高三第一次月考理科数学

2013—2014学年度高三第一次月考
数学(理科)试卷
一、选择题：（本大题共有10小题，共50分）
1.已知函数()y f x =的定义域为[1,2]-，则函数y f x =(log )2的定义域是（ ） A ．[1，2] B ．[0，4] C ．（0，4] D ．[
2
1
，4] 2.函数1
1
ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3.给定函数①1
2
y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1
2x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减
的函数序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 4．抛物线2
x y =上的任意一点到直线02=--y x 的最短距离为（ ）
A.
2 B.
8
2
7 C. 22 D. 以上答案都不对 5.下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若2
1x =，则1=x ”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件．
C ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 6.已知
⎨
⎧∈+-∈+=]
1,0[1
)0,1[1)(2
x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．
的是 （ ）
7.在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()()2f x f x =-.若()f x 在区间[]1,2上的减函数,则
()f x ( ).
A.在区间[]2,1--上是增函数, 在区间[]3,4上是增函数
B.在区间[]2,1--上是增函数, 在区间[]3,4上是减函数
A .f (x -1)的图象
B .f (-x )的图象
C .f (︱x ︱)的图象
D . ︱f (x )︱的图象
C.在区间[]2,1--上是减函数, 在区间[]3,4上是增函数
D. 在区间[]2,1--上是减函数, 在区间[]3,4上是减函数
8.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ） A ．608元 B ．574.1元 C ．582.6元 D ．456.8元
9.定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图2所示，两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2
a ＋2
的取值范围是（ ）
图2
A ．(13，12)
B ．(－∞，12)∪(3，＋∞)
C ．(1
2
，3)
D ．(－∞，－3)
10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有
2
()()
0xf x f x x '-<恒成立，则不等式
2()0x f x >的解集是（ ）
A. (-2,0) ∪(2,+∞)
B. (-2,0) ∪(0,2)
C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

） 11.已知R 是实数集，{}
11,12+-==⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<=x y y N x x
M ，则=M C N R ． 12．函数f (x )＝－x 4＋2x 2＋3的最大值为 ．
13．已知函数)53(log 22
1+-=ax x y 在[-1，+ ∞）上是减函数，则a 的取值范围
是 ．
14.已知定义在区间[0，1]上的函数)(x f y =图象如图所示，对于满足0＜1x ＜2x ＜1的 任意1x ，2x 给出下列结论：
①1212)()(x x x f x f ->-②)()(2112x f x x f x >③
；
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填写在横线上）
15.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：
给出下列四个命题：
①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
三：解答题（共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16．（本小题满分12分）
二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1． ⑴求f (x )的解析式；
⑵在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围． 17. （本小题满分12分） 已知函数()2
1ln ()2
f x x a x a R =
-∈ （1）若的单调区间和极值。

