2019高中数学 活页作业23 方程的根与函数的零点 新人教A版必修1

活页作业(二十三) 方程的根与函数的零点
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f (x )＝x 2
－3x －4的零点是( ) A ．1，－4 B ．4，－1 C ．1,3
D ．不存在
解析：函数f (x )＝x 2－3x －4的零点就是方程x 2
－3x －4＝0的两根4与－1. 答案：B
2．函数f (x )＝3x
＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
解析：f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，且函数f (x )＝3x
＋x －2的图象在(0,1)上连续不断． 答案：C
3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：由表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，
f (4)·f (5)<0.
∴f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B. 答案：B
4．已知x 0是函数f (x )＝2x
－log 13x 的零点，若0<x 1<x 0，则f (x 1)的值满足( )
A ．f (x 1)>0
B ．f (x 1)<0
C ．f (x 1)＝0
D ．f (x 1)>0与f (x 1)<0均有可能
解析：由于f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)<f (x 0)＝0. 答案：B
5．已知函数f (x )＝6
x
－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
解析： 法一：对于函数f (x )＝6
x
－log 2x ，因为f (2)＝2＞0，f (4)＝－0.5＜0，根据零
点的存在性定理知选C.
法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6
x
与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得
f (x )的零点所在的区间为(2,4)．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．对于方程x 3
＋x 2
－2x －1＝0，有下列判断： ①在(－2，－1)内有实数根； ②在(－1,0)内有实数根； ③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根． 其中正确的有________．(填序号) 解析：设f (x )＝x 3
＋x 2
－2x －1， 则f (－2)＝－1＜0，f (－1)＝1＞0，
f (0)＝－1＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0，
则f (x )在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确． 答案：①②③
7．方程lg x ＋x －1＝0有________个实数根．
解析：由原方程得lg x ＝－x ＋1，问题转化为函数y ＝lg x 的图象与函数y ＝－x ＋1的图象交点的个数．
作出相应函数的图象，如图：
由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根． 答案：1
8．二次函数y ＝x 2
－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a 的取值范围是________．
解析：∵二次函数y ＝x 2
－2ax ＋a －1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1，∴当x ＝1时，其函数值小于零，即12
－2a ×1＋a －1＜0.∴a ＞0.
答案：a ＞0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 2
＋x ＋2；
(2)f (x )＝x 2＋4x －12
x －2
；
(3)f (x )＝3
x ＋1
－7；
(4)f (x )＝log 5(2x －3)．
解：(1)令x 2
＋x ＋2＝0，因为Δ＝12
－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数根．所以f (x )＝x 2
＋x ＋2不存在零点．
(2)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝
x ＋x －x －2
，
令
x ＋x －x －2
＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.
(3)令3
x ＋1
－7＝0，解得x ＝log 37
3
，
所以函数的零点是log 37
3.
(4)令log 5(2x －3)＝0， 解得x ＝2，所以函数的零点是2. 10．已知函数f (x )＝－3x 2
＋2x －m ＋1.
(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点． (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2
＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜4
3
.
由Δ＝0，可解得m ＝4
3；
由Δ＜0，可解得m ＞4
3
.
故当m ＜4
3时，函数有两个零点；
当m ＝4
3时，函数有一个零点；
当m ＞4
3
时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f (x )＝x 3
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数个
解析：作出y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以
函数f (x )只有一个零点．故选B.
答案：B
2．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝log 2x 的解为x 1，方程－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＝log 2x 的解为x 2，则x 1x 2的取值范围为( )
A ．(0,1)
B ．(1，＋∞)
C ．(1,2)
D ．[1，＋∞)
解析：由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 2x 1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝log 2x 2，在同一坐标系中，画出函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，
y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
x 及y ＝log 2x 的图象，如图所示．
观察图象可知，x 1＞1,0＜x 2＜1，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＜12，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＜－12，即0＜log 2x 1＜12，log 2x 2＜－1
2
，两式相加，得log 2x 1＋log 2x 2＜0，∴log 2(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝______. 解析：方程为log 3x ＋x －3＝0，设f (x )＝log 3x ＋x －3， ∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0， 即f (2)·f (3)<0，
∴函数在(2,3)内存在零点．∴k ＝2. 答案：2
4．函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数为________． 解析：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分) 5．已知函数f (x )＝ax 2
－4x ＋2.
(1)若f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．
(2)已知a ≤1，若函数y ＝f (x )－log 2x
8在区间[1,2]内有且只有一个零点，试确定实数a
的取值范围．
解：(1)因为f (2－x )＝f (2＋x )，所以f (x )的对称轴为x ＝2， 即－－4
2a ＝2，即a ＝1.
所以f (x )＝x 2
－4x ＋2.
(2)因为y ＝f (x )－log 2x
8
＝ax 2
－4x ＋5－log 2x ，
设r (x )＝ax 2
－4x ＋5，s (x )＝log 2x (x ∈[1,2])，
则原命题等价于两个函数r (x )与s (x )的图象在区间[1,2]内有唯一交点， 当a ＝0时，r (x )＝－4x ＋5在区间[1,2]内为减函数，
s (x )＝log 2x (x ∈[1,2])为增函数，
且r (1)＝1＞s (1)＝0，r (2)＝－3＜s (2)＝1，
所以函数r (x )与s (x )的图象在区间[1,2]内有唯一交点． 当a ＜0时，r (x )图象开口向下，对称轴为x ＝2
a
＜0，
所以r (x )在区间[1,2]内为减函数，s (x )＝log 2x (x ∈[1,2])为增函数，
则由⎩
⎪⎨
⎪⎧ r s ，
r s
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧ a ＋1≥0，
4a －3≤1⇒－1≤a ≤1，所以－1≤a ＜0.
当0＜a ≤1时，r (x )图象开口向上，对称轴为x ＝2
a
≥2，
所以r (x )在区间[1,2]内为减函数，s (x )＝log 2x (x ∈[1,2])为增函数， 则由⎩⎪⎨
⎪⎧
r s ，
r
s
⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＋1≥0，4a －3≤1
⇒－1≤a ≤1，所以0＜a ≤1.
综上所述，实数a 的取值范围为[－1,1]．
6．已知函数f (x )＝x 2
－(k －2)x ＋k 2
＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2
＋β2
的取值范围． 解：(1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，
∴－1和－3是方程x 2
－(k －2)x ＋k 2
＋3k ＋5＝0的两个实数根．
则⎩⎪⎨⎪⎧
－1－3＝k －2，－
－＝k 2
＋3k ＋5，解得k ＝－2.
(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2
－(k －2)x ＋k 2
＋3k ＋5＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
α＋β＝k －2，αβ＝k 2
＋3k ＋5，Δ＝k －2－k 2＋3k ＋
则⎩
⎪⎨⎪⎧
α2＋β 2
＝α＋β2
－2αβ＝－k 2
－10k －6，
－4≤k ≤－4
3，
∴α2＋β 2在区间⎣⎡⎦
⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509，即α2＋β
2
的取值范围为
⎣⎡⎦
⎤509，18.。