高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷文科0034

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷（文
科）
一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合
B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）
A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}
2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大
值为（）
A．7B．8C．9D．14
3．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
（）
A．2B．3C．4D．5
4．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）
A．
﹣=1 B．
﹣=1
C．
﹣y2=1
D．
x2﹣=1
6．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）
A．B．3C．D．
7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣
x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为．
10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．
11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．
12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．
13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，
∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值
为．
14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，
BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且
a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心
率为．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
（i）求λ的值．
（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．
20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．
天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合
B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（）
A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}
考
点：
交、并、补集的混合运算．
专
题：
集合．
分
析：
求出集合B的补集，然后求解交集即可．
解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，
则集合A∩∁UB={2，5}．
故选：B．
点
评：
本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．
2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大
值为（）
A．7B．8C．9D．14
考
点：
简单线性规划．
专
题：
不等式的解法及应用．
分
析：
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=3x+y得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，
由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．
由，解得，即A（2，3），
代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．
即目标函数z=3x+y的最大值为9．
故选：C．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）（•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）
A．2B．3C．4D．5
考
点：
循环结构．
专
题：
图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
S=10，i=0
i=1，S=9
不满足条件S≤1，i=2，S=7
不满足条件S≤1，i=3，S=4
不满足条件S≤1，i=4，S=0
满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）（•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考
点：
充要条件．
专
题：
简易逻辑．
分
析：
求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．
解答：解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，
∵“1＜x＜2”
∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．
故选：A
点
评：
本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．
5．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）
A．
﹣=1 B．
﹣=1
C．
﹣y2=1
D．
x2﹣=1
考
点：
双曲线的简单性质．
专
题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得
，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．
解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，
∴b=a，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2=4，
∴a=1，b=，
∴双曲线的方程为x2﹣=1．
故选：D．
点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．
6．（5分）（•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）
A．B．3C．D．
考
点：
与圆有关的比例线段．
专
题：
选作题；推理和证明．
分
析：
由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
点
评：
本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）（•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
考
点：
对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．
专
题：
函数的性质及应用．
分
析：根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．
解答：解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），
m=0，
∵f（x）=2|x|﹣1=，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，
∴c＜a＜b，
故选：B
点
评：
本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣
x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
考
点：
根的存在性及根的个数判断．
专
题：
开放型；函数的性质及应用．
分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
解答：解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），
由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当y=3时，两个函数有2个交点，
故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，
故选：A．
点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．
考
点：
复数代数形式的乘除运算．
专
题：
数系的扩充和复数．
分
析：
直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．
解答：解：i是虚数单位，
===﹣i．故答案为：﹣i．
点
评：
本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．
10．（5分）（•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．
考
点：
由三视图求面积、体积．
专
题：
计算题；空间位置关系与距离．
分根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求
析：出它的体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为
V几何体=2×π•12×1+π•12•2
=π．
故答案为：π．
点
评：
本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）（•天津）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．
考
点：
导数的乘法与除法法则．
专
题：
导数的综合应用．
分
析：
由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．
解
答：
解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；
故答案为：3．
点
评：
本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．
12．（5分）（•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．
考
点：
复合函数的单调性．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．
解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．
再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）
≤===4，
当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．
13．（5分）（•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，
∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．
考
点：
平面向量数量积的运算．
专
题：
平面向量及应用．
分
析：
根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．
解答：解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，
∵=，=，
∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°
=1+=，
故答案为：
点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
14．（5分）（•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为
．
考
点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而
可求ω的值．
解
答：
解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），
∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
考
点：
古典概型及其概率计算公式．
专
题：
概率与统计．
分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．
解
答：
解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，
27×=3，9×=1，18×=2，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；
（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），
共15种；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，
则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，
∴事件A发生的概率P==
点
评：
本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．
16．（13分）（•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
考
点：
余弦定理的应用；正弦定理的应用．
专
题：
解三角形．
分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．
解
答：
解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，
，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣
sin2Asin==．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．
17．（13分）（•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
考
点：
平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专
题：
空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．
解答：（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，
∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE∥B1B，且NE=B1B，
∴NE∥A1A，且NE=A1A，∴A1N∥NE，且A1N=NE，
又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RT△A1MB1中，A1B1==4，
在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，
∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°
点
评：
本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
考
点：
等差数列与等比数列的综合．
专
题：
等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．
解
答：
解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
设{cn}的前n项和为Sn，则
，
，
两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．
∴．
点评：本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．
19．（14分）（•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心
率为．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
（i）求λ的值．
（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．
考
点：
直线与圆锥曲线的综合问题．
专
题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分
析：
（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；
（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得
|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过yP=2xP+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），
∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，
又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；
（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．
（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，
∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，
联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，
联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=，又∵λ=，及xM=0，∴λ===；
（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，
又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，
又∵yP=2xP+2c=﹣c，∴|BP|==c，
因此c=c，即c=1，
∴椭圆的方程为：+=1．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．
20．（14分）（•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．
考
点：
导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专
题：
导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，
有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根
，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．
同理得到x1′≤x1，则可证得．
解答：（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．
当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x
﹣x0），
令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），
则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．
∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g
（x2′），
因此x2≤x2′．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，
对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，
∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），
因此x1′≤x1，
由此可得．
点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；w3239003；sdpyqzh；刘长柏；maths；742048；changq；caoqz；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）
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6月15日
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）
A. B.π C.2π D.4π
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）
A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）
A.an=2n
B.an=2（n﹣1）
C.an=2n
D.an=2n﹣1
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B.4π C.2π D.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A. B. C. D.
7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A.f（x）=x
B.f（x）=x3
C.f（x）=（）x
D.f（x）=3x
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.
12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.
13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.
14.（5分）观察分析下表中的数据：
多面体面数（F）顶点数
棱数（E）
（V）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.
（不等式选做题）
15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.
（几何证明选做题）
16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.
（坐标系与参数方程选做题）
17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.
21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
300 500
作物产量
（kg）
概率0.5 0.5
作物市场 6 10
价格（元
/kg）
概率0.4 0.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.
23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)
参考答案与试题解析
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，
故选：B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）
A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）.
故选：B.
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.
3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.
故选：C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）
A.an=2n
B.an=2（n﹣1）
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.
故选：C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.
故选：D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.
【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，
∴所求概率为=.
故选：C.
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.
7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A.f（x）=x
B.f（x）=x3
C.f（x）=（）x
D.f（x）=3x
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.
【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；
B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f
（x）在R上是单调减函数，故C错.
D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选：D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.
故选：B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.
方法2：由题意知yi=xi+a，。