(修改重新上传)海南省嘉积中学2010-2011学年上学期高二教学质量检测(三)(数学理)1

海南省嘉积中学2010-2011学年上学期高二教学质量检测（三）（数
学理）
（时间：120分钟满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题，其中正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
2. 对抛物线，下列描述正确的是（）
（A）开口向上，焦点为（B）开口向上，焦点为
（C）开口向右，焦点为（D）开口向右，焦点为
3. 设，则是的（）
（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
4. 已知，则的最小值是 ( )
（A）
5
5
（B）
55
5
（C）
35
5
（D）
11
5
5. 有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）
（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③6. 已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+（）等于（）（A）（B）（C）（D）
7. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）
8. 如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月
球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞
行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ
绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ
绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
① ② ③＜ ④＞.
其中正确式子的序号是 ( )
（A ）①③ （B ）②③ （C ）①④ （D ）②④
9. 设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
10. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则P 的
值为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11. 如下图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1中点，则B 1到平面ABF 的距离为 ( )
（A ）33 （B ）55
（C ）
53 （D ）255 12. 已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B
两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 已知＝ (1,1,0)，＝(－1,0,2)，且k ＋与2－垂直，则k 的值为________.
14. 已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 与平面A 1B C 1所成角的余弦值为________.
15. B 1、B 2是椭圆短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，
若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|
的值是________.
16. 若点O 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则·的取
值范围为________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分） 已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线
上，（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.
18.（本小题满分12分）已知命题：表示焦点在轴上的椭圆，命题：表示双曲线．若和有
且仅有一个正确，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E 为BC
的中点
（1） 求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值
（2） 在线段AN 上是否存在点S ，使得ES 平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，
请说明理由
20．（本小题满分12分）已知抛物线：，焦点为，其准线与轴交于点；椭圆：分别以为左、
右焦点，其离心率；且抛物线和椭圆的一个交点记为．
（1）当时，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线经过椭圆的右焦点，且与抛物线相交于两点，若弦长等于
的周长，求直线的方程．
21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD
为菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E ，F 分别是BC , PC 的中点.
（1）证明：AE ⊥PD ;
（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，
求二面角E —AF —C 的余弦值.
22．（本小题满分12分）已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：＝1(＞＞0)的左顶点A 和上顶
点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方
的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x ＝103
分别交于M 、N 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求线段MN 的长度的最小值；
（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．
2010-2011学年度第一学期高中教学质量监测（三）
高二数学科参考答案（理科）
一、选择题
1-5 CBACC 6-10 ABDCB 11-12 DC
二、填空
13. 14. 15.3 16.
三、解答题
17.解：（1）.........5分
（2）依题意知，所以双曲线的方程为...10分
18.解：当正确时，
即………3分
当正确时，
即………6分
由题设，若和有且只有一个正确，则
（1）正确不正确，∴∴………8分
（2）正确不正确∴∴………11分
∴综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是。

12分
19.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标……1分
依题意，得。

……2分
……3分
，……5分
所以异面直线与所成角的余弦值为……6分
（2）假设在线段上存在点，使得平面.
,
可设
又.
由平面，得即
故……………10分
所以…….11分
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时……12分
20. (1)当时,F (1,0),F (-1,0)
设椭圆的标准方程为 (＞＞0),∴=1, =
∵,∴=2, =
故椭圆的标准方程为=1. ……….4分
(2) (ⅰ)若直线的斜率不存在，则： =1，且A （1，2），B （1，-2），∴=4 又∵的周长等于=2+2=6
∴直线的斜率必存在. ………6分
（ⅱ）设直线的斜率为，则：
由，得
∵直线与抛物线有两个交点A ，B
∴，且 设则可得，
于是==
=
= =
∵的周长等于=2+2=6
∴由=6，解得=
故所求直线的方程为. …………12分
21. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.
因为 E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .
又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .
因为PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以PA ⊥AE .
而 PA 平面PAD ，AD 平面PAD 且PA ∩AD =A ，
所以 AE ⊥平面PAD ，又PD 平面PAD .
所以 AE ⊥PD ………4分
（Ⅱ）解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH .
由（Ⅰ）知 AE ⊥平面PAD ，
则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角.
在Rt △EAH 中，AE =，
所以 当AH 最短时，∠EHA 最大，
即 当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大.
此时 tan ∠EHA =
因此 AH =.又AD=2，所以∠ADH =45°，
所以 PA =2………6分
解法一：因为 PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAC ，
所以 平面PAC ⊥平面ABCD .
过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角，
在Rt △AOE 中，EO =AE ·sin30°=，AO =AE ·cos30°=,
又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ·sin45°=,
又
在Rt △ESO 中，cos ∠ESO=
即所求二面角的余弦值为……12分
解法二：由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所
示的空间直角坐标系，又E 、F 分别为BC 、PC 的中点，所以
△
E 、
F 分别为BC 、PC 的中点，所以
A （0，0，0），
B （，-1，0），
C （C ，1，0），
D （0，2，0），P （0，0，2），
E （，0，0），
F （），
所以
设平面AEF 的一法向量为
因此
因为 BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，
所以 BD ⊥平面AFC ，
故 为平面AFC 的一法向量.
又 =（），
因为 二面角E-AF-C 为锐角，
所以所求二面角的余弦值为……12分
22.解析：(1)由已知得，椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，∴a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1………..4分 (2)直线AS 的斜率k 显然存在，且k ＞0，故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫103
，16k 3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x
＋x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2
－4＝0. 设S (x 1，y 1)，则(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2得x 1＝2－8k 21＋4k 2， 从而y 1＝4k
1＋4k 2， 即S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－8k
21＋4k 2，4k
1＋4k 2，又B (2,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－14k x
－x ＝103得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103y ＝－13k ，
∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫103
，－13k ， 故|MN |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪16k 3＋13k ， 又k ＞0，∴|MN |＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83
. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14
时等号成立． ∴k ＝14时，线段MN 的长度取最小值83
………8分 (3)由(2)可知，当MN 取最小值时，k ＝14
， 此时BS 的方程为x ＋y －2＝0，S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，45，∴|BS |＝425， 要使椭圆C 上存在点T ，使得△TSB 的面积等于15，只需T 到直线BS 的距离等于24
， 所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于
24的直线l 上． 设直线l ′：x ＋y ＋t ＝0，
则由|t ＋2|2＝24，解得t ＝－32或t ＝－52. ①当t ＝－32时，由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2＝1x ＋y －32＝0得5x 2－12x ＋5＝0， 由于Δ＝44＞0，故l ′与椭圆C 有两个不同的支点；
②当t ＝－52时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1x ＋y －52＝0得5x 2
－20x ＋21＝0， 由于Δ＝－20＜0，故直线l ′与椭圆没有交点．
综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使△TSB 的面积为15
………12分。