热质交换课第05讲（习题课1）剖析

第一次习题课
第1讲：作业：查有关文献[1-5]，了解更多关于D AB :的情况, 写一小综述。

第2讲：作业：讲义2-1，2-2，2-3，2-5, 2-8, 2-10.
第3讲：举特例：为什么热水放入冰箱有时比冷水冷得快。

给出条件，至少给出一例。

作业： 2-16, 2-18*，2-22*，2-24*，1-25*—均匀化学反应，*-较难。

第4讲：作业：2-28,2-31*。

作业题答案：
1-3. 考虑由几种成分组成的理想气体
（a ）已知各组分的摩尔质量和摩尔分数，请导出确定组分i 质量分数的表达式。

已知各组分的摩尔质量和质量分数，请导出确定组分i 的摩尔分数的表达式。

（b ）在混合物中O 2、N 2和CO 2的摩尔质量分数相同，求各自的质量分数。

若其质量分数相等，求各自的摩尔分数。

解：(a)i i i i
i i i i
i i
M x m /M m ,x M x m /M =
=
∑∑
(b)若222o N co 1
x x x 3
===
，则 2o 321/3
m 4/1330.8%321/3281/3441/3
⨯===⨯+⨯+⨯
2N m 7/2626.9%==
2co m 11/2642.3%==
若222o N co 1
m m m 3
===
，则 2o 1
1/332x 34.8%111
1/31/31/3322844
⨯==⨯+⨯+⨯
2N x 39.8%= 2co x 25.4%=
1-6 一层塑料薄膜将氢气与气体主流中隔开。

在稳态条件下，薄膜内、外表面的氢气浓度分别为0.02和0.005kmol/m 3。

薄膜厚度为1mm ，氢对该塑料的二元扩散系数为10－9m 2/s 。

问质量扩散通量为多少？
解:
He AB He He AB He
93
812j D M D C 0.0050.024********(kg s m )
ρ-----=-∇=-⋅⋅∇-=-⨯⨯
⨯=⨯⋅⋅
1-8考虑一种气体的径向扩散（A ）通过塑料管壁，（B ）有化学反应，A 的消耗率为A N ∙
（kmol/s m 3）。

推导确定塑料管中组分A 的微分方程。

解：A
A A
B A
C (A )(
D C )N t
∙
∂∇⋅⋅∇+=
∂ 对圆柱管壁，其柱坐标下的形式为：
A A A A A A
B AB AB 102
C C C C 11(
D )(D )(D )N (r r r )r r r r z z t
ϕϕ∙∂∂∂∂∂∂∂
⋅⋅+⋅++=≤≤∂∂∂∂∂∂∂ A A B A dC 1d
(D )N 0
r dr dr
∙+=
(B) A 的消耗率为，则
A A
B A
i 0dC 1d
(D )N (r r r )r dr dr
∙=≤≤
1-10解：当水蒸气在保温层上凝结时，保温层保温能力下降（其导热系数增加）。

严寒季节，潮湿的室内水蒸汽通过干墙（灰泥板）扩散并在隔热层附近凝结。

对3m ×5m 的墙，设室内空气和隔热层中蒸汽压力分别为0.03bar 和0.0bar ，请估算水蒸汽的质量扩散速率。

干墙厚度10mm ，水蒸汽在墙体材料中的溶解度约为5×10－3
kmol/m 3
bar 。

水蒸汽在干墙中的二元扩散系数约为10－9m 2/s 。

343v,i v,i C S p 5100.03 1.510(kmol /m )--=⋅=⨯⨯=⨯
3v,C 0(kmol /m )=隔热层
5
m 9
AB L 0.01R 6.6710D A
1035
-=
=
=⨯⋅⨯⨯(s/m 3) 49
v,i v,v v 5
m C C 1.5100n M 18 4.0510(kg /s )R 6.6710
----⨯-=⋅=⋅=⨯⨯隔热层 2-16．为增大催化剂表面的有效接触面积，强化化学反应，催化表面常采用多孔介质。

