M_M_1_N多重工作休假排队系统的性能分析

中图分类号：０２２６
文章标识码：Ａ
文章编号：１００７－３２２ｌ（２００９１０４旬０５４舶
ＰｅｒｆＯｒｍａｎＣｅ ＡｎａｌｙｓｉＳ Ｏｆ
Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ＷＯｒｋｉｎｇ ＶａｃａｔｉＯｎｓ
ＺＨＡ０ Ｘｉａｏ－ｈｕａ。，ＦＡＮ Ｊｉａｎ．ｗｕ２，ＴＩＡＮ Ｎａｉ．ｓｈｕ０１，ＴＩＡＮ Ｒｕｉ—ｌｉｎ９１
则｛Ｌ（ｔ），Ｊ（ｔ），ｔ≥０ｌ为二维马尔科夫过程，其状态空间为 ｎ＝｛（，ｌ，Ｏ）：０≤ｎ≤Ⅳ｝ｕ｛（ｎ，１）：ｌ≤ｎ≤Ｊ７、ｒ｝
系统的稳态概率定义如下 Ｐｏ（ｎ）＝ｌｉｍＰ｛￡（ｔ）＝ｎ，＿，（ｔ）＝０｝，０≤ｎ≤』ｖ
Ｐｌ（ｎ）＝ＩｉｍＰ｛Ｌ（ｔ）＝ｎ，＿，（ｆ）＝１｝，１≤ｎ≤Ⅳ
由马尔科夫过程理论可得系统稳态概率满足的方程组为
（２）服务员工作休假的概率
Ⅳ
Ⅳ
Ｐｒ＝∑Ｐ。（ｎ）＝占（１－∑，。曰＾）＝ｌ一以
（３）系统的平均等待队长
Ⅳ一ｌ
Ⅳ一Ｉ
Ⅳ一Ｉ
Ｅ（Ｌ，）＝∑ｎＰ。（ｎ＋１）＋∑ｎＰ。（ｎ＋１）＝６∑ｎｒ。Ｂｉｌ（阳～８川一８川）
排队。最近Ｌｉ和Ｔｉａｎ¨叫分析了带单重工作休假的离散时间Ｇｅｏ／Ｇｅｏ／１（ｗＶ）排队。
在本文中，我们研究彬Ｍ／ｌ／Ｊ『、，多重工作休假排队系统，其结构安排如下：第一节描述了系统模型。
第二节利用马尔科夫过程理论建立了系统稳态概率满足的方程组。第三节将转移率矩阵写成了分块矩阵 的形式，并证明了相关矩阵的可逆性。在此基础上，利用矩阵解法求出了稳态概率的矩阵解。第四节利用 稳态概率的矩阵解，得到了系统的平均队长、平均等待队长及顾客的消失概率等性能指标。第五节通过数 值例子分析了肘／肘１／３排队系统中参数卢，和８对平均队长的影响。
肘／Ｍ／１／Ⅳ（形ｙ）ｉｎ ｓｈｏｒｔ．Ｆｉｒｓｔ，ｗｅ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒｎｌ ８０ｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｅａｄｙ—ｓｔａｔｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｂｙ ｔｈｅ Ｍａｒｋ－ ｆｏｖ ｐｒｏｃｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｓｏｍｅ ｐｅｒｆｏｍａｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙ８ｔｅｍ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃ—
（５）
ＡＰ。（Ⅳ一１）＋卯。（Ｊ７、ｒ）＝弘６Ｐ。（Ｊ７、ｒ）
（６）
３稳态概率的矩阵解法
转移率矩阵可以写成如下分块矩阵
万方数据
５６
运筹与 管理
２００９年第１８卷
其中
一Ａ 肛。
曰ｏ＝
Ａ
一（Ａ＋８＋肛，）
ｐ。
Ｑ＝偿
Ａ
一（Ａ＋一＋弘。）
●－
Ｏ ｐ Ａ＝ ０ ； Ｏ
Ｏ …０ ０ …Ｏ
ｐ
’．
！
‘．
’．
０
＝
示元素全为１的２Ⅳ＋ｌ维列向量。
定理 系统的稳态概率为
尸。（Ｏ）＝占
（７）
尸ｏ（ｎ）＝一，．口ｉ１８。６，
１≤ｎ≤Ｊｊ、ｒ
（８）
Ｐｌ（ｎ）＝口，．１８ｉ１Ｂ～ｓ。６， １≤ｎ≤Ⅳ
