第三章-章末总结 2025年高考数学知识点题型及考项复习
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果不等式 ≥ 2 − − 的解集中有且仅有1个整数，那么实数
的取值范围是( B
)
A.{| − 2 < < −1}
B.{| − 2 ≤ < −1}
C.{| − 2 ≤ < 2}
D.{| ≥ −2}
2 + 2, ≤ 0,
【解析】根据题意可知 = ቊ
− + 2, > 0,
所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，
则−2 ≤ < −1，
即的取值范围是{| − 2 ≤ < −1}．
类型二 与复合函数结合
例6 ［多选题］(2024·重庆市松树桥中学期中)定义域和值域均为[−, ]（常数 > 0）
的函数 = 和 = 的图象如图3-6所示，则下列命题中正确的是 ( AD
对于B，由
= 0可得 = 4 ，又由图3-6可知4 > 2 ，结合 的图象可
知有且仅有一个0 使得 0 = 4 ，从而方程
对于C，由
= 0有且仅有一个解，故B不正确.
= 0可得 = = 1,2,3 .对 = 1 ，因为1 < 1 ，所以方
令 =
2
;
2 +4 +1
2 +4
=
2
+4+
+ 4,则 ≥ 2,且 =
1
1
,
2 +4
1
+ .
1
2
5
2
5 +∞)上单调递增,则 ≥ 2 + = .故所求函数的值域为[ , +∞).
（2） =
2 ++2
≥2 .
【解析】原函数可化为 =
20 1 − + = 21 1 − + ①,20 1 + + = 21 1 + + ②,
①②两式左右两边分别相加，得40 + 40 = 42 + 42,即20 = 1 + 21;
①②两式左右两边分别相减，得−40 = −42,即20 = 21.
另由 6 = 35,得36 + 6 + = 35.
程 = 1 仅有一个解；对 = 2 ，因为0 > 2 > 1 ，所以方程 = 2 有三
个解；对 = 3 ，因为3 > 2 ，所以方程 = 3 仅有一个解.综上可得,方程
= 0有且仅有五个解，故C不正确.
对于D，由
= 0可得 = 4 ，因为 单调递减，所以方程 = 4 仅
所以36 + 6 ×
20
21
20−1
+
21
= 35,即6 + = −1.
所以 6 = 36 + 6 + = 35.
方法2设ℎ = 21 − 20 ,则由条件知ℎ 是二次项系数为1的二次函数.
又ℎ −1 = 21 −1 − 20 −1 = 0,ℎ 1 = 21 1 − 21 1 = 0,
则由 ≥ 2得 2 + 2 + − 2 + 2 ≥ 0,
所以 > 0且 2 + − 2
由 ≤
2 +4
得
2
2
− 8 ≤ 0,整理后即为42 + 2 ≤ 4 + 8 + 4 − 4 ①;
2 − 1 2 + 4 + 2 + 4 − 4 ≤ 0,
1
3
1
3
而 0 = ，则有 1 = ，
再令 = 2，有2
可得
1
3
2 = ．
2 + 1 = 1，
例10 (2022·北京大学强基计划)已知 是二次函数， −2 = 0，且
2 ≤ ≤
2 +4
，则
2
36
10 =____.
【解析】由 −2 = 0,可设 = + 2 + = 2 + 2 + + 2 ≠ 0 .
例3 画出函数 =
【解析】 =
3−2
−3
3−2
的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[−1,2]上的值域.
−3
=
6−2 −3
−3
= −2 −
3
.
−3
图3-2
设 =
=
=
−3
，则
=
3−2
−3
= − 3 − 2,根据图象的平移变换规律知，将函数
−3
的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得函数
2
的值为__．
【解析】对任意实数,均有2 + 2 − 1 = 1，
令 = 0可得2 0 + −1 = 1，
令 = −1可得2 −1 + 0 = 1，
1
3
联立可得： 0 = −1 = .
对于2 + 2 − 1 = 1，
令 = 1，有2 1 + 0 = 1，
2025年高考数学一轮基础知识复习
第三章 函数
章末总结
专题1 几个重要函数的相关问题
例1 已知函数 = 2 − 2 + 2 + > 0 在区间[2,3]上的值域为[2,5].
