2021高考数学课件3.2单调性与最大(小)值
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答案：C 解析：由函数单调性的定义可知函数 f(x)＝x－2 1在 x∈[2,6]上单 调递减，所以 f(x)max＝f(2)＝2.故选 C.
2．[必修一·P100 复习参考题 3 T4 改编]已知函数 f(x)＝4x2－kx－ 8 在[5,20]上具有单调性，则实数 k 的取值范围是________．
所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(－∞，1)上递减．
如果函数 f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的) _单__调__性___，区间 D 叫做 y＝f(x)的 _单__调__区__间_．
2．函数的最大值与最小值
最ห้องสมุดไป่ตู้值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满
条件
足：∀x∈I，都有 __f(_x_)≤__M__
第2节 单调性与最大(小)值
【教材回扣】
1．增函数与减函数的定义 增函数
减函数
条件
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间_D_⊆__I 如果_∀__x_1，__x_2_∈__D__，当 x1<x2 时，都有
_f(_x_1_)<__f(_x_2)
_f(_x_1_)>_f_(_x2_)
结论
那么就称函数 上单 ___调__递__增_
3．函数 f(x)＝11－＋xx的单调减区间为(
)
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
答案：C 解析：f(x)＝11－＋xx＝－11＋＋xx＋2＝－1＋1＋2 x 又 f(x)＝2x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 由函数的图象平移可知 f(x)＝11＋－xx的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故选
调递减．
D 选项，反比例函数 y＝1x在(0，＋∞)上单调递减．
6．[2017·全国Ⅱ卷]函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是
() A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D 解析：由 x2－2x－8>0，得 x>4 或 x<－2. 设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数． 要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8 的单调 递增区间． ∵ 函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴ 函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选 D.
是( )
A．y＝x
1 2
B．y＝2－x
C．y＝log 1 x D．y＝1x 2
答案：A
解析：A
选项，12>0，所以幂函数
y＝x
1 2
在(0，＋∞)上单调递增．
B 选项，指数函数 y＝2－x＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减．
C 选项，因为 0<12<1，所以对数函数 y＝log1 x 在(0，＋∞)上单 2
2.讨论函数 f(x)＝x－ax1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解析：方法一 设 x1<x2<1，
因为 f(x)＝a(x－x－1＋1 1)＝a(1＋x－1 1)，
所以 f(x1)－f(x2)＝a(1＋x1－1 1)－a(1＋x2－1 1)＝x1a－x12－xx2－1 1， 由于 x1<x2<1，
f(x)在区间 D
那么就称函数 上_单__调__递__减_
f(x)在区间
D
图示
图象 函数 f(x)在区间 D 上的图象 函数 f(x)在区间 D 上的图象
特征 是上升的
是下降的
特别地，当函数 y＝f(x)在它的定义域上单__调__递__增__或单__调__递__减__ 时，那么就称它是_增__函__数___或_减__函__数___．
C.
4．若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 的单调递减区间是(－∞，4]， 则实数 a 的值是________．
答案：a＝－3 解析：因为函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数 f(x) 的图象对称轴为直线 x＝1－a，所以有 1－a＝4，即 a＝－3.
三、走进高考
5．[2019·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的
(2)y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥<00，，
即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，xx≥<00，， 函数图象如图(2)所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调 减区间为[－1,0]，[1，＋∞).
类题通法 凡能作出函数图象的单调性问题，主要用于已熟悉的常见函数 (如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，以及能通 过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数的 单调性的判断.
答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析：函数 f(x)为一元二次函数，对称轴为直线 x＝8k. 当8k≤5，即 k≤40 时，f(x)在[5,20]上单调递增； 当8k≥20，即 k≥160 时，f(x)在[5,20]上单调递减； 综上可知，k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)．
二、易错易混
题型一 函数单调性的判断与证明[自主练透] 1．求下列函数的单调区间：(1)y＝|x2＋2x－3|；(2)y＝－x2＋2|x| ＋1.
解析：(1)令 f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出 f(x)的图象，保 留其在 x 轴上及其上方部分，将位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上 方，得到 y＝|x2＋2x－3|的图象，如图(1)所示．由图象可得，原函 数的增区间是[－3，－1]，(1，＋∞)，减区间是(－∞，－3]，[－ 1,1]．
__f(_x_)_≥__M_
∃x0∈I，使得_f(_x_0_)＝__M__
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最大值
称 M 是函数 y＝f(x)的最小 值
几何 意义
f(x)图象上最高点的_纵__坐__标___
f(x)图象上最低点的_纵__坐__标_.