（９）
其中６＝（１一，Ｉ曰ｆ１ＦⅣ＋缈。曰ｆ１曰一１ＰⅣ）一１。 证明定义稳态向量
记 稳态向量Ｐ满足
Ｐ。＝（Ｐ。（Ｏ），Ｐ。（１），…，Ｐ。（Ⅳ）），Ｐ．＝（Ｐ。（１），…，Ｐ。（Ⅳ）） Ｐ＝（Ｐｏ，Ｐ。）
收稿日期：２００８－ＩＯ－０５ 基金项目：国察自然科学基金资助项目（１０６７１１７０） 作者简介：赵晓华（１９８０．）．女，河南许昌人，硕士研究生．主要从事排队论方面的研究。
万方数据
第４期
赵晓华，等：肘／肘／１／Ⅳ多重工作休假排队系统的性能分析
５５
统中的顾客数可以增加也可以减少；而后者顾客则不可能离开系统，因此系统中的顾客数只能增加不能 减少。
肛。Ｐ。（１）＋ｐ，尸ｏ（１）＝ＡＪＰｏ（Ｏ）
（１）
．ＡＰ。（ｒＩ—１）＋ｐ，Ｐｏ（ｎ＋１）＝（Ａ＋一＋ｐ，）Ｐ（乃），１≤，ｌ≤，ｖ—ｌ
（２）
ＡＰｏ（Ⅳ一１）＝（ｐ＋ｐ，）Ｐｏ（Ⅳ）
（３）
８Ｐｏ（１）＋ｐ６Ｐ。（２）＝（Ａ＋ｐ６）ＰＩ（１）
（４）
ＡＰ．（ｎ一１）＋口Ｐｏ（ｎ）＋肛６ＰＩ（ｎ＋１）＝（Ａ＋ｐ６）Ｐｌ（ｎ） ２≤乃≤Ⅳ一１
ｘ，曰～ｅⅣ＝ｌ，，露－１Ｅ。＝ｚ，则有Ｂ：ｘ７＝，：，曰ｙ＝ＰⅣ，曰ｚ＝ｓ．，从而计算向量，。ｆ１，曰‘１Ｐ。和曰～￡。可转化为求 解三个非齐次线性方程组曰狂７＝，：，曰ｙ＝ＰⅣ，曰ｚ＝￡．。
４系统的性能指标
（１）服务员处在忙期的概率
万方数据
５８
运筹 与 管 理
２００９年第１８卷
Ｐ。＝∑Ｐ。（ｎ）＝口６∑，。Ｂｉ‘口～８．
摘 要：本文研究肘／彬ｌ／ＪＩ、，多重工作休假排队系统，简记为肘／肘／ｌ／Ⅳ（形Ｉ，）。利用马尔科夫过程理论和矩阵解
法求出了稳态概率的矩阵解，并得到了系统的平均队长、平均等待队长以及顾客的消失概率等性能指标。最后
通过数值例子我们分析了系统的参数，休假时的工作率肛，和休假率口对平均队长的影响。
关键词：排队系统；稳态概率；性能指标；马尔科夫过程；矩阵解法；多重工作休假
展开并将（１５）式代人可得：Ｐ。＝跏。曰ｆ１曰。Ｐｏ（０）
（１７）
将（１６）式和（１７）式代入（１２）式可得
Ｐｏ（Ｏ）＝（１一，ｌ曰ｆ１口Ⅳ＋卯ｌ曰ｉ１丑“ＰⅣ）“
（１８）
将（１８）式代入（１６）式和（１７）式并展开即得系统的稳态概率为
Ｐｏ＝艿
Ｐｏ（ｎ）＝一，ｌＢｉｌ８．艿， １≤ｎ≤Ｊ７、ｒ
ＰＩ（，１）＝口，ｌ曰ｆ１曰～ｓ。６， １≤ｎ≤Ⅳ 证明完毕。 注：由上述定理可知，要得到系统的稳态概率，须先要计算出向量，。曰ｉ１，曰～Ｐ。和口～￡。。令，，曰ｉ１＝
Ｓｅｒｖｉ和Ｆｉｎｎ［５１在２００２年引入了一种半休假策略：服务员在假期中并未完全停止工作，而是以较低的 速率为顾客服务，这种休假策略称为工作休假（ｗｏｒｋｉｎｇ ｖａｃａｔｉｏｎ ＷＶ）。如果让服务员在工作休假中服务 率减小为零，则工作休假排队就成为了一个经典休假排队模型，因此工作休假排队是经典休假排队的一个 扩展。工作休假排队和经典的休假排队有很大的不同，在假期中，前者顾客可以完成服务并离开，因此系
可得Ｄ。＝一ｐ。Ｄ，一。，其中Ｄ。一。与Ｄ，的结构相同，但阶数降低了一阶。
同理可得
ＤⅣ一ｊ＝一肛６ＤⅣ一ｉ．１ ｌ≤ｆ≤Ⅳ一２
递推可得 所以Ｂ为可逆矩阵。
证明完毕。
ＤＩ＝一ｐ５
Ｉ曰Ｉ＝Ｄ＾，＝（一肛。）“≠０
万方数据
第４期
赵晓华，等：Ｍ／Ｍ／１／Ｊ７、，多重工作休假排队系统的性能分析
５７