（1）求,的值；
【解析】∵ = − 1
2
+ 2 + − ,且 > 0,∴ 函数 的图象开口向上且对称
由①②相加即得42 + 2 ≤ 4,
即 2 −
2
≤ 0,所以2 = ,
所以 = + 2 + 2 = + 2 2 .
又在原不等式中令 = 2可得4 ≤ 2 ≤ 4,所以 2 = 4，由此解得 =
所以 =
1
4
+ 2 2 , 10 = 36.
是奇函数.
2 + , < 0
（1）求实数的值；
【解析】设 < 0，则− > 0，
∴ − = − −
2
+ 2 − = − 2 − 2.
∵ 是奇函数，即 − = − ,
∴ 当 < 0时， = 2 + 2 = 2 + ,∴ = 2.
值为1 ，在 1 , 2 上的最大值为2 .
对于A，由
= 0可得 = = 1,2,3 ，即求 = ( = 1,2,3)的解的个
数，由 的图象可知，存在三个 = 1,2,3 使得 = = 1,2,3 ,从而方程
= 0有且仅有三个解,故A正确.
1
，
2
+ +1
2
∵ 函数 = + 在[ 2, +∞)上单调递增，
∴ =
2
+ 在[2, +∞)上单调递增.∴
1
4
故所求函数的值域为(0, ].
2
2
≥ 2 + = 3,∴ =
1
2
++1
≤
1
,且
4
> 0.
专题2 函数图象背景下的零点问题
类型一 与分段函数结合
例5 如图3-4，函数 的图象为两条射线，组成的折线，如
3−2
的图象，如图
−3
3-2所示.
由图象知，函数的单调递增区间是 −∞, 3 和 3, +∞ .由于函数在[−1,2]上单调递增，
5
4
5
4
且当 = −1时， = − ,当 = 2时， = 1,故所求值域是[− , 1].
例4 求下列函数的值域：
（1） =
2 +5
2 +4
【解析】 =
C.方程
= 0有且仅有5个根
D.方程
= 0有且仅有4个根
【解析】当 ∈ [−2, −1]时， ∈ [−2,2], 有且仅有3个零点；当 ∈
(−1,2]时， ∈ [−2,2), 有且仅有3个零点，所以方程
6个根.同样的方法可得方程
（2）若函数 在区间[−1, − 2]上单调递增，求实数的取值范围;
【解析】函数 的大致图象如图3-1所示，要使 在[−1, − 2]上单调递增，结
− 2 > −1,
合 的图象知ቊ
解得1 < ≤ 3.
− 2 ≤ 1,
图3-1
故实数的取值范围是(1,3].
有一个解，即方程
= 0有且仅有一个解，故D正确.
例7 ［多选题］(2024·湖北省武汉市期末)已知定义在[−2,2]上的函数 = 和
= 的图象如图3-7, 则下列四个命题正确的是( ACD
)
图3-7
A.方程
= 0有且仅有6个根
B.方程
= 0有且仅有3个根
不等式 ≥ 2 − − 等价于 ≥ 2 − − ，
2 − 3 − 2, ≤ 0,
令 = − − = ቊ 2
− 2, > 0,
2
图3-4
可得 的大致图象，如图3-5所示，
图3-5
又 0 = −2， 1 = −1， −1 = 2，
1
.
4
例11 (2021·全国高中数学联赛福建赛区预赛)已知 和 是两个二次项系数均为
1的二次函数.若 6 =
−1
35,
−1
=
1
1
=
21
,则
20
35
6 =____.
【解析】方法1设 = 2 + + ,即 = 2 + + ,则由题设条件可得
【解析】 2 + 4 = + 2 =
= + 4.
+2
2
= 2 + 4 + 4,令 = 2 + 4,则
命题点2 求函数值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知 是定义在上的函数，且对任意
实数,均有2 + 2 − 1 = 1，则
− −
（3）求不等式
< 0的解集.
− −
+
【解析】不等式
< 0等价于
< 0，即2 < 0.
若 > 0，则需 < 0，由图3-1可知 > 2；
若 < 0，则需 > 0，由图3-1可知 < −2.
综上所述，不等式的解集为 −∞, −2 ∪ 2, +∞ ．
= 0有且仅有4个根.同样的方法可得方程
= 0有且仅有5个根.故B错误，C正确.
命题点1 求解函数解析式
例8 (2021·上海市数学竞赛)设函数 的定义域为[−4, +∞),且满足对任意实数，都
+
有( 2 + 4) = + 2 ,则 的解析式是 =________.
