2023年高二上数学选择性必修一：两条直线的交点坐标

2023年高二上数学选择性必修一：两条直线的交点
坐标
一、基础巩固
1.直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点坐标是()
A.(-2,-1)
B.(-1,-2)
C.(1,2)
D.(2,1)
2+3+8=0,
--1=0,得=-1,=-2,
即交点坐标是(-1,-2).
2.直线3−=0与+=0的位置关系是()
A.相交但不垂直
B.平行
C.重合
D.垂直
A1=3,B1=−1,A2=1,B2=1,则A1B2-
A2B1=3×1−1×(−1)=3+1≠0.又A1A2+B1B2=3×1+(−1)×1=3−1≠0,则这两条直线相交但不垂直.
3.如果两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为()
A.-24
B.6
C.±6
D.24
2x+3y-k=0中,令x=0,得y=
3.将0代入x-ky+12=0,解得k=±6.
4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0.由+2=0,
6-3=0,得=2,=-1.
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1).
又点(2,-1)在第四象限,所以该直线恒过第四象限.
5.若直线x-y-1=0和x-ky=0的交点在第三象限,则k 的取值范围是()
A.0<k <1
2 B.0<<1C.k>1
D.k<0
--1=0,-B =0,解得=
-1
,=1-1
.
由交点在第三象限,得-1<0,−1<0,解得0<k<1.故选B .
6.已知两条直线l 1:ax+3y-3=0,l 2:4x+6y-1=0.若l 1与l 2相交,则实数a 满足的条件
是.
6a-12≠0,即a ≠2.
≠2
7.经过原点和直线l 1:x-3y+4=0与l 2:2x+y+5=0的交点的直线方程为.
-3+4=0,2++5=0,
得交点坐标为-197,
所以所求方程为y=−3
19s 即3x+19y=0.
x+19y=0
8.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标:(1)l 1:2x+y+3=0,l 2:x-2y-1=0;(2)l 1:x+y+2=0,l 2:2x+2y+3=0;(3)l 1:x-y+1=0,l 2:2x-2y+2=0.
解方程组
2++3=0,-2-1=0,
得
=-1,
=-1,所以直线l 1与l 2相交,交点坐标为(-1,-1).
(2)解方程组++2=0,2+2+3=0,
①②
①×2-②得1=0,矛盾,方程组无解.所以直线l 1与l 2无公共点,即l 1∥l 2.(3)解方程组-+1=0,2-2+2=0,
①②
①×2得2x-2y+2=0.
因此①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,所以直线l 1与l 2重合.9.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线l 的方程.
2-3-3=0,
++2=0解得=-3
5,
=-75.
因为所求直线l 和直线3x+y-1=0平行,
所以直线l 的斜率为-3.根据点斜式可得
y −=−3--,
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
二、能力提升
1.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b 等于()
A .-2
B .−1
2
C.2
D.
12
2+3+8=0,--1=0,
解得=-1,=-2,代入x+by=0,得-1-2b=0,b=−12.
2.已知直线kx-y+1=3k ,则当k 变化时,所有直线都通过定点()
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(3,1)
D.(2,1)
k=0时,直线方程为-y+1=0.当k=1时,直线方程为x-y+1=3.解方程组
1=3,
-+1=0,得=3,=1,即直线都通过定点(3,1).
3.经过两条直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是()
A.x-3y+7=0
B.x-3y+13=0
C.2x-y+7=0
D.3x-y-5=0
3+-1=0,
+2-7=0,得交点(-1,4).
因为所求直线与3x+y-1=0垂直,
所以所求直线的斜率k=13,
所以y-4=13(+1),即x-3y+13=0.
★4.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,且垂足的坐标为(1,p),则m-n+p的值为()
A.-4
B.0
C.16
D.20
,−
4×25=−1,=10.又垂足坐标为(1,p),代入直线10x+4y-2=0,得p=-2,将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0,得n=-12.故m-n+p=20.
5.已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,则AC边上的高BD所在的直线方程为.
3+4+12=0,
4-3+16=0,解得交点B(-4,0).
因为BD⊥AC,所以k BD=−1A=12.
所以AC边上的高BD所在的直线方程为y=12(+4),即x-2y+4=0.
2y+4=0
6.已知直线l1:a1x+b1y=1和直线l2:a2x+b2y=1相交于点P(2,3),则经过点P1(a1,b1)和
P2(a2,b2)的直线方程是.
P(2,3)在直线l1和l2上,
所以有21+31=1,
22+32=1,则点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的坐标是方程2x+3y=1的解,所以经过点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是2x+3y=1.
x+3y-1=0
7.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),点M是边AB的中点,CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程;
(2)求点P的坐标.
设点C的坐标为(x,y).
因为在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,
所以线段AB,DC所在直线的斜率相等,线段AD,BC所在直线的斜率相等,
=-6-4,
=-1-7,解得=10,=6,即C(10,6).
又点M是边AB的中点,
所以M(4,1),所以直线CM的方程为-16-1=-410-4,即5x-6y-14=0.
(2)因为B(7,1),D(4,6),
所以直线BD的方程为-16-1=-74-7,
即5x+3y-38=0.
由5-6-14=0,
5+3-38=0,解得=6,=83,即点P的坐标为6.
★8.过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M所平分,求此直线方程.
M且与x轴垂直的直线显然不符合题意,则可设所求直线方程为y=kx+1,与已知直线l1,l2分别交于A,B两点,联立方程,得=B+1,
-3+10=0,①
=B+1,
2+-8=0,②由①解得x A=73-1,由②解得x B=7r2.
因为点M平分线段AB,
所以x A+x B=2x M,
即73-1+7r2=0.
解得k=−14,故所求直线方程为x+4y-4=0.。