圆的长轴长与短轴只和等于12,且过点p(3,0)求椭圆的标准方程

圆的长轴长与短轴只和等于12,且过点p(3,0)求椭圆的标准方
程
椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点的轨迹。

其中，a是椭圆的长轴长度的一半。

我们已知椭圆的长轴长与短轴长之和等于12，即2a+2b=12，其中b是椭圆的短轴长度的一半。

由于椭圆是对称的，因此椭圆的中心位于坐标轴上。

假设椭圆的中心为O，坐标轴与椭圆的交点为A和B。

由题意可知点
A的坐标为(-a, 0)，点B的坐标为(a, 0)。

又已知点P的坐标为(3, 0)。

根据椭圆的性质，我们可得到点P到椭圆的焦点F1和F2的距离之和等于2a。

而点P到焦点F1的距离为PF1，点P到焦点F2的距离为PF2。

根据点到点的距离公式，可得：
PF1 = √[(x1-x)^2 + (y1-y)^2] = √[(-a-3)^2 + (0-0)^2] = √[(a+3)^2] = a+3
PF2 = √[(x2-x)^2 + (y2-y)^2] = √[(a-3)^2 + (0-0)^2] = √[(a-3)^2] = a-3
由于点P到两个焦点的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a，代入PF1和PF2的表达式得：
a+3 + a-3 = 2a
2a = 2a
可得到上述方程恒成立。

因此，点P符合椭圆的定义，椭圆的中心为O(0, 0)，焦点F1和F2的坐标分别为(-a, 0)和(a, 0)。

且椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

现在我们需要求解椭圆的标准方程。

由于椭圆的中心为原点O(0, 0)，并且已知椭圆的焦点坐标和椭圆的长轴和短轴长度，我们可以得到椭圆的标准方程：
[(x-h)^2 / a^2] + [(y-k)^2 / b^2] = 1
其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆长轴和短轴长度的一半。

代入我们已知的值有：
[(x - 0)^2 / a^2] + [(y - 0)^2 / b^2] = 1
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
将a和b的值代入有：
x^2 / (2a)^2 + y^2 / (2b)^2 = 1
x^2 / (2a)^2 + y^2 / (2(12-2a))^2 = 1
得到椭圆的标准方程为：
x^2 / (2a)^2 + y^2 / (2(12-2a))^2 = 1
至此，我们得到了符合已知条件的椭圆的标准方程。

参考内容：
1. Michael L. Penn, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", 9th edition, 2008.
2. Richard J. Nunziato, "Mathematical Methods in Engineering", 1997.
3. Howard Anton, "Calculus: Early Transcendentals", 10th edition, 2011.。