河北省黄骅中学高二数学上学期第二次月考试题理

黄骅中学2018－2019年度高中二年级第一学期第二次月考
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共4页，共150+30分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（客观题 共 60分）
一、选择题 (12小题，每小题5分，共60分)
1、掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )
A ．P (M )＝13，P (N )＝12
B ．P (M )＝12，P (N )＝1
2
C ．P (M )＝13，P (N )＝34
D ．P (M )＝12，P (N )＝3
4
2、命题“()1,x ∀∈+∞，2log 1x x =-”的否定是（ ）
A ．()1,x ∀∈+∞，2log 1x x ≠-
B ．()1,x ∃∈+∞，2log 1x x ≠-
C ．()1,x ∃∈+∞，2log 1x x =-
D ．()1,x ∀∉+∞，2log 1x x ≠- 3、抛物线y ＝4x 2
的焦点坐标是 ( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(1
16，0)
4、要从已编号（1
60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每
部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（） A ． 5,10,15,20,25,30 B ．3,13,23,33,43,53 C ． 1,2,3,4,5,6 D ． 2,4,8,16,32,48
5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )． A ． 5 B ．
5
2
C ． 3
D ．2 6、用一个平面截一半径为5的球得到一个截面，则此截面面积小于
16π的概率是( )
A.
15 B ．25 C. 35 D. 45
7、执行如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果是( )
A ．3
B ．8
C ．10
D ．12
8、“14k <<”是“方程
22
141
x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（ ） A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 9、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）
A.
e 1 B.e 1- C.e 2 D.e
2- 10、设两点A 、B 的坐标为A （﹣1，0）、B （1，0），若动点M 满足直线AM 与BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）
A ．x 2
﹣2y 2=1 B ．x 2﹣2y 2=1（x≠±1） C ．x 2+2y 2=1 D ．x 2+2
y 2
=1（x≠±1） 11、三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →
等于( )．
A ．－2
B ．2
C ．－2 3
D ．2 3
12、若函数f (x )＝13x 3＋x 2
－23
在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－5,0)
B ．(－5,0)
C ．[－3,0)
D ．(－3,0)
第Ⅱ卷（共90 +30分）
注意事项：第Ⅱ卷共 4页,用碳素笔将答案直接写在答题页上。

二、填空题 (4小题，每小题5分，共20分)
13、将二进制数110 101(2)化成十进制数，结果为_______________
14、已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则 x ＝ ，
y ＝
15、已知椭圆C :22
221x y a b
+=( 0a b >>)的左、右焦点分别是12(c,0),(c,0)F F -，若椭圆上
存在点P,使
1221
sin sin a c
PF F PF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围是________
16、以下正确结论的序号为______(把你认为正确的结论的序号都填上)．
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题q p ⌝∧是假命题
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b ＝－3；
③命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2
－3x ＋2≠0”． 三、解答题（共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、(本小题10分)
已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2
＋y 2
＝1内的概率． (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于2
2
的概率．
18、(本小题12分)已知命题:p x R ∃∈，2
210x mx -+<；命题q ：关于x 的不等式
210mx mx -+> 的解集为R .若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围.
19、(本小题12分)某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行
统计（已知这50个身高介于155 cm 到195cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组 [155,160)，第二组[160,165)，…，第八组 [190,195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185)和第
七组[185,190)还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2. （1）补全频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的 中位数；
（3）用分层抽样的方法在身高为[170,180]内抽取一
个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生， 求这两位男生身高都在[175,180]内的概率.
20、(本小题12分如图，
21、(本小题12分) 20
()(28)(0)x
F x t t dt x =
+->⎰
．
（1）求()F x 的单调区间； （2）求函数()F x 在[13]，上的最值.
22、(本小题12分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.
(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．
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数学试卷（理科）
附加题（5小题，共30分,答案都写在答题页上）
1、(本小题5分)在△ABC 中，AB ＝2BC ，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( )
A.1e 1－1e 2＝1 B ．1e 1－1e 2＝2 C.1e 21－1e 22＝1 D ．1e 21－1
e 22
＝2
2、(本小题5分)设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ，f x K ，
K ，f x K ，
取函数f (x )＝ln x ＋1
e
x
，恒有f K (x )＝f (x )，则 ( )
A . K 的最小值为1
e
B ．K 的最大值为1e
C ．K 的最大值为2
D ．K 的最小值为2
3、(本小题5分)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，那么|CE |＋|DF |＝__________.
4、(本小题5分)已知F 1、F 2,是等轴双曲线C ：22
22b
y a x - =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，且
焦距为P 是C 右支上的动点，过点P 向C 的一条渐近线做垂线，垂足为H ，则1F P P H +最小值为
5、(本小题10分)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；
(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1
ln x
<x ；
(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >cx .
