2022年强化训练沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形同步训练试题(含详解)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．
D ．
2、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）
A ．3
2 B C D 3、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于D ，38C ∠=︒，点E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合），则AED ∠的大小是（ ）
A ．19°
B ．38°
C ．52°
D ．76°
4、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（ ）
A ．12
B
C
D ．2
3
5、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点．
（2）作直线GH 交AB 于点E ．
（3）在直线GH 上截取EF AE =．
（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．
则下列说法错误的是（ ）
A ．AE BE =
B ．GH CD ∥
C ．AB =
D ．45APB ∠=︒
6、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（
）
A ．124°
B ．118°
C ．112°
D ．62°
7、下列说法正确的是（ ）
A ．等弧所对的圆周角相等
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．相等的圆心角所对的弧相等
D ．过弦的中点的直线必过圆心
8、如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE 的一点，则∠CPD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．36°
C ．45°
D ．72°
9、下列叙述正确的有( )个.
（1）y y =随着x 的增大而增大； （2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；
（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以2211(1)22
m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
10、如图，菱形ABCD 中，60C ∠=°，2AB =．以A 为圆心，AB 长为半径画BD ，点P 为菱形内一点，连PA ，PB ，PD ．若PA PB =，且120APB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
3y π= B ．23y π= C ．23y π= D ．2
3y π=
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
2、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________
∠+∠=________．
4、如图，点A、B、C、D、E在O上，且弧AB为50︒，则E C
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∠CAD
∴∠BAC＝1
2
∵点D，P在⊙A上，
∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝1
2
∴∠APC＝∠BAC
2、如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝DE
DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
3、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延
长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．
4、如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB 上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝1
3
时，请直接写出
CE
BE
的值．
5、如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接CD ，如图所示：
∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2
CD BD AB ===， ∵CD BC =，
∴5cm CD BD BC ===，
在Rt△ACB 中，由勾股定理可得
AC =；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
2、B
【分析】
连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由
OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12
AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．
【详解】
如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，
∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，
∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，
∴2120AOB C ∠=∠=︒，
∵OA OB =，
∴AOB 是等腰三角形， ∴1602
∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，
∴12OD =，AD ==
∴2AB AD ==
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
3、B
【分析】
连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解
905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接,BD AB 为O 的直径，
90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒
38,C ∠=︒
903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，
90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒
38,AED ABD ∴∠=∠=︒
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
4、B
【分析】
利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得
tan ∠ACD =
AD CD =. 【详解】
解：如图， ∵CD AB ∥，
∴∠BAC =∠DCA ．
∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD = 225,CD
AC AD
在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =
AD CD
∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ． 故选B ．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．
5、C
【分析】
连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，
∴AE BE =，故A 正确；
∵CD 是ABC 的高，
∴GH CD ∥，故B 正确；
∵EF AE =，AE BE =，
∴2AB EF =，故C 错误；
∵EF AE =，
∴∠AFE =45°，
同理可得∠BFE =45°，
∴∠AFB ＝90°，
1452
APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
6、B
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC =12∠ABC =25°，∠OCB =1
2∠ACB =37°，然后根据三角形内角和计算
∠BOC的度数．
【详解】
解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=1
2∠ABC=1
2
×50°=25°，∠OCB=1
2
∠ACB=1
2
×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
7、A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
8、B
【分析】
连接OC ，OD ．求出∠COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC ，OD ．
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠COD ＝3605
︒
＝72°， ∴∠CPD ＝1
2∠COD ＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭
∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭
∴以2211(1)22
m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
10、C
【分析】
过点P 作PM AB ⊥交于点M ，由菱形ABCD 得60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，由PA PB =，120APB ∠=︒得112AM AB ==，1602
APM APB ∠=∠=︒，故可得30PAM ∠=︒，
603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，根据SAS 证明ABP ADP ≅，求出PM =
ABP ADP ABD S S S S =--阴扇形．
【详解】
如图，过点P 作PM AB ⊥交于点M ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，
∵PA PB =，120APB ∠=︒， ∴112AM AB ==，1602
APM APB ∠=∠=︒， ∴30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
