2021-2022学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}2A x x =≥，{}
2
60B x x x =--≥，则()R A B ⋂=（ ）
A ．{}23x x ≤<
B ．{}23x x <≤
C ．{}23x x -<≤
D ．{}32x x -<≤
【答案】A
【分析】先求出集合B ，然后进行补集和交集的运算即可． 【详解】{|2B x x =-或3}x ， {|23}R B x x ∴=-<<，
且{|2}A x x =， {|23}R
A
B x x ∴=<．
故选：A.
2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则1z
i
=+（ ） A ．3322
i -+
B ．3122i -+
C ．1322
i -+
D ．1322
i +
【答案】D
【解析】根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，可以确定12z i =-+，再由复数代数形式的除法运算化简
1z
i
+，即可得答案. 【详解】由题意知复数12z i =-+， 则
12(12)(1)1311222
z i i i i i i -+-+⋅-===+++， 故选：D.
【点睛】本小题考查复数的几何意义，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 3．已知,a b 都是实数，则“2211
log log a b
<”是“a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．即不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性，结合充分性和必要性的讨论，即可判断和选择.
【详解】因为2log y x =在()0,+∞是单调增函数，又2211log log a b
<， 故可得11
0a b
<
<，则0a b >>，故a b >，满足充分性； 若a b >，不妨取2,1a b =-=-，显然110,0a b <<，故2211
log ,log a b
没有意义， 故必要性不成立； 综上所述，“2211
log log a b
<”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：C .
4．已知点(1,)P t 在角θ的终边上，且sin θ=cos θ的值为（ ）
A B ．C ．D ．13
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义可得
sin θ==即可求得t ,再根据
cos θ=
.
【详解】由题,因为
sin θ=所以t =
所以
cos θ=
故选:A
【点睛】本题考查已知三角函数值求终边上一点,考查三角函数定义的应用. 5．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )
A ．1
B ．8
C ．4
D ．2
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，
所以2
7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；
又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选：B.
6．已知直线2
1:20l a x y ++=与直线()22:110l bx a y -+-=互相垂直，则ab 的最小值为
（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1
【答案】C
【分析】利用两直线垂直满足12120A A B B +=，得出()2
2
10a b a -+=，进而221a b a
+=，
代入ab ，利用基本不等式即可求解.
【详解】直线1l 与直线2l 斜率存在，且互相垂直， ()2
2
10a b a ∴-+=，即221
0a b a +=>，
当0a >时，1
2ab ab a a
==+≥；
当0a <时，1
2ab ab a a
=-=--≥， 综上，ab 的最小值为2. 故选：C
7．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有 A ．720种 B ．520种 C ．360种 D ．600种
【答案】D
【分析】分别计算甲乙只有一人参加、甲乙都参加两种情况下的发言顺序的种数，根据分类加法计数原理加和求得结果.
【详解】甲、乙只有一人参加，则共有：134
254480C C A =种发言顺序
甲、乙都参加，则共有：222
523120C A A =种发言顺序
根据分类加法计数原理可得，共有：480120600+=种发言顺序 本题正确选项：D
【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够通过分类的方式，分别计算两类情况的种数，属于常考题型.
8．已知正项数列{}n a 满足1
*()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【分析】先令1
x y x =，两边取对数，再分析ln ()x
f x x
=的最值即可求解. 【详解】令1
x
y x =，两边取对数，有1ln ln ln x
x
y x x
==， 令ln ()x
f x x
=
，则21ln ()x f x x -'=，
当()0f x '>时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >. 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减. 所以e x =时，()f x 取到最大值，从而y 有最大值，
因此，对于1*
()n
n a n n =∈N ，当2n =时，12
22a =；当3n =时，13
33a =.