这种固体表面
材料可看成由很多直径为D 、长度为L 的圆柱形孔组成。

A 、B 混合物中，A 与催化表面反应后被消耗。

反应为一级反应，单位面积的表面反应速率为：
''
1A k C ,已知孔道进口处流入的气体中A 的摩尔浓度为C A ，O 。

请推导出稳态条件下C A （x ）的微分方程。

利用合适的边界条件，解出C A （x ）
已知: 1) 一级表面催化反应，消耗A ； 2）几何尺寸；
求: 关于C A (x)的微分方程。

加适当边界条件求解。

C A,0
x
假设: 1) p, T=const=>C=const, x A <<1 2)一维稳态扩散 解: ''
''
''
A,x B,x A,x N N N 0∙∙∙+=≠
故：
''
''A
A,x A,x A,B
A dC N D x N (1)dx
∙∙=-+
''
2
A,x ''
1A D
dN k C (x )D (2)4
dx
ππ∙∙
=-∙∙
由式（1），（2）得:
)(4).1
(1x C D D k dx dC C C dx d A AB A A ⋅⋅=- (3) 22A A 1A A 2
A AB
d C dC 4k "(C C )1
()C (x )(4)dx C C dx D D -+∙=∙-⋅
由式（4）可解出通解：
A
A
A
A
dC
dC
21
C C
C C 1A A 2A 1A 2AB
k "(C C )C x e
(8e dC C )dC C D D ---⎰⎰-=∙++⋅⎰⎰ (5)
当A,0C 1<<时，0≈A x ，
边界条件：A A,0
2''
A A
B 1A x 0,
C (x )C dC (x )
D x L,D k C (x )
dx 4
π===-=∙
方程（1）：
代入式（8），可解出21,C C ,下略。

1-19 考虑柱状容器中的蒸发，蒸汽A 通过气体B 。

下列哪一种情况下具有最大的蒸发速率。

（a ）气体B 在A 溶液中溶解；（b ）气体B 不溶于A 。

当柱状容器顶端的蒸汽压力为0，而蒸汽的饱和压力占总压力的1/10时，上述情况（a ）和（b ）中的蒸发速率比为多大？ 已知: (a)气体B 在A 溶液中溶解度为无穷大
''A
A,x AB
22A
A 2
21AB mx mx
A 12dC N D (6)dx d C m C (x )0(7)
dx 4k "
m D D C (x )C e C e (8)
∙-=--⋅=⋅=⋅=⋅+⋅
(b)气体B 在A 溶液中溶解度为0。

求:
''
A ''
B N (case a )?N (case b )
∙∙-=-
解: a)假设为等摩尔逆向扩散，故
''
''''A
A ,x A B
A B A ''''
A B ''
A A,x A
B dx N
C
D x (N N )dx
N N 0
dx N C D dx
∙∙∙∙∙
∙=-⋅⋅+⋅++==-⋅⋅
''
A,x
A A
B 2A
A 12
2
A A d N 0dx
dx d
(CD )0dx dx d x 0x (x )C x C dx B.C.:x (0)1,x (L )0∙=∴-==⇒=+==
得：
A ''
AB A,x
x x 1L
C D N L
∙=-
⋅=
b) B 不溶于A 溶液，则
''
B,x ''
''A
A,x A,x
AB A ''AB A A,x
A A,x A A N 0dx N CD x N dx C D dx N 1x dx
dN "0
dx
dx d 1
()0dx 1x dx
∙∙∙∙==-+∙⋅=-∙-=∴∙=-
边界条件：
A A A,L AB
A,x A,0
AB AB ''
A ''
B 1x (0)10
x (L )0
1x C D N "ln
L 1x C D C D 10
ln 0.105L 9L N (case a )1
100.105
N (case b )
∙∙==-⋅=⋅-⋅⋅=⋅=-∴
=
≈-得： 讨论: 1)只有更多的吸收才能更多的蒸发。