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修一·P81 例 5]已知函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]，则 f(x)的最 大值为( ) A．3 B．1 C．2 D．4
2．[必修一·P100 复习参考题 3 T4 改编]已知函数 f(x)＝4x2－kx－ 8 在[5,20]上具有单调性，则实数 k 的取值范围是________．
所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(－∞，1)上递减．
如果函数 f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的) _单__调__性___，区间 D 叫做 y＝f(x)的 _单__调__区__间_．
2．函数的最大值与最小值
最ห้องสมุดไป่ตู้值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满
条件
足：∀x∈I，都有 __f(_x_)≤__M__
第2节 单调性与最大(小)值
【教材回扣】
1．增函数与减函数的定义 增函数
减函数
条件
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间_D_⊆__I 如果_∀__x_1，__x_2_∈__D__，当 x1<x2 时，都有
_f(_x_1_)<__f(_x_2)
_f(_x_1_)>_f_(_x2_)
结论
那么就称函数 上单 ___调__递__增_
3．函数 f(x)＝11－＋xx的单调减区间为(
)
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
答案：C 解析：f(x)＝11－＋xx＝－11＋＋xx＋2＝－1＋1＋2 x 又 f(x)＝2x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 由函数的图象平移可知 f(x)＝11＋－xx的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故选
调递减．
D 选项，反比例函数 y＝1x在(0，＋∞)上单调递减．
6．[2017·全国Ⅱ卷]函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是
() A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D 解析：由 x2－2x－8>0，得 x>4 或 x<－2. 设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数． 要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8 的单调 递增区间． ∵ 函数 t＝x2－2x－8 的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴ 函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选 D.
是( )
A．y＝x
1 2
B．y＝2－x
C．y＝log 1 x D．y＝1x 2
答案：A
解析：A
选项，12>0，所以幂函数
y＝x
1 2
在(0，＋∞)上单调递增．
B 选项，指数函数 y＝2－x＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减．
C 选项，因为 0<12<1，所以对数函数 y＝log1 x 在(0，＋∞)上单 2
2.讨论函数 f(x)＝x－ax1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解析：方法一 设 x1<x2<1，
因为 f(x)＝a(x－x－1＋1 1)＝a(1＋x－1 1)，
所以 f(x1)－f(x2)＝a(1＋x1－1 1)－a(1＋x2－1 1)＝x1a－x12－xx2－1 1， 由于 x1<x2<1，
f(x)在区间 D
那么就称函数 上_单__调__递__减_
f(x)在区间
D
图示
图象 函数 f(x)在区间 D 上的图象 函数 f(x)在区间 D 上的图象
特征 是上升的
是下降的
特别地，当函数 y＝f(x)在它的定义域上单__调__递__增__或单__调__递__减__ 时，那么就称它是_增__函__数___或_减__函__数___．
C.
4．若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 的单调递减区间是(－∞，4]， 则实数 a 的值是________．
答案：a＝－3 解析：因为函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数 f(x) 的图象对称轴为直线 x＝1－a，所以有 1－a＝4，即 a＝－3.
三、走进高考
5．[2019·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的
(2)y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥<00，，
即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，xx≥<00，， 函数图象如图(2)所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调 减区间为[－1,0]，[1，＋∞).
类题通法 凡能作出函数图象的单调性问题，主要用于已熟悉的常见函数 (如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，以及能通 过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数的 单调性的判断.
答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析：函数 f(x)为一元二次函数，对称轴为直线 x＝8k. 当8k≤5，即 k≤40 时，f(x)在[5,20]上单调递增； 当8k≥20，即 k≥160 时，f(x)在[5,20]上单调递减； 综上可知，k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)．
二、易错易混
题型一 函数单调性的判断与证明[自主练透] 1．求下列函数的单调区间：(1)y＝|x2＋2x－3|；(2)y＝－x2＋2|x| ＋1.
解析：(1)令 f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出 f(x)的图象，保 留其在 x 轴上及其上方部分，将位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上 方，得到 y＝|x2＋2x－3|的图象，如图(1)所示．由图象可得，原函 数的增区间是[－3，－1]，(1，＋∞)，减区间是(－∞，－3]，[－ 1,1]．
__f(_x_)_≥__M_
∃x0∈I，使得_f(_x_0_)＝__M__
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最大值
称 M 是函数 y＝f(x)的最小 值
几何 意义
f(x)图象上最高点的_纵__坐__标___
f(x)图象上最低点的_纵__坐__标_.
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修一·P81 例 5]已知函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]，则 f(x)的最 大值为( ) A．3 B．1 C．2 D．4