= 0有且仅有
= 0有且仅有4个根.故A，D正确.
当 ∈ [−2, −1]时, ∈ [−2,1]， 有且仅有2个零点；当 ∈ (−1,1]时,
∈ [−1,1)， 有且仅有1个零点；当 ∈ (1,2]时, ∈ (−1,2]， 有
且仅有1个零点，所以方程
图3-6
A.方程
= 0有且仅有三个解
B.方程
= 0有且仅有三个解
C.方程
= 0有且仅有九个解
D.方程
= 0有且仅有一个解
)
【解析】由图3-6可知，函数 有三个零点,设这三个零点分别为1 ,2 ,3 ，且
1 < 2 < 3 ,函数 有一个零点，设该零点为4 ,并设函数 在 2 , 3 上的最小
轴为直线 = 1. ∴ 函数 在[2,3]上单调递增.
2 = 2, 2 + = 2,
= 1,
∴ቊ
即ቊ
解得ቊ
3 = 5, 3 + 2 + = 5,
= 0.
（2）若关于的函数 = − + 1 在区间[2,4]上为单调函数，求实数的
取值范围.
【解析】由（1）知 = 1, = 0,∴ = 2 − 2 + 2,∴ = 2 − ( + 3) + 2,∴
1
2
若2 − 1 = 0即 = ,则必有4 + 2 = 0且4 − 4 ≤ 0,即 = −1,此时与
2 + − 2
2
− 8 ≤ 0矛盾，
所以2 − 1 < 0且 4 + 2
2
− 4 2 − 1 4 − 4 ≤ 0,
整理后为42 + 2 ≤ 4 − 8 − 4 + 4 ②.
所以ℎ = + 1 − 1 = 2 − 1.
函数 的图象开口向上，且对称轴为直线 =
①若
+3
.
2
+3
在[2,4]上单调递增，则
2
≤ 2,解得 ≤ 1;
+3
2
≥ 4,解得 ≥ 5.
②若 在[2,4]上单调递减，则
故实数的取值范围是{| ≥ 5或 ≤ 1}.
− 2 + 2, > 0,
例2 (2024·广东省珠海四中期中)已知函数 = ൞0, = 0,
的取值范围是( B
)
A.{| − 2 < < −1}
B.{| − 2 ≤ < −1}
C.{| − 2 ≤ < 2}
D.{| ≥ −2}
2 + 2, ≤ 0,
【解析】根据题意可知 = ቊ
− + 2, > 0,
所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，
则−2 ≤ < −1，
即的取值范围是{| − 2 ≤ < −1}．
类型二 与复合函数结合
例6 ［多选题］(2024·重庆市松树桥中学期中)定义域和值域均为[−, ]（常数 > 0）
的函数 = 和 = 的图象如图3-6所示，则下列命题中正确的是 ( AD
对于B，由
= 0可得 = 4 ，又由图3-6可知4 > 2 ，结合 的图象可
知有且仅有一个0 使得 0 = 4 ，从而方程
对于C，由
= 0有且仅有一个解，故B不正确.
= 0可得 = = 1,2,3 .对 = 1 ，因为1 < 1 ，所以方
令 =
2
;
2 +4 +1
2 +4
=
2
+4+
+ 4,则 ≥ 2,且 =
1
1
,
2 +4
1
+ .
1
2
5
2
5 +∞)上单调递增,则 ≥ 2 + = .故所求函数的值域为[ , +∞).
（2） =
2 ++2
≥2 .
【解析】原函数可化为 =
20 1 − + = 21 1 − + ①,20 1 + + = 21 1 + + ②,
①②两式左右两边分别相加，得40 + 40 = 42 + 42,即20 = 1 + 21;
①②两式左右两边分别相减，得−40 = −42,即20 = 21.
另由 6 = 35,得36 + 6 + = 35.
程 = 1 仅有一个解；对 = 2 ，因为0 > 2 > 1 ，所以方程 = 2 有三
个解；对 = 3 ，因为3 > 2 ，所以方程 = 3 仅有一个解.综上可得,方程
= 0有且仅有五个解，故C不正确.
对于D，由
= 0可得 = 4 ，因为 单调递减，所以方程 = 4 仅
所以36 + 6 ×
20
21
20−1
+
21
= 35,即6 + = −1.