2）case(a)中的''
''
A B N N ∙∙=可证明。

证明（a ）为等摩尔逆向扩散如下： 假设''
''
A,x B,x N N 0∙∙+≠
由于柱状容器内无源无汇，故''
''
A,x B,x N ,
N ∙∙均为常数。

令''
''
A,x B,x
AB AB
N N a 0,b 0CD CD ∙∙=
>=< 则 A A dx
a x (a
b )dx
=-+⋅+ （1）
由于''
A,x N ∙，''
B,x N ∙，C 和D AB 均为常数，则由式（1）得：
(a b )x A 1a
x C e a b +=⋅+
+ （2） 边界条件：
A
x 0
A
x L
x 1,x 0.1====
1b
C a b
⇒=
+ (a b )L 19a
e 1010b
+⋅=-
因L 可为大于0的数，则式（2）当且仅当a+b=0时成立，即''
''
A,x B,x N N 0∙∙+=。

实际上，只要控制体中恒温、恒压，即总摩尔浓度恒定，且当组分A 、B 对杯子（静止
坐标系）均有反向扩散时，一定为等摩尔逆向扩散。

1－23. 在水蒸气凝结表面，少量空气的存在会引起凝结换热速率的明显下降。

对于一清洁表面，设其在一定条件下的蒸汽凝结速率为0.020kg/m 2
s 。

当蒸汽中有静止空气时，凝结表面的温度从28℃降至24℃，凝结速度降至原来的一半。

对空气－蒸汽混合物来说，请确定空气分压力与距凝结膜层距离的关系、 解：水蒸气A 经静止空气B 扩散 ∵ 空气静止
∴ ''B N 0=
∴ ''''A A,x
AB A A,x dC N D x N dx
=-+
∵ A A dC dp 1dx RT dx
=
∴
''''
AB A A A,x A,x D dp p N N RT dx p =-+
''A AB A A,x p D dp N (1)p RT dx
-
=- 积分得
''AB A AB B A,x A,x B,x
D p p p (x 0)D p p (x 0)
N ln ln RTx p p RTx p -===
=- (1) ∵ 有少量空气存在时，''212A N 0.50.02kg /m s 5.5610mol /m s -=⨯⋅=⨯⋅
R 8.314J /mol K 2428
T 273299K 2
p 3767Pa(28C =⋅+=+==︒，，时水蒸汽饱和蒸汽压）。

由附录2－A 得 298K 时，4AB D 0.2610-=⨯（m 2/s ）
28℃时，水蒸气饱和蒸汽压为3.767kPa ，24℃时，水蒸气饱和蒸汽压为2.983kPa, ∴ 在界面处的空气分压P B,2=3767-2983=784 Pa 设距离凝结膜层距离为x,由（1）式，
5''12A x
B,x
2.61103767784N
ln 5.5610mol /m s )8314299x p --⨯⨯==⨯⋅⨯⋅ ，，
∴ 41.4110x
b,x p 784e
-⨯=。