而11
3232>，因此，当n a 最大时，3n =. 故选：B 二、多选题
9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，
2312a a +=，则下列说法正确的是( )
A ．2q
B ．数列{2}n S +是等比数列
C ．8510S =
D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC
【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31(1)18a q +=，21()12a q q +=，公比q 为整数．解得1a ，q ．可得n a ，n S ，进而判断出结论．
【详解】解：1418a a +=，2312a a +=，31(1)18a q +=，21()12a q q +=，公比q 为整数． 解得12a q ==．
2n
n a ∴=，12(21)
2221
n n n S +-==--．
122n n S +∴+=，∴数列{2}n S +是公比为2的等比数列．
9822510S =-=．
lg lg 2n a n ．数列{lg }n a 是公差为lg 2的等差数列．
综上可得：只有ABC 正确． 故选：ABC ．
10．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的部分图像，则下列
结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图像关于直线12
x π
=
对称
B ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
C ．将函数()f x 图像上所有的点向右平移6
π个单位，得到函数()g x ，则()g x 为奇函数
D ．函数()f x 在区间,412ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
【答案】ACD
【解析】根据函数图象求得()f x 解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】由图象得函数最小值为2-，故2A =，
741234
T πππ=-=，故T π=，22T πω==，
故函数()2sin(2)f x x ϕ=+，
又函数过点7,212π⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 故72sin(2)212πϕ⨯+=-，解得2,3
k k Z π
ϕπ=+∈， 又2
π
ϕ<
，即3
π
ϕ=
，
故()2sin(2)3f x x π
=+，
()f x 对称轴：2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，解得,12
2k x k Z π
π=
+
∈，当0k =时，12
x π
=，故A 选项正确；
()f x 对称中心：2,3
x k k Z π
π+=∈，解得,6
2
k x k Z π
π
=-
+
∈，对称中心为(,0),6
2
k k Z π
π
-
+
∈，故B 选项错误； 函数()f x 图像上所有的点向右平移6
π个单位，得到函数()2sin 2g x x =，为奇函数，故C 选项正确；
()f x 的单调递增区间：2[2,
2],3
2
2
x k k k Z π
π
π
ππ+∈-
++∈，解得
5[,],1212x k k k Z ππππ∈-
++∈，又5[,][,],4121212
k k k Z ππππππ-⊆-++∈，故D 选项正确； 故选：ACD. 11．函数1
()cos (0)2
f x x x x =
+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等差数列 B ．4176
a π
=
C ．20211sin 2
S = D ．()37tan a a +=
【答案】BC
【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】解：1()sin 2
f x x '=-， 令()0f x '=可得26
x k π
π=
+或526
x k π
π=
+，k Z ∈， 易得函数的极值点为26
x k π
π=+或526
x k π
π=
+，k Z ∈， 从小到大为
5,
66ππ
，
136
π
⋯，不是等差数列，A 错误； 4517266
a πππ=
+=，B 正确； 202112202151317202026
6666
S a a a π
πππ
π=++⋯+=
+
+++⋯++⨯， 135175(20202)(20182)666666
ππππππ
ππ=++⋯++⨯+++⋯++⨯， 则根据诱导公式得202151
sin sin
62
S π==，C 正确；
3713tan()tan(6)tan 663
a a πππ
π+=++==D 错误．
故选：BC ．
12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，
，n P （2
n ≥
且*N n ∈）满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP n
π
-∠=∠==∠=∠=
，则下列结论中正确的是（ ） A ．2n =时，
12
11
2PF P F += B ．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9
C ．4n =时，
1
324111
4PF P F P F P F +=++
D ．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8
【答案】BC
【分析】以12PP 为抛物线通径，求得
12
11
PF P F +的值，判断A; 当3n =时,写出焦半径123,,PF P F P F 的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当4
n =时,求出1234,,,PF P F P F P F 的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.
【详解】当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴， 不妨取12(1
2),(12)P P -，， ，则1
21111=+122PF P F +=，故A 错误； 当3n =时，12233123
PFP P FP P FP π
∠=∠=∠=
， 此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1
,(0,)2
PFx π
αα∠=∈, 则1
2||1cos PF α
=- ，则 2222
||,||241cos()1cos()33
P F P F ππαα==-+-+， 故
1
23222
241cos 1cos()1cos()33
PF P F P F ππααα++=++
--+-+
2
1
4(1cos )2211cos (cos )2
ααα+=+-+ ， 令113cos ,(,)222t t α=+∈ ，则123
2
423
32t PF P F P F t t +++=+-， 令2423
32()t t t
f t +=+- ，则2
32382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=-- ， 当
112t <<时，()0f t '> ，()f t 递增，当3
12
t <<时，()0f t '< ，()f t 递减， 故min ()(1)9f t f == ，
故当1t = ，即1cos ,23
π
αα== 时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；
当4n =时，122313442
PFP P FP P FP P FP π
∠=∠=∠=∠=
，
此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1
,(0,)2
PFx π
θθ∠=∈, 则1
2342222
||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====
--+-+-+， 即234222
||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ
=
==++-，
故1
32224
1cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，
242224
1sin 1sin cos P F P F θθθ
+=+-+=，
所以
13224
2sin cos 1
44141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确； 由C 的分析可知：234221
22244416
sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ
++===++， 当2sin 21θ= 时，
216
sin 2θ
取到最小值16，
即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；
故选：BC
【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径||1cos p
PF α
=
-的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.
