2021年广东省揭阳市一中附属中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021年广东省揭阳市一中附属中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与 ( )
A．是互斥且对立事件 B．是互斥且不对立事件
C．不是互斥事件 D．不是对立事件
参考答案：
A
2. 已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为，则实数a的值为（）
A．－3 B．－6 C．2 D．1
参考答案：
A
3. 实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
C
【考点】4N：对数函数的图象与性质；49：指数函数的图象与性质；71：不等关系与不等式．
【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．
【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．4. 一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）
B
略
5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④
由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P
（X=2）=；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．
X 0 1 2
3
因此E（X）==．
故选B．
【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．
6. 在北纬圈上有A、B两点，它们的经度差为，设地球的半径为R，则A、B两点的球面距离为
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
7. 当时，下面的程序段输出的结果是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 函数的一个单调递增区间为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：D
9. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知，，设面DBA1的法向
量，由，知，由向量法能求出D1到平面A1BD的距离．【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），
∴，，
设面DBA1的法向量，
∵，
∴，∴，
∴D1到平面A1BD的距离d===．
故选D．
【点评】本题考查点线面间的距离计算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用． 10. 命题“若，则
”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
原命题：“若，则”，假命题； 遵命题：“若，则”，真命题； 否命题：“若，则”真明题； 尊否命题：“若
，则
”，假命题．
∴真命题个数是，故选
．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合，，则
＝ ▲
．
参考答案：
12. 计算： .
参考答案： 40
13. 如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是 ．
参考答案：
0.7
【考点】选择结构．
【分析】t=8，不满足条件t≤4，则执行Else 后的循环体，从而求出最后的y 值即可． 【解答】解：t=8，不满足条件t≤4执行Else 后循环体， c=0.2+0.1（8﹣3）=0.7 故输出0.7． 故答案为：0.7
【点评】本题主要考查了选择结构，属于基础题．
14. 在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有__________种不同的着色方法．
参考答案：
48 略
15. 设ξ是一个随机变量，且D (10ξ+10)=40，则D ξ=________. 参考答案： 0.4 略
16. 有6名乒乓球运动员分别来自3个不同国家，每一个国家2人，他们排成一排，列队上场，要求同一国家的人不能相邻，那么不同的排法有 ．
参考答案：
240
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，先排第一个位子，有6种方法；再排第二个位子，有4种选法；分第三个位子上的人和第一个位子的人的国家相同、不同两种情况，分别求出数值，再根据分步、分类计数原理，求得结果．
【解答】解：6个人排队，需要6个位子，先排第一个位子，有6种方法；
再排第二个位子，需从异于第一个位置的人的国家的人中选一个，有4种选法；
分2种情况讨论：
①、第三个位子放的人与第一个位子的人属于同一个国家，则第4个位子有两种选法，
第5，第6个位子都只有一种选法．
②、第三个位子放的人与第一个位子的人不是同一个国家的，则第3个位子有两种选法，
第4位子也有2种选法，第5位子也有2种选法，第6位子就只有1种选法；
综上，不同的排法有6×4×（1×2×1×1+2×2×2×1）=240 种，
故答案为：240．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意结合题意“同一国家的人不能相邻”，进行分类讨论．17. 半期考试结束后，某教师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间(分钟)和数学成绩之间的一组数据如下表所示：
时间30 40 70 90 120
成绩
通过分析，发现数学成绩对学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为，则表格中的值是．
参考答案：
63
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题12分）数列是等差数列、数列是等比数列。

已知，点
在直线上。

满足。

（1）求通项公式、；
（2）若，求的值.参考答案：
解：（1）把点代入直线得：
即：，所以，，又，所以. …………………3分
又因为，所以
. …………………5分
（2）因为，
所以，✍……………………7分又，② …………………9分
✍—②得：…………………11分所以，
…………………12分
略
19. （本小题满分14分）某校在高二年级开设了，，三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从，，三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）
3
（1）求，的值；
（2）若从，两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组的概率．
参考答案：
解：（1）由题意可得，，…………2分
解得，．…………4分
（2）记从兴趣小组中抽取的2人为，，从兴趣小组中抽取的3人为，，，
…………6分
则从兴趣小组，抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共10种．…………10分
设选中的2人都来自兴趣小组的事件为，则包含的基本事件有，，共3种．…………12分
所以．
故选中的2人都来自兴趣小组的概率为．…………14分
20. 已知函数,.
(1)求函数的极值；(2)若恒成立,求实数的值；
(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明
.参考答案：
（1）的定义域是，.
,故当x=1时，G（x）的极小值为0.
（2）令，则．
所以即恒成立的必要条件是，
又，由得：．
当时，，知，
故，即恒成立．
（3）由，得
．
有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：
，解得．
由，得，其中.
所以．
设，得，
所以，即．
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．
（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．
【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，
∵M为PC的中点，O为AC的中点，
∴MO∥PA，
∵MO?平面MDB，PA?平面MDB，
∴PA∥平面MDB．
（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．
22. （12分）已知集合
若求实数的取值范围 .
参考答案：。