令Ｆ。（１≤ｎ≤Ⅳ）表示Ⅳ维单位列向量，Ｐ。＋。和Ｐ。分别表示元素全为１的Ⅳ＋）
ｃ删胪。，（：”ｃ…＇Ｐ１）（瓮兰：）＝ｏ
展开得
Ｐｏ（Ｏ），。＋Ｐ０曰ｏ＝Ｏ
从而得到
匕＝一，．。曰ｆ１Ｐ。（Ｏ）
（１５）
由此得
Ｐ。＝（Ｐ。（０），Ｐ。）＝（Ｐ。（０），一，。曰ｃ『１ＪＰ。（０））＝（１，ｒ。，曰ｉ１）Ｐ。（０）
（１６）
由（１４）式得
（Ｐ“０）＇ＰＪ【日赢ｊ卯ｐ－ｏ
Ｓｅｒｖｉ和Ｆｉｎｎ研究了』Ｉｆ／Ｍ／１工作休假排队，得出了稳态下系统中顾客数ＰＧＦ和稳态逗留时间的ＬｓＴ。 随后Ｋｉｍ、ｃｈｏｉ和ｃｈａｅ［６１、ｗｕ和Ｔａｋａ ｇｉ［７１研究了Ｍ／Ｇ／１工作休假排队，Ｂａｂａ［８１用矩阵几何解方法分析了
ＧＩ／Ｍ／１工作休假排队。接着Ｂａｎｉｋ，Ｇａｐｔａ和Ｐａｔｈａｋ［９１将其扩展到了多重休假和有限等待场所Ｇ，／彬ｌ／Ⅳ
用分块矩阵的形式（１０）式可以表示为
Ｊ‘ ＰＱ＝ｏ
【ｎ＝１
（、１■０Ｖ），
ｃ¨。，信三）＝ｏ
㈣，
将（１１）式展开得
Ｐｏ口Ⅳ＋Ｉ＋ＰｌＰ一＝１
Ｐｏ曰ｏ＋尸。Ｃ＝Ｏ
定义向量
ＰｏＡ＋Ｐｌ曰＝Ｏ
Ｐ。＝（Ｐｏ（１），Ｐ。（２），…，Ｐ。（Ⅳ））， Ｐ。＝（Ｐ。（２），Ｐ，（３），…，Ｐ，（Ⅳ）） 则由（１３）式可得
Ｊ『＼，阶矩阵；Ｅ。为Ⅳ阶单位矩阵。
引理１ 设Ａ＝（口口）为一实数域上的聘阶方阵，如果Ｉ口。ｌ＞∑Ｉ口口Ｉ，ｆ－ｌ，２，…，，Ｉ，那么ＩＡ Ｉ≠ｏ。
证明 参见‘川。 引理２将曰。写成如下分块矩阵
耻㈢乏）
其中，。＝（Ａ，０，…，Ｏ）为Ⅳ维行向量；，２＝（心，Ｏ，…，０）７为Ⅳ维列向量；曰。是Ⅳ阶方阵，则曰。可逆。 证明 记Ｂ。＝（６。，）
ｑ阳 ⅣⅣ
…０
口Ⅳ
Ⅳ
一（Ａ＋ｐ６）
Ａ
ｐ６
一（Ａ＋肛６）
肛６ 曰＝
Ｃ＝ ，．．。．。Ｌ 地Ｏ；０
Ａ
一（Ａ＋ｐ６）
●●
一（Ａ＋ｐ＋ｐ。）
ｐ。
Ａ
一（口＋ｐ，）
０
¨
０．．．． ．．．．
Ｏ；Ｏ
Ｄ
＝
地吼 Ｄ
０；０ ¨
０
０ 、●，●●●／ Ⅳ Ⅳ
肛６ 一（Ａ＋ｐ６） Ａ
ｐｈ
一陆ｂ）ｑ。ｑ
注：Ｄ。是元素全为的Ⅳ维行向量；Ｄ：是元素全为０的Ｊ７、，一ｌ维列向量；Ｄ，是元素全为０的（Ⅳ一１）×
假定到达间隔ｒ，工作时间ｙ，正规忙期中的服务时间Ｓ。和工作休假的服务时间Ｓ，均相互独立，服务 规则为先到先服务（ＦＣＦＳ）。
２稳态概率方程组
令￡（ｔ）表示时刻ｔ系统中的顾客数即时刻ｔ系统的队长，ｌ≥０。令Ｊ（Ｉ）表示时刻ｔ服务员的工作状 态，定义如下
，，、 ｆＯ，时刻ｔ服务员处于工作休假状态
八‘）２ ｉｌ，时刻ｆ服务员处于正规忙期中
（１．ＣＤＺ始℃矿５ｃｉｅｎｃｅ，ｙ口船＾口ｎ踟如ｅｒｓ渺，Ｑｉｎ＾∞ｎｇ如ｏ，０６６００４，吼ｉ胁；２．￡ｉ尺ｅ儿ｃｏｆ２ｑ伊，ｙ口船托ｎ‰ｆ钾瑙渺， Ｑｉｎ＾ｌ。口，Ｉｇｄｏｏ，０６６００４，Ｃ五ｉｎ口）
ＡｂｓｔｒａＣｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ Ｍ／肘／１／Ⅳｑｕｅｕｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｐＩｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｖａｃａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｗｅ ｈａＶｅ