三、填空题
13
．二项式62
)x
展开式中的常数项为__________.
【答案】60
【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求得答案. 【详解】
由题意可得：336216
62()(2),0,1,2,,6r r r
r r r
r T C C x r x
--+=-=-= ，
令330,22
r
r -
== ， 故常数项为22
6(2)60C -= ，
故答案为：60
14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()
CB CA AD -⋅=______. 【答案】
144
25
【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得3412
55
AD ⨯=
=，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()
2
144
25
CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==. 故答案为：
144
25
【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题. 15．已知抛物线24y x =焦点为F ，过点F 斜率为3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点
A 在第一象限）
，与该抛物线的准线交于点C ，则CB AB
=______．
【答案】1
2
【分析】由题意可得(1,0)F ,则可求出直线l 的方程,将之与抛物线方程联立,求出,A B 点的坐标,进而求出,AB BC ,即可得出答案.
【详解】由题意可得(1,0)F ,抛物线准线方程为1x =-, 则直线l 的方程为:33y x =-,(1,23)C --
联立2334y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,解得323x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或13233x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩, 即(3A ,23),1
(3
B ,23
)3
-
, 所以8||3
BC =,16
||3AB =,则
8
||1316||23
CB AB ==, 故答案为:1
2.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质,难度不大. 16．如图，长方形ABCD 中，15
2
AB =
，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将△ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若2
π
αβ+=
，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为______．
【答案】
1
4
0.25 【分析】过A 作AF DE ⊥于F ，设AF a =，则表示出,AE ED 和四棱锥A BCDE '-的高，从而可表示出四棱锥A BCDE '-的体积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值
【详解】过A 作AF DE ⊥于F ，设AF a =，则tan AE α=，15
0tan 2
α<<
，1cos DE α=，
sin a α=，
则四棱锥A BCDE '-的高sin sin sin sin cos 2h a πβαααα⎛⎫
=⋅=⋅-= ⎪⎝⎭，
则111515tan 1sin cos 3222A BCDE V ααα'-⎛⎫
=⨯⨯-+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ (
)
(
)
(
)
2111115tan sin cos 15sin cos sin 15sin 2cos 26
6
12
12
αααααααα=-⨯=
-=
+-
()1151111
sin 2cos 2sin 234412312αααϕ⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭，15tan 5ϕ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴四棱锥A BCDE '-体积的最大值为1113124
-=．
故答案为：1
4
四、解答题
17．从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的
概率均为4
5，每个男同学通过测验的概率均为35，求：
(1)选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率；
(2)10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 【答案】(1)5
6
；
(2)
4125
【分析】（1）先计算对立事件没有男同学的概率，再得出至少一个男同学的概率； （2）先计算甲、乙被选中的概率，再集合相互独立事件计算选中且通过测验的概率. 【详解】(1)记选出的同学中至少有一个男同学为事件A ，则
()()
363105
116
C P A P A C =-=-=；
(2)甲、乙被选中且通过测验的概率18310434
55125
C P C =⨯⨯=.
18．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，26AB =，
6CD =，6
cos 3
A =，
1cos 3ADB ∠=.
（1）求cos BDC ∠； （2）求BC 的长. 【答案】（16
（211【分析】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得
cos cos BDC ABD ∠=∠的值；
（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得BC 的长.
【详解】（1）因为6
cos A =，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，
所以，23sin 1cos A A =-，222
sin 1cos ADB ADB ∠=-∠ ()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADB π∠=--∠=-+∠=∠-∠
3226163=
=
， //AB CD ，则BDC ABD ∠=∠，因此，6cos cos BDC ABD ∠=∠=
（2）在ABD △中，由正弦定理可得
sin sin AB BD
ADB A
=∠，
可得3
26sin 33sin 22
AB A
BD ADB
=
=
=∠，
在BCD △中，由余弦定理可得
2226
2cos 9623611BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=， 因此，11BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使
用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足*(2)1()n n n a S a n -=∈N .