问题：对单组分凝结问题如何计算？
1-25催化过程通常在由多孔球组成的固定床反应器中进行。

求内的多孔结构使单位体积的反应器内的催化反应面积很大。

一般多孔球浸放在气体流动环境中，球表面进行其和气体中某种成分A 的化学反应。

虽然这一过程十分复杂，但利用菲克定律及其有效扩散系数的概
T(℃)
28
24
20
没有空气
念，可以得到合理的结果。

即假定球内某一半径处的摩尔通量为"
A,r eff A J CD (dx /dr )=-，
其中x A 是气体中A 的摩尔组分。

而且还可假定球内的化学反应是均匀的，单位体积球体内
组分A 消耗率为'A 1V A N
k A C ,=- 其中的A V 为单位体积的球体内的催化表面的面积。

修正反应系数'1k 的单位为m/s 。

同时可假定球中的气体温度和压力为恒定。

（a ）假定介质静止、稳态条件成立，试导出球内A 组分摩尔分数x A 的径向分布的表达式。

为导出最终结果，你可以采用变换y ＝rx A 。

定义球体有效率ε为A 的实际消耗速率和D eff 为无穷大时A 的消耗速率之比，试确定一个球消耗A 的速率以及ε的表达式。

假定D eff 为无穷大，则球体内的dx A /dr 为0，因此x A 在球内为常数。

请用含有r 0，'1k D eff ，A V ，C （球内气体总摩尔浓度），x A ，s （球外表面组分A 的摩尔浓度）的双曲函数来表达你的推导结果。

（b ）一个催化反应器将机动车废气中的CO （组分A ）转化为CO 2。

反应器由镀C u O 的铝球构成，球径为5mm ，A V ＝108m 2/ m 3。

废气温度为550℃，压力为1.2atm ，A 的表面摩尔分数为0.04。

如果D eff ＝2×10－5
m 2/s 和'1k ＝10－3
m/s ，CO 的消耗率和球的有效率ε各为几何？
已知：1）多孔球固定床；
2） '''A 1v A N k A C ,=-
3） eff A D A ε=
∞实际消耗率
为时的消耗率
求：1）A x (r )表达式
2）A 0N (r r )∙
≤ 3）ε 解：
(a) 由球坐标扩散方程（C ，D AB 为常数） 2
2'
A A
B 1V A dx d CD 1/r *
r k A
C 0dr dr ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
有'2221V A A A 2AB k A C dx d x 2r r /r CD dr
dr ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 即'
21V A A A 2AB k A x dx d x 2D r dr dr
=+ （1）
令 A y rx =（常用变换技巧）
A 2dx 1dy y
dr r dr r
=- (2)
22A 2
223d x d y 12dy 2
y dr dr r r dr r
=-+ (3) 代入 式（1），有
'
21
V 2AB k A 1d y y r dr D r
=
即 '
21
V 2
AB
k A r d y dr D = （4） 通解：
()mr mr 12y r C e C e -=+
其中
m = ， (5)
(D AB 即为D eff )
()mr mr
12A
1r (C e C e )r
x -=+ (6) 当r=r 0 时，
()00mr mr 012A 0
1
r (C e C e )r x -=
+ ， X A (r 0)即为X A,S 。

