8 磁场的高斯定理 - 环路定理

0 I B 2π x
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§11. 5 真空中恒定磁场的 安培环路定理 11.5.1 恒定磁场的安培环路定理 静电场: LE d l 0
磁场: LB d l ?
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
0 I B d l L L 2 π r rd
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
以中心O, 半径 r 的圆环为安 培环路 L
R2 R1
B dl B 2πr
L
根据安培环路定理
I

1
B 2πr 0 I内
B I 2 πr
R2
N
R o r
能用安培环路定理计算的磁场分 布主要有: 1. 无限长载流导线, 圆柱, 圆筒; 2. 螺绕管, 无限长密绕螺线管;
L
I4
Ii I1 I 2 I3
3. 无限大载流平面, 平板等.
I i I1 2I 2
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例11-6. 求无限长载流圆柱形导 体的磁场分布.
I
R
P r
r
dl
: 0 0
0 I 0 I 0 rd L B dl L 0 d 0 2πr 2π I内: 穿过以L为边界的任意曲 4. 安培环路定理 面的电流的代数和; (3) 安培环路定理揭示磁场是非 LB dl 0 I内 保守场, 无势场, 有旋场. 在真空中的恒定磁场内, 磁感 (4) 电流符号的规定: 强度沿任意闭合曲线 L 的线积 与L绕向成右旋关系 Ii > 0 分, 等于包围在闭合曲线内各电 与L绕向成左旋关系 Ii < 0 流代数和的0倍.
B内
0 Ir
2π R
2
r
根据安培环路定理
B 2πr 0 I内
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例11-7. 求长直螺线管内的磁感强 度(I, n已知).
n
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
l
o
R
b c d a B dl B dl B dl B dl B dl

L
0
内
r R1 , r R2 :
R1 r R2 :
I
内
内
0
B外 0
B内
I
NI
0 NI
2πr
与螺线管相比, 螺绕环无漏磁
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第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
作业
习题集：829、32、34、35、36、 37、39、42、43、48、 50
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
§11.4 真空中磁场的高斯定理
条形磁铁周围的磁感线 直线电流的磁感线
11.4.1 磁感应线
B
磁感应线: B 方向: 磁感线的切向 B 大小: 磁感线的疏密 特点: 闭合, 或两端伸向无穷远; 与载流回路互相套联; 互 不交叉.
圆电流的磁感线 通电螺线管的磁感线
B dl B cos dl
L L
0 I 2 π d 0 I 2π 0 P.3/39
若 L 绕向不变, 电流反向
I
d
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
L
LB dl L B1 B2 Bn dl B1 dl B2 dl Bn dl
dS
S
n
B
S
S
B
对封闭曲面, 规定外法向为正.
穿入的磁感线
Φm 0
S
穿出的磁感线 Φm 0 Φm B dS B cos dS
S S
磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场”
单位: Wb(韦伯)
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例11-5. 无限长直导线通以电流 I , 求通过如图所示的矩形面积的磁 在 x 处取面元 dS, 通量. dS ldx a b
L a b c d
解: 分析磁场分布
P

b c
b
a
B dl 0 0 0 Bab
a d
B
I
内
nI ab
根据安培环路定理:
Bab 0 nI ab
管内中段, B 沿轴向均匀分布, 管外附近近似为零. 作安培环路abcd如图.
B 0 nI
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例11-8. 求载流螺绕环的磁场分布 (R1、R2、N、I 已知). 解: 分析磁场的对称性
B
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
元通量 dΦm B dS
BdS
I
O
l
x
x dx
x
0 I
2π x
ldx
Φm S dΦm
1 dx a 2π x Il a b 0 ln 2π a
a b
0 Il
解: 建立如图所示的坐标系 x 处磁感应强度的大小为:
2. 多根载流导线穿过环路 B B1 B2 Bn
r
dl
: 0 0
0 I 0 I 0 rd L B dl L 0 d 0 2πr 2π
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3. 电流在环路之外
I
d
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
L
B

说明: (1) 成立条件:恒定电流的磁场; (2) L: 场中任一闭合规定绕向的 曲线(安培环路); B : 环路上各点总磁感应强度 (L内外所有电流产生);
电流穿过环路liillddrrbbdl绕向不变电流反向iillddrrbbdl第第1111章章恒定电流与真空中恒定磁场恒定电流与真空中恒定磁场p439iillddrrbbdl电流在环路之外iillddrrbbdl绕向不变电流反向第第1111章章恒定电流与真空中恒定磁场恒定电流与真空中恒定磁场p539电流在环路之外iillddrrbbdl等于包围在闭合曲线内各电流代数和的场中任一闭合规定绕向的曲线安培环路
L L L
r
B
L

dl
0 I1 0 I 2 0 I n 0 Ii
L
0 I LB dl L 2 π r rd
3. 电流在环路之外 B d l B cos d l
I
d
L B

0 I 2 π d 0 I 2π 0
磁感应线闭合成 环, 无头无尾.
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第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
11.4.2 磁通量(magnetic flux)
11.4.3 真空中磁场的高斯定理
通过磁场中某给定面的磁感线 穿过磁场中任意封闭曲面的磁 数目. 通量为零. n er B B B dS B cos d 0
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(4) 电流符号的规定:
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
11.5.2 安培环路定理的应用
基本步骤:
与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0
例如:
I2
I1
I3
分析电流磁场分布的对称 性, 选取适当安培环路, 令 B 从 积分号内提出. 方法是: 使安培环路L经过待 求场点, L 上各点 B 的量值均匀 或为零, 且方向与 L 相切或垂直.
第11章 恒定电流与真空中恒定磁场
B
.
横 截 面 图
I 2 πr
0
内
I r
L
r R:
I内 I
B外
o
0 I
2πr

1 r
r R:
解: 磁场分布分析, 作半径为r 的圆环为积分回路L
B dl B 2πr
L
2 I Ir I内 π R 2 π r 2 R 2
0 I 2 π d 0 I 0 2π
若 L 绕向不变, 电流反向
I
d
下面以长直载流导线的磁场为 例进行讨论: 1. 电流穿过环路L
I L BLr Nhomakorabeadl
0 I d B r dl 2πr LB dl L B cos dl
dl cos rd
B
0 I LB dl L 2 π r rd
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