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数学试卷答案(理科）
一、选择题 (12小题，每小题5分，共60分)
1-6 D B C B A B 7-12 B C A B A C 二、填空题 (4小题，每小题5分，共20分)
13、53 14、13
,62
x y =
=- 15、)
16、_①③_
三、解答题（共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因圆
x 2＋y 2＝1
的面积S 1＝π，故所求概率为
S 1
S
＝
π
8.·······················5分
(2)由题意
|x ＋y |
2≤
2
2
，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为
S 2
S
＝1
2
.····················10分 18、解：“x R ∃∈，2
210x mx -+<”等价于2
440m ∆=->∴11m m <->或 因
此
p
为真命题时，
11m m <->或.·································
···················2分·
对于命题q ，因为关于x 的不等式2
10mx mx -+>的解集为R ， 所以0m =或2
0,40
m m m >⎧⎨
∆=-<⎩解得04m ≤<，因此q 为真命题时，
04m ≤<.······4分
又
∵
p q
∨为真，
p q
∧为假，∴
p
与
q
一真一
假. ·································6分
若
p
真
q
假，则
104
,
m m m m <->⎧⎨
<≥
⎩或或解
得
14m m <-≥或；························8分
若
p
假
q
真，则
-104
,
m m ≤≤
⎧⎨
≤<
⎩解
得
01m ≤≤.···································
·····10分
综上所述，若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围是
[][)--10,14,∞+∞（，）U U ·····························
···································12分 19.
解
：（
1
）
第
六
组
与
第
七
组
频
率
的
和
为
14 . 0 ) 5 008 . 0 5 06 . 0 5 04 . 0 5 04 . 0 5 016 . 0 5 008 . 0 ( 1 = ⨯ + ⨯ + ⨯ + ⨯ + ⨯ + ⨯ -
∵第六组和第七组人数的比为5：2.
∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008. ··············4分 （2）设身高的中位数为x ，则
5.0)170(04.0504.0501
6.05008.0=-+⨯+⨯+⨯x 5.174=x
∴
估
计
这
50
位
男
生
身
高
的
中
位
数
为
174.5 ························7分 （3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2， 第5组应抽取3人记为3，4，5
则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种，满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}
，
{4
，
5}
共
3
种
，
因
此
所
求
事
件
的
概
率
为
10
3
．·······································12分
20、解： 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，
BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C (0，0，0)，
A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，
B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．··········3分
(1)证明 AC →
＝(－3，0，0)，
BC 1→
＝(0，－4，4)，
∴
AC
→
·BC 1
→
＝0.故
AC ⊥BC 1. ························
··············6分
(2)平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一 个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
AC 1→＝(－3，0，4)，AB →
＝(－3，4，0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC 1→＝0，n ·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0，令x ＝4，则y ＝3，z ＝3.n ＝(4，3，3)，
故cos 〈m ，n 〉＝
334＝
334
34
.即二面角C 1－AB －C 的余弦值为
334
34
.······················12分 21. ：依题意得，
2323
20011()(28)8833x x F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭
⎰，·········2分
定义域是(0)+∞，．·························3分 （1）2
()28F x x x '=+-, 令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<， 由于定义域是(0)+∞，，
∴函数的单调增区间是(2)
+∞，，单调递减区间是
(02)，．·····················7分
（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-
，28
(2)3
F =-，(3)6F =-，
()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28
(2)3
F =-．···········12分
22. 解： (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程
为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，···········1分 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2
＝b 2
＋c 2
，则b ＝ 2. 所
以
椭
圆
的
方
程
为
y 2
4
＋
x 2
2
＝
1. ························································4分
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆
方程联立，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＋2x 2
＝4，
y ＝kx ＋km .
则(2＋k 2
)x 2
＋2mkx ＋m 2
－4＝0，Δ＝(2mk )2
－4(2＋k 2
)(m 2
－4)＞0. 由
根
与
系
数
的
关
系
知
⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝－2mk
2＋k 2
，x 1x 2
＝m 2
－42＋k
2
····························
········6分
又由AP →＝2PB →
，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，
得－x 1＝2x 2，故⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－x 2，
x 1x 2＝－2x 2
2，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2mk 2＋k 22，
整
理得
(9m 2
－4)k
2
＝8－
2m 2
，·················································9分
又9m 2
－4＝0时不符合题意，所以k 2
＝8－2m
2
9m 2－4
＞0，
解得49＜m 2
＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4，
得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23
，
所以m 的取值范围为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－23∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2.··························12分
四、附加题（共5小题，共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 1.A 2.A 3.1 4. 6 5. 解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1
x
－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.
当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当
x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递
减···································3分
(2)由(1)知f(x)在x ＝1处取得最大值， 最大值为f (1)＝0.
所以当x ≠1时，ln x <x －1.
故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1
x
＝1，
即1<
x －1ln x
<x . ···························································6分 (3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －cx ，
则g '(x )＝c －1－cx ln c ，令g '(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln c
ln c
.
当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．
由(2)知1<c －1
ln c
<c ，故0<x 0<1.
又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所
以
当
x ∈(0,1)时，1＋(c －
1)x>cx. ····························12分。