所以 6 = 36 + 6 + = 35.
方法2设ℎ = 21 − 20 ,则由条件知ℎ 是二次项系数为1的二次函数.
又ℎ −1 = 21 −1 − 20 −1 = 0,ℎ 1 = 21 1 − 21 1 = 0,
则由 ≥ 2得 2 + 2 + − 2 + 2 ≥ 0,
所以 > 0且 2 + − 2
由 ≤
2 +4
得
2
2
− 8 ≤ 0,整理后即为42 + 2 ≤ 4 + 8 + 4 − 4 ①;
2 − 1 2 + 4 + 2 + 4 − 4 ≤ 0,
1
3
1
3
而 0 = ，则有 1 = ，
再令 = 2，有2
可得
1
3
2 = ．
2 + 1 = 1，
例10 (2022·北京大学强基计划)已知 是二次函数， −2 = 0，且
2 ≤ ≤
2 +4
，则
2
36
10 =____.
【解析】由 −2 = 0,可设 = + 2 + = 2 + 2 + + 2 ≠ 0 .
例3 画出函数 =
【解析】 =
3−2
−3
3−2
的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[−1,2]上的值域.
−3
=
6−2 −3
−3
= −2 −
3
.
−3
图3-2
设 =
=
=
−3
，则
=
3−2
−3
= − 3 − 2,根据图象的平移变换规律知，将函数
−3
的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得函数
2
的值为__．
【解析】对任意实数,均有2 + 2 − 1 = 1，
令 = 0可得2 0 + −1 = 1，
令 = −1可得2 −1 + 0 = 1，
1
3
联立可得： 0 = −1 = .
对于2 + 2 − 1 = 1，
令 = 1，有2 1 + 0 = 1，
2025年高考数学一轮基础知识复习
第三章 函数
章末总结
专题1 几个重要函数的相关问题
例1 已知函数 = 2 − 2 + 2 + > 0 在区间[2,3]上的值域为[2,5].
（1）求,的值；
【解析】∵ = − 1
2
+ 2 + − ,且 > 0,∴ 函数 的图象开口向上且对称
由①②相加即得42 + 2 ≤ 4,
即 2 −
2
≤ 0,所以2 = ,
所以 = + 2 + 2 = + 2 2 .
又在原不等式中令 = 2可得4 ≤ 2 ≤ 4,所以 2 = 4，由此解得 =
所以 =
1
4
+ 2 2 , 10 = 36.
是奇函数.
2 + , < 0
（1）求实数的值；
【解析】设 < 0，则− > 0，
∴ − = − −
2
+ 2 − = − 2 − 2.
∵ 是奇函数，即 − = − ,
∴ 当 < 0时， = 2 + 2 = 2 + ,∴ = 2.
值为1 ，在 1 , 2 上的最大值为2 .
对于A，由
= 0可得 = = 1,2,3 ，即求 = ( = 1,2,3)的解的个
数，由 的图象可知，存在三个 = 1,2,3 使得 = = 1,2,3 ,从而方程
= 0有且仅有三个解,故A正确.
1
，
2
+ +1
2
∵ 函数 = + 在[ 2, +∞)上单调递增，
∴ =
2
+ 在[2, +∞)上单调递增.∴
1
4
故所求函数的值域为(0, ].
2
2
≥ 2 + = 3,∴ =
1
2
++1
≤
1
,且
4
> 0.
专题2 函数图象背景下的零点问题
类型一 与分段函数结合
例5 如图3-4，函数 的图象为两条射线，组成的折线，如
3−2
的图象，如图
−3
3-2所示.
由图象知，函数的单调递增区间是 −∞, 3 和 3, +∞ .由于函数在[−1,2]上单调递增，
5
4
5
4
且当 = −1时， = − ,当 = 2时， = 1,故所求值域是[− , 1].
例4 求下列函数的值域：
（1） =
2 +5
2 +4
【解析】 =
C.方程
= 0有且仅有5个根
D.方程
= 0有且仅有4个根
【解析】当 ∈ [−2, −1]时， ∈ [−2,2], 有且仅有3个零点；当 ∈
(−1,2]时， ∈ [−2,2), 有且仅有3个零点，所以方程
6个根.同样的方法可得方程
（2）若函数 在区间[−1, − 2]上单调递增，求实数的取值范围;
【解析】函数 的大致图象如图3-1所示，要使 在[−1, − 2]上单调递增，结
− 2 > −1,
合 的图象知ቊ
解得1 < ≤ 3.