求)(,2x f a =
（2）若函数()f x 在()1,+∞上是增函数，求a 的取值范围
18. （本小题满分12分）已知命题p ：方程022
2
=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数
x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
19、（本小题满分12分）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有3
3()()22
f x f x +=--成立．
（1）证明()y f x =是周期函数，并指出其周期； （2）若(1)2f =，求(2)(3)f f +的值；
（3）若2
()3g x x ax =++，且|()|()y f x g x =⋅是偶函数，求实数a 的值．
20.（本小题满分13分）
设函数2
()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=． （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若函数()()
x
e g x
f x =，讨论()
g x 的单调性．
21. （本小题满分14分）已知函数[]24(),0,2.33
x
f x x x =
∈+
(Ⅰ)求()f x 的值域； (Ⅱ)设0a ≠，函数[]3
21(),0,23
g x ax a x x =
-∈．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]00,2x ∈，使10()()0f x g x -=，求实数a 的取值范围．
2013——2014学年度高三第一次月考数学(理)答题
参考答案
一、选择题
1—5：DCBBD 6—10:DBCCD
二、填空题
11、[1,2] 12、4 13、(-8,6] 14、②③15、①③④
三、解答题
16、（1）设：f（x）=ax2+bx+1
又因为f（x+1）-f（x）=2x，化简可知 2a-2=0;a+b=0
所以：a=1,b=-1 所以f（x）=x2-x+1
（2）因为y==f（x）的图像恒在y=2x+m的图像上方
所以[-1，1]上，f（x）>y=2x+m恒成立即：x2-3x+1>m在区间[-1，1]恒成立所以令g(x)=x2-3x+1 g'(x)=2x-3=0, x=1.5
所以g(x)min=g(1)=-1, 所以m<-1
17、（1）当x∈（0，√2）时，f'(x)<0，f(x)是减函数
当x∈（√2，+∞）时，f'(x)>0，f(x)是增函数
当x=√2是f (x) 是极小值点，f (√2)=1-ln√2
] 无极大值点
（2）a≤1
18、解：由a2x2+ax-2=0 ，得（ax+2）（ax-1 ）=0 ，
显然a ≠0, ∴或
∵x∈[-1，1]，故或∴|a|≥1.
又只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2-8a=0, ∴a=0或a=2,
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a=0．
∵命题“p或q”是假命题，
∴a的取值范围是{a|-1<a<0或0<a<1}．
19、（本小题满分12分）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22
f x f x +=--成立．
（1）证明()y f x =是周期函数，并指出其周期；
（2）若(1)2f =，求(2)(3)f f +的值；
（3）若2
()3g x x ax =++，且|()|()y f x g x =⋅是偶函数，求实数a 的值．
、解（1）由33()()22
f x f x +=--，且()()f x f x -=-知
3333
(3)[()][()]()()2222
f x f x f x f x f x +=++=--+=--=，所以()y f x =是周期函数，且3T =是
其一个周期．
（2）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，且(1)(1)2f f -=-=-，又3T =是()y f x =的
一个周期，所以(2)(3)(1)(3)202f f f f +=-+=-+=-；
（3）因为|()|()y f x g x =⋅是偶函数，且可证明|()|y f x =是偶函数，所以2
()3g x x ax =++为偶函数，即()()g x g x -=恒成立．
于是2
2
()()33x a x x ax -+-+=++恒成立，于是20ax =恒成立0a ⇔=， 所以0a =为所求． 20.（本小题满分13分）
设函数2
()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=． （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若函数()()
x
e g x
f x =，讨论()
g x 的单调性．
解（Ⅰ）因2
()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故 又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =
由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知 该切线斜率为2，即(1)2,f '=有2a=2,从而a=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2
()(0)x
e g x k x k
=>+
222
(2)
()(0)()x e x x k g x k x k -+'=>+
令2
()0,20g x x x k '=-+=有
（1）当440,k '∆=-<即当k>1时，g (x)>0在R 上恒成立，
故函数g(x)在R 上为增函数
（2）当440,k ∆=-=即当k=1时，
2
22
(1)()0(0)()x e x g x x x k -'=>≠+ K=1时，g （x ）在R 上为增函数
（3）440,k ∆=->即当0<k<1时，方程2
20x x k -+=有两个不相等实根
1211x x ==
当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数
当1x ∈-（时，()0,g x '<故()1g x +在（上为减函数
1x ∈+∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数
21. （本小题满分14分）已知函数[]24(),0,2.33
x
f x x x =
∈+
(Ⅰ)求()f x 的值域； (Ⅱ)设0a ≠，函数[]3
21(),0,23
g x ax a x x =
-∈．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]00,2x ∈，使10()()0f x g x -=，求实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）2
22
41()3(1)
x f x x -'=+， 令()0f x '=，得1x =或1x =-． 当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '>在(0,1)上单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0,()f x f x '<在(1,2)上单调递减，
而28(0)0,(1),(2)315
f f f ==
=，
∴当[]0,2x ∈时，()f x 的值域是20,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
(Ⅱ)设函数()g x 在[]0,2上的值域是A ，
若对任意[]10,2x ∈．总存在[]00,2x ∈1,使10()()0f x g x -=，
20,3A ⎡⎤
∴⊆⎢⎥⎣⎦
． 22()g x ax a '=-．
①当()0,2,0x a ∈<时，()0g x '<，
∴函数()g x 在()0,2上单调递减．
28
(0)0,(2)20
3g g a a ==-<， ∴ 当[]0,2x ∈
时，不满足2
0,3A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣
⎦；
②当()0,2,0x a ∈>时，()(g x a x x '=+，
令()0g x '=，得x =
x =舍去)
（i ）[]0,2,02x ∈<时，,(),()x g x g x '的变化如下表：
x
0 (
)
2
2 ()g x ' - 0
+
()g x
2
3a -
28
23
a a -
(0)0,0g g ∴=<．
20,,3A ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
282(2)233
g a a ∴=-≥，解得1
13a ≤≤．
(ii)当[]0,22x ∈≥时，()0g x '< ∴函数()g x 在()0,2上单调递减．
28(0)0,(2)203g g a a ==-<，∴当[]0,2x ∈时，不满20,3A ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
．
综上可知，实数a 的取值范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．。