则S 4＝1
2⎝⎛⎭⎫a 4＋1a 4， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12a 4＋1
2a 4，
即3＋12a 4＝1
2a 4
，
∴a 42＋23a 4＝1，即(a 4＋3)2＝4. ∵a 4＞0，∴a 4＝2－ 3. ∴a 1＝1＝1－0， a 2＝2－1＝2－1， a 3＝3－2， a 4＝2－3＝4－ 3. 归纳可得a n ＝n －n －1
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