− 2 ≤ 1,
图3-1
故实数的取值范围是(1,3].
有一个解，即方程
= 0有且仅有一个解，故D正确.
例7 ［多选题］(2024·湖北省武汉市期末)已知定义在[−2,2]上的函数 = 和
= 的图象如图3-7, 则下列四个命题正确的是( ACD
)
图3-7
A.方程
= 0有且仅有6个根
B.方程
= 0有且仅有3个根
不等式 ≥ 2 − − 等价于 ≥ 2 − − ，
2 − 3 − 2, ≤ 0,
令 = − − = ቊ 2
− 2, > 0,
2
图3-4
可得 的大致图象，如图3-5所示，
图3-5
又 0 = −2， 1 = −1， −1 = 2，
1
.
4
例11 (2021·全国高中数学联赛福建赛区预赛)已知 和 是两个二次项系数均为
1的二次函数.若 6 =
−1
35,
−1
=
1
1
=
21
,则
20
35
6 =____.
【解析】方法1设 = 2 + + ,即 = 2 + + ,则由题设条件可得
【解析】 2 + 4 = + 2 =
= + 4.
+2
2
= 2 + 4 + 4,令 = 2 + 4,则
命题点2 求函数值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知 是定义在上的函数，且对任意
实数,均有2 + 2 − 1 = 1，则
− −
（3）求不等式
< 0的解集.
− −
+
【解析】不等式
< 0等价于
< 0，即2 < 0.
若 > 0，则需 < 0，由图3-1可知 > 2；
若 < 0，则需 > 0，由图3-1可知 < −2.
综上所述，不等式的解集为 −∞, −2 ∪ 2, +∞ ．
= 0有且仅有4个根.同样的方法可得方程
= 0有且仅有5个根.故B错误，C正确.
命题点1 求解函数解析式
例8 (2021·上海市数学竞赛)设函数 的定义域为[−4, +∞),且满足对任意实数，都
+
有( 2 + 4) = + 2 ,则 的解析式是 =________.
= 0有且仅有
= 0有且仅有4个根.故A，D正确.
当 ∈ [−2, −1]时, ∈ [−2,1]， 有且仅有2个零点；当 ∈ (−1,1]时,
∈ [−1,1)， 有且仅有1个零点；当 ∈ (1,2]时, ∈ (−1,2]， 有
且仅有1个零点，所以方程
图3-6
A.方程
= 0有且仅有三个解
B.方程
= 0有且仅有三个解
C.方程
= 0有且仅有九个解
D.方程
= 0有且仅有一个解
)
【解析】由图3-6可知，函数 有三个零点,设这三个零点分别为1 ,2 ,3 ，且
1 < 2 < 3 ,函数 有一个零点，设该零点为4 ,并设函数 在 2 , 3 上的最小
轴为直线 = 1. ∴ 函数 在[2,3]上单调递增.
2 = 2, 2 + = 2,
= 1,
∴ቊ
即ቊ
解得ቊ
3 = 5, 3 + 2 + = 5,
= 0.
（2）若关于的函数 = − + 1 在区间[2,4]上为单调函数，求实数的
取值范围.
【解析】由（1）知 = 1, = 0,∴ = 2 − 2 + 2,∴ = 2 − ( + 3) + 2,∴
1
2
若2 − 1 = 0即 = ,则必有4 + 2 = 0且4 − 4 ≤ 0,即 = −1,此时与
2 + − 2
2
− 8 ≤ 0矛盾，
所以2 − 1 < 0且 4 + 2
2
− 4 2 − 1 4 − 4 ≤ 0,
整理后为42 + 2 ≤ 4 − 8 − 4 + 4 ②.
所以ℎ = + 1 − 1 = 2 − 1.
函数 的图象开口向上，且对称轴为直线 =
①若
+3
.
2
+3
在[2,4]上单调递增，则
2
≤ 2,解得 ≤ 1;
+3
2
≥ 4,解得 ≥ 5.
②若 在[2,4]上单调递减，则
故实数的取值范围是{| ≥ 5或 ≤ 1}.
− 2 + 2, > 0,
例2 (2024·广东省珠海四中期中)已知函数 = ൞0, = 0,