[推荐学习]2018高考数学一轮复习第八章立体几何第42课空间几何体的结构及其表面积与体积课时分层训

第八章 立体几何 第42课 空间几何体的结构及其表面积与体积课
时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．
42π
3 [依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V ＝13π(2)2
×22＝423
π.]
2．正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A ­B 1DC 1
的体积为________. 【导学号：62172232】
1 [在正△ABC 中，D 为BC 中点，
则有AD ＝
3
2AB ＝3， S △DB 1C 1＝12
×2×3＝ 3.
又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A ­B 1DC 1底面上的高．
∴V 三棱锥A ­B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝1
3
×3×3＝1.]
3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
4π
3 [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R ，则2R ＝12
＋12
＋
2
2
＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π
3
.]
4．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的1
2，
则这个圆台的侧面积是________ cm 2
.
24π [将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示，由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，
O 1C ＝12
OA ，
设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ， 又
O 1C SC ＝OA
SA
＝sin 30°， ∴SC ＝2r ，SA ＝4r .
AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm.
∴r ＝2 cm. ∴圆台的侧面积为：
S ＝π(r ＋2r )×4＝24π(cm 2)．]
5．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×1
2×2×3×h ＝23，∴h ＝1，
∴斜高h ′＝12
＋
3
2
＝2，∴S 侧＝6×1
2
×2×2＝12.]
6．(2017·泰州中学高三摸底考试)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．
3π
2
[过A 作AD 垂直BC 于D 点，则AD ＝3，BD ＝1，CD ＝2.5，因此所形成的几何体的体积是13×π·(3)2
(2.5－1)＝3π2
.]
7．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
7 [设新的底面半径为r ，由题意得
13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2
×8， ∴r 2
＝7，∴r ＝7.]
8．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2
，则此圆锥的体积为________cm 3
.
96π [设圆锥的底面半径为r ，则S 侧＝πr ×10＝60π， ∴r ＝6.
∴圆锥的高h ＝102
－62
＝8.
∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1
3
π×36×8＝96π.]
9．(2016·泰州期末)如图42­2，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥O ­ABD 的体积为V 1，四棱锥O ­ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1
V 2
的值为________．
图42­2
1
2
[设AB ＝a ，AD ＝b ，A 1A ＝c ，则 V 1＝13S △ABD ·12
A 1A ＝13×12ab ×12
c ＝abc 12
.
V 2＝13
S 矩形ADD 1A 1·12
AB ＝13
×bc ×12
a ＝abc 6
.
∴V 1V 2＝12
.] 10．(2013·江苏高考)如图13­6，在三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1
的中点．设三棱锥F ­ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1­ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.
图13­6
1∶24 [设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于1
4S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F ­ADE 的
高等于12h ，于是三棱锥F ­ADE 的体积V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝1
24
V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.]
11．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球
O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________.
【导学号：62172233】
9
2
π [如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得
HA ＝13·2R ＝23
R ，
∴OH ＝R
3
.
∵截面面积为π＝π·HM 2
， ∴HM ＝1.
在Rt △HMO 中，OM 2
＝OH 2
＋HM 2， ∴R 2＝19R 2＋HM 2
＝19R 2＋1，
∴R ＝324，
∴S 球＝4πR 2
＝4π·⎝
⎛⎭⎪⎫3242＝9
2
π.] 12．(2017·南京盐城二模)如图42­3，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A ­A 1EF 的体积是________．
图42­3
83 [极限法，取E ，F 分别与B 1，C 1重合，则
S 三棱锥A ­A 1EF ＝13S △A 1B 1C 1·AA 1＝13×12
AB 2sin 60°·AA 1
＝16×16×3
2
×6＝8 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为223π，则该圆锥的侧面积为________.
【导学号：62172234】
3π [设圆锥的母线长为l ，高为h ， 则由V ＝13
πr 2
·h ，
得h ＝
3V πr 2＝
22π
π
＝2 2. ∴母线l ＝h 2＋r 2
＝3，