(1)求证：数列{}2
n S 是等差数列，并求出n S 的表达式；
(2)数列{}n a 中是否存在连续三项k a ，1k a +，2k a +，使得1k a ，11k a +，2
1k a +构成等差数列？请说明理由.
【答案】(1)
证明见解析，=n S ； (2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”建立n S 与1n S -的关系即可推理作答.
（2）由（1）求出n a ，利用反证法导出矛盾，推理作答.
【详解】(1)依题意，正项数列{}n a 中，2
11a =，即11a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即
[]11()2()1n n n n n S S S S S -----=，
整理得22
11n n S S --=，又22111S a ==，因此，数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数
列，
则2
n S n =，因为{}n a 是正项数列，即0n S >，
所以n S (2)不存在，
当2n ≥
时，1-=-n n n a S S 11a =，即*N n ∀∈
，都有=n a
则1n
a ==
假设存在满足要求的连续三项12,,k k k a a a ++，使得
12
111,,k k k a a a ++构成等差数列，
则=
=
两边同时平方，得12112212k k k k k k k k ++++=-+++-+，即
(1)(1)(2)k k k k +=-+，
整理得：222k k k k +=+-，即02=-，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列{}n a 中不存在满足要求的连续三项.
20．如图，在四棱锥E -ABCD 中，//AB CD ，1
2
AD CD BC AB ===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．
(1)求证：//MN 平面ABE ；
(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时，求二面角N -AE -B 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 755
【分析】（1）取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ，证得//MF DC ，得到//MF AB ，利用线面平行的判定定理得到MF ∥平面ABE ，同理得到//NF 平面ABE ，证得平面//MNF 平面ABE ，进而得到//MN 平面ABE .
（2）过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，证得EO ⊥平面ABCD ，取CD 的中点G ，连接OG ，以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AEN 和平面ABE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】(1)证明：如图所示，取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ， 因为M ，F 分别为ED 和EC 的中点，所以//MF DC ， 因为//AB DC ，所以//MF AB ， 因为AB
平面ABE ，MF ⊄平面ABE ，所以MF ∥平面ABE ，
同理可得//NF 平面ABE ， 因为MF
NF F =，MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF ，
所以平面//MNF 平面ABE ，
因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面ABE .
(2)解：如图所示，过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，
因为平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EO ⊂平面ABE ， 所以EO ⊥平面ABCD ，故EO 为四棱锥E -ABCD 的高，
要使四棱锥E -ABCD 体积最大，则E 为弧AEB 的中点，所以O 与AB 的中点， 取CD 的中点G ，连接OG ，因为//AB CD ，1
2
AD DC CD AB ===
，所以OG AB ⊥， 因为EO ⊥平面ABCD ，所以EO AB ⊥，EO OG ⊥，所以EO ，AB ，OG 两两垂直， 以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系， 设1
2
AD DC CD AB a ===
=，所以2AE EB a =， 可得()0,,0A a -，(),0,0E a ，330,4N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(),,0AE a a =，730,4AN a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面AEN 的一个法向量(),,n x y z =，则00AE n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得0
73
04
ax ay ay +=⎧⎪
⎨=⎪
⎩， 令1x =，则平面AEN 的一个法向量为731,n ⎛=- ⎝⎭
， 平面ABE 的一个法向量为()0,0,1m =，则73
755
3cos ,553
m n m n m n
⋅<>===
由图可知二面角N AE B --的平面角为锐角， 所以二成角N AE B --755
21．已知函数2()(2)ln ()f x a x ax x a R =++-∈． （Ⅰ）当0a =时，求证：2
()22
x f x x >-．
（Ⅱ）设2
3
2()3
g x x x =-
，若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x 成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1a -.
【分析】（1）将0a =代入，只需证明()2202
x
f x x -+
>成立即可，然后构造函数，利用导数讨论单调区间及最小值，利用最值证明即可；
（2）若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x 成立，只需使()()min 1min 2f x g x 在
1(0,1]x ∈，2[0,1]x ∈上恒成立，然后分别讨论函数()f x 与()g x 的最小值，利用最值分析求解.