在ABP △与ADP △中，
AB AD PAB PAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABP ADP SAS ≅，
∴ABP ADP S S =△△，
在Rt AMP △中，30PAM ∠=︒，
∴2AP PM =，
222AP PM AM =+，即2241PM PM =+，
解得：PM =
∴260211
222360223ABP ADP
ABD S S S S ππ⋅=--=-⨯⨯=阴扇形
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
二、填空题
1、3π
【分析】
根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：扇形的面积为
2
1203
3
360
π
π
⨯⨯
=．
故答案为：3π【点睛】
本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于
2
360
n rπ
（其中n为圆心角，r为半径）是
解题的关键．
2、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA，
∵半径为5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
3、
【分析】
1
2
2
S l r rl
=⋅=
ππ即可得出圆锥侧面积为
．
【详解】
∵ABC是一个圆锥在某平面上的正投影
∴ABC为等腰三角形
∵AD⊥BC
∴
1
2
2
CD BD BC
===
在Rt ADC中有A C=
即
AC
由圆锥侧面积公式有2
S rl
==⨯=
ππ．
故答案为：。

【点睛】
本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，圆锥的侧面积为122S l r rl =⋅=ππ．
4、155︒
【分析】
先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB 对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠．
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ ，
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：
112E ∠=∠ ,122
C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=
∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故答案为：155︒．
【点睛】
本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
5、（2，1）
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∠CAD
∴∠BAC＝1
2
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝1
∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）
2
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】
本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
2、（1）；（2）2 ；（3）
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEF，则AE=DF，由AD是圆O的直径，得到∠AED=90°，则
DF AE
===；
1
（2）连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，由题意可知H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，如图所示，当H运动到H'的位置时，即此时H'，B，K三点共线，BH有最大值BH'，由此求解即可；
（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，先证四边形BCHN是平行四边形，得到HT=BN，再证△AME∽△BNE，得到BN=4AM，即可推出CH-4AM=CH-HT=CT，又由CT BC
≤即可得到当直线l与直线BC垂直时，=
CT BC，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，由此求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，连接DF，
∵AD∥l，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AE=DF，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴1
===；
DF AE
（2）如图所示，连接CE ，取CE 中点K ，过点K 作KM ⊥BE 于M ，
∵CH ⊥EH ，
∴∠CHE =90°，
∴H 在以K 为圆心，以CE 为直径的圆上，
∵BH HK BK ≤+，
∴如图所示，当H 运动到H '的位置时，即此时H '，B ，K 三点共线，BH 有最大值BH '，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD =5，AB ∥CD ，
∴BE =AB -AE =4，∠CDE =∠AED =90°，∠DCE =∠MEK ，
∴CE KE ===
∴12
KH CE '==， ∵∠CDE =∠EMK =90°，
∴△CDE ∽△EMK ， ∴12
KM EK EM DE CE CD ===，
∴12KM DE ==，1522EM CD ==， ∴32
BM AB AE EM =--=，
∴2BK =，
∴2BH '=+
∴BH 的最大值为
2+；
（3）如图3-1所示，过点B 作BN ⊥l 于N ，过点B 作BT ∥l 交CH 于T ，
∵BN ⊥l ，CH ⊥l ，
∴BN∥CH ，
∴四边形BCHN 是平行四边形，
∴HT =BN ，
同理可证AM ∥BN ，
∴△AME ∽△BNE ， ∴4BN BE AM AE
==， ∴BN =4AM ，
∴HT=4AM，
∴CH-4AM=CH-HT=CT，
又∵CT BC
≤
∴当直线l与直线BC垂直时，=
CT BC，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AD
==
∴CH-4AM的最大值为
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sin D＝OB
OD
＝
AC
AD
，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB 和△AOC 中，
AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），
∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，
即AC ⊥OC ，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，
BD
∵sin D ＝
OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴2
4
解得AC ＝
∴AD ＝BD +AB ＝
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4、（1）45°；（2）AE
+CE ，理由见解析；（3
【分析】
（1）连接AC ，证A 、B 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB ＝∠ACB ，证出△ABC 是等腰直角三角形，则∠ACB ＝45°，进而得出结论；
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝
∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH，由三角函数定义得出AH＝3BH＝3
2
BE，分别表示出
CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，
∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ， ∴∠A ＝∠C ，
在△ABF 和△CBE 中，
AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），
∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，
∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，
∴∠ABD ＝∠FBE ，
∵∠ABC ＝120°，
∴∠FBE ＝120°，
∵BF ＝BE ，
∴∠BFE ＝∠BEF ＝1
1(180)(180120)3022
FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，
∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，
在Rt△BHE
中，1,2BH BE FH EH ====，
∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，
∴.AE CE =+；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，
由（2）得：FH＝EH，
∵tan∠DAB＝
1
3 BH
AH
=，
∴
3
3
2
AH BH BE
==，
∴
3
2
CE AF AH FH BE
==-==，
∴CE
BE
=；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图
③所示，
同①得：
3
,3
2
FH EH AH BH BE ====，
∴32CE AF AH FH BE ==+=
=，
∴
CE BE
综上所述，当α＝120°，1tan 3DAB ∠=时，
CE BE 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）32
π 【分析】
（1）根据点O 的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A 1、B 1，顺次连线即可得到△OA 1B 1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA 1B 1即为所求三角形；
（2）旋转过程中点B 走过的路径的长=
90331802
ππ⨯=． 【点睛】 此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．。