()()mr mr mr mr
1212A 2mr C e C e C e C e dx dr r
--+-+= 代入A,r J 表达式 边界条件：
()()mr mr mr mr 1212A
A,r
eff eff
2
mr C e C e C e C e dx J CD CD dr r ----+=-⋅=-
（7）
半径为r 0的球消耗为
()0
r 2
2'
A,r A 1V 04r J 4x r r dr k A C ππ=⋅⎰
即
()()
()
0000000r
mr mr mr mr mr mr '
eff 01212121V 0
4CD mr C e C e C e C e 4r(C e C e )dr k A C ππ---⎡⎤--+=+⋅⎣⎦⎰()()
()
0000000r
mr mr mr mr mr mr '
eff 012121V 120D mr C e C e C e C e k A r(C e C e )dr ---⎡⎤--+=+⎣⎦
⎰ 有
(
)()
000
00mr mr eff
mr mr mr mr mr mr 120121
200'1V
D C C e 1e 1mr C e
C e
C e
C e
r e r e k A m m m m ---⎛⎫⎛⎫--⎡⎤--+=--+ ⎪ ⎪⎣
⎦⎝
⎭⎝⎭
（8）
式(8)与R=r 0 时的式（6）联立 （ X A (R)即为X A,S ）
()()()()00
0000
0000mr eff mr mr 00A 0'1V 1mr mr eff 0'1V mr eff mr mr 00A 0'1V 2mr mr eff 0'1V D 1e 1mr 1e Re r x r k A m m C D 1e e 2mr 2R k A m m D 1e 1mr 1e Re r x r k A m m C D 1e e 2mr 2R k A m m --⎡⎤⎛⎫-+--⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦=⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫----⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
=⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
（10）
将式(10)代入式(6)，即可得所求的x A (r)表达式:
()()()()()
()()()mR mR mR mR
2*eff 1212A,R
3'3'1V A 1V A mR mR mR mR
eff 12123
'
1V A mR mR mR mR A 2
eff 3'
mR mR eff 1V A '
1V 4CD mR C e C e C e C e 4R J 44R k A C R k A C 33
D mR C e C e C e C e 3R k A x R R e e e e Rx R m m D 3D R k A x R 1e e 2mR 2R k A m m ππεππ-------⎡⎤--+⎣⎦==
⎡⎤--+⎣⎦=⎡⎤
+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛-⋅--⎝()()()()()()mR mR mR mR
eff 3'
eff 3mR mR
1V '1V
mR
mR mR mR '
3
3mR mR 1
V
eff e e mR e e D R 3D R k A 2m R 2Rm e e k A e
e mR e e 3
k A R
2m R 2Rm e e D ------⎫
⎪⎭
-++=⎡⎤⋅---⎣⎦-++=⎡⎤
-
--⎣
⎦
R 即r 0
()()()()()
()000''
2
03V 1000eff
000'2
3
1V 0000eff
2sinh mr 2mr cosh mr 3r 2m r 2r m 2sinh mr sinh mr mr cosh mr 3k A r m r 2r m 2sinh mr D k A D
ε-+=
--⎡⎤⎣⎦
-+=
--⎡⎤⎣⎦
(b) m 70710=== ()
'
2
2
2
1
2
3
00
0331335330.85%35451070710mr
mr mr
V
eff
e mr e
mr k A r r m
e D
ε--+-=⋅
=
⋅⨯=
==⨯⨯
实际r 0球消耗为
5
3
'
3
3
3
8
1
4
44 1.2 1.0110
(510)100.04100.0085
338.341823
3.1410/A
V r k C A mol s
πεπ---⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 讨论：式（8）对于R=0 ~ r 0 均成立，若两边令R →0，有C 1+C 2=0 事实上，式（6）中X A (0)≤1 也要求C 1+C 2=0
此时 ()0
,0
mr
mr
A S
A
mr
mr r x
e e x r e e
r
---=⋅
-
这与前面的表达式矛盾
()()0
,1
1
()lim lim lim 221mr
mr
A S
A
mr
mr r r r r x
m e e x r C m mC e e
r
--→→→-===≤-
要求 0,00
21A S
mr
mr r x m
e e
-≤-
对 r 0，X A,S 等有了限制，这是不应该的。

这种取极限的方法相当于增加了方程个数，结果必然是不正确的。

本题结果无法保证X A (0)有意义，可将其看成孤立点。

1－31 一种常用的给空气加湿的方法是在水中鼓入空气，产生很多空气泡。

假设空气泡为半径1mm 的球且其温度为25℃与水处于热平衡。

设进入水中的空气为干空气。

问多长时间后水中的气泡的中心蒸汽浓度可达到其最大值（饱和值）的99％。

已知：略。

求： C A (0,t)
解： AB C D Const ⋅=
2
2
0A B A
A
D C C
r r r r t
∂∂∂⎛⎫+= ⎪
∂∂∂⎝⎭ 令 ),(t r rC y A = 代入有
2
2
AB
y y D r t
∂∂=∂∂ (1) 初始、边界条件
11 y(r ，0) ＝ 0 (2)
()()00
|0,|0,r r y C C t r C t r r ==∂∂=+=∂∂ (3) ()0,=t o y (4) 此外，(),,,A S A S y R t RC y == (5)
令 ()()()r v t r u t r y +=,,
(),A S v r C r =
分离变量求
()100,sin n D t r n
n AB n r u r t C e r ππ∑⎛⎫∞- ⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫= ⎪⎝⎭
付氏级数
(),0,000
02sin (1)n
A S n A S
x r n r t C x r dr r r n ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰ (),,1,(1)n
A S
A
A S n x x r t x n π∑∞
==+- r →0，0
sin n r r n r r ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭→ (),,100,(1)n D t r n
A A S A S
n AB x t x x e π∑⎛⎫∞- ⎪ ⎪⎝⎭==+-
忽略第二项后各项
所求t=0.0185（s ）。

(),200,1D t r A
A S A
B x t e x π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=-。