【详解】解：（Ⅰ）当0a =时，要证2
22()22ln 2022
x x
f x x x x x -+
=--+≥，只需证ln 02
x
x -
<， 令()ln (0)2x h x x x =->，则112()22x
h x x x
-'=-=
当(0,2)x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增； 当(2,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '<单调递减； 所以max ()(2)ln 210h x h ==-<，()(2)0h x h ≤< 故ln 02x x -
<，所以2()22
x f x x >-． （Ⅱ）问题等价于1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，()()12min min f x g x
由2
3
2()3
g x x x =-
得2()22g x x x '=-，
由2()220g x x x '=-得01x ，
所以在[0,1]上，()g x 是增函数，故min ()(0)0g x g ==．()f x 定义域为(0,)+∞，
而()()()()()2
2121221122x a x a x ax f x a x a x x x
⎡⎤++-++-⎣⎦=++-=='． 当2a -时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,1]上是减函数， 所以min ()(1)2(1)01f x f a a ==+⇒-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102
x a <<
+；由()0f x '>，得1
2x a >+，
所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
单调递减． 若
1
12
a >+，即21a -<<-时，()f x 在(0,1]是减函数， 所以min ()(1)2(1)01f x f a a ==+⇒-，不成立； 若1
012
a <
+，即1a -时，()f x 在12x a =+处取得最小值，
min 11()1ln(2)22f x f a a a ⎛⎫
==++-
⎪++⎝⎭
， 令1
()1ln(2)(1)2
h a a a a =++-
-+， 则22
113
()02(2)(2)
a h a a a a +'=+=>+++在[1,)-+∞上恒成立， 所以()h a 在[1,)-+∞是增函数且min ()(1)0h a h =-=， 此时min 1()02f x f a ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
成立，满足条件．
综上所述，1a -．
【点睛】本题考查导数与不等式的证明，考查导数与双变量问题，难度较大,考查学生分析问题处理问题的能力.导数与不等式的证明，一般需要构造函数，通过证明函数的最值满足条件从而得出结论,双变量问题多用函数的最值来比较.
22．已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．
【答案】（1）22
182
x y +=；（2）存在；答案见解析．
【分析】（1）利用=c ，椭圆经过点()2,1P -列出方程，解出a,b,c 即可.
（2）设出直线AB 方程为x my l =+，联立椭圆方程解出点M ，N 的坐标，题中OM NO =可得l 与m 关系式(2)(2)0l m l m -++=，求出直线AB 过定点(0,2)D -，结合图形特点得PD 中点R 满足QR 为定值，即可求出定值及点R 坐标. 【详解】（1
）由题意可知=c ，又椭圆经过点()2,1P -知22
41
+=1a b 解得2
2
8,2a b ==，所以22
182
x y +
=； （2）设直线AB 方程x my l =+, 与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y
22
2221(4)2808
2x y m y mly l x my l ⎧+
=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩
，0∆>得2228m l +> 12224ml y y m +=-+ ,21228
4
l y y m -=+
直线111:1(2)2y PA y x x --=
++，即111
1(2)2y y x my l --=+++ 因此M 坐标为1122(0,1)2
y my l -+
++，同理可知2222
(0,1)2y N my l -+
++ 由OM NO =知：
12122222
11022
y y my l my l --+++=++++ 化简整理得22
1212(2)(2)(+)20m m y y ml m l y y l l +++++++=
则22
22282(2)()(2)()2044
l ml
m m ml m l l l m m -+++++-++=++
整理：(2)(2)0l m l m -++=
若20l m ++=则直线:2AB x my m =-+，过点P 不符合题意 若20l m -=则直线():22AB x my m m y =+=+符合题意 直线AB 过点(0,2)D -
于是PD 为定值且PQD △为直角三角形且PD 为斜边 所以PD 中点R 满足QR 为定值
12QR PD =
==
此时点R 的坐标为1
(1,)2--.
【点睛】（1）注意题目条件的利用，解方程的准确性;
（2）根据直线AB 的特点来确定PD 为定值，以及PD 的中点R 满足题目要求，要注意应用图形的几何特征.。