最新上海北郊高级中学高考数学考前训练(二)

2009-2010年度北郊高级中学高考数学考前训练（二）
班级________姓名____________学号_____
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合{1 3}A =，，{|30}B x mx =-=，且A B A =，则实数m 的值为
2．函数2()f x x =-)]2,((-∞-∈x 的反函数=-)(1
x f
3．若3cos 5α=
，且⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πα，则=2tan α
4．设+
∈R y x ,，若1
8
xy =
，则y x 2+的最小值为 5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面AA 1D 1D 所成的角的大小是 6．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=________
7．若双曲线192
22=-y a
x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则________a =。

8．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()
0,152，则椭圆的标准方程是__________。

二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
9．函数3
1
()f x x x =
-的图像关于（ ） （A ）y 轴对称（B ）直线x y -=对称 （C ）坐标原点对称 （D ）直线x y =对称
10．已知,a b 都是实数，那么“2
2b a >”是“a b >”的 （ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 11．下面给出四个命题：
①直线l 与平面a 内两直线都垂直，则l a ⊥。

②经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ③过平面a 外两点，有且只有一个平面与a 垂直。

④直线l 同时垂直于平面α、β，则α∥β。

其中正确的命题个数为 （ ） （A ）3
（B ）2
（C ）1
（D ）0
12．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式
0)
()(<--x
x f x f 的解集
为 （ ） (A) ),1()0,1(+∞⋃- (B) )1,0()1,(⋃--∞
(C) ),1()1,(+∞⋃--∞
(D) )1,0()0,1(⋃-
三、解答题（本大题共4题，每小题满分10分）
13．已知向量(sin cos )A A =，m ，(31)=-，n ，1⋅=m n ，且A 为锐角。

（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域。

14．直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，∠BAC =900
，2AB AC ==
，
1AA =,E F 分别是1,BC AA 的中点。

求（1）异面直线EF 和1A B 所成的角。

（2）三棱锥A EFC -的体积。

A
C B
A 1 E
F C 1
B 1
15．已知a 为实数，2
()().21
x f x a x R =-
∈+ (1)求证：对于任意实数a ，()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数；
(2)当()f x 是奇函数时，若方程12()log ()f x x t -=+总有实数根，求实数t 的取值范围.
16．已知抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5。

过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M 。

（1）求抛物线方程；
（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；
（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系。

1．0，1，3 2． =-)(1
x f
]4,(,--∞∈--x x
3．
21 4． 1 5． arc tg 22
6．4
315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB
7．2 8．
22
18020
x y += 9．C 10．D 11．C 12．D 13．解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1m n A A ⋅=-=，12sin 1sin 662
A A ππ⎛
⎫⎛⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由A 为锐角得 66A ππ-
=， 3
A π
=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
cos 2
A =，
所以2
213()cos22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛
⎫=+=-+=--+ ⎪⎝
⎭
因为x ∈R ，所以[]sin 11x ∈-，，因此，当1sin 2x =
时，f (x )有最大值3
2
，当sin 1x =-时， ()f x 有最小值3-，所以所求函数f (x )的值域是332⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，。

14．解：（1）取AB 的中点D ，连DE 、DF ， 则DF ∥B A 1， ∴∠DFE （或其补角）即为所求。

由题意易知，3DF =
，1DE =，2AE =
由DE ⊥AB 、DE ⊥A A 1得DE ⊥平面ABB 1A 1 ∴DE ⊥DF ，即△EDF 为直角三角形， ∴333
1DF DE DFE tan =
==
∠ ∴0
30DFE =∠ 即异面直线EF 和A 1B 所成的角为0
30。

（2）A-EFC F AEC V V -=-
111
332AEC S FA ∆=⋅⋅=⋅=
(2)因为()f x 是R 上的奇函数，所以02
(0)0, 1.21
f a a =-
==+即 12
1()log (11)1x
f x x x
-+=-<<-
由2
21log log ()1x
x t x
+=+-得2(1)221t x x =-+
-≥-
当且仅当2
1,11x x x
-=
=--即
所以，t 的取值范围是2,)+∞。

16．(1)24y x =; (2)84,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(3)当1m >时，直线AK 与圆M 相离；. 当1m =时，直线AK 与圆M 相切；当1m <时，直线AK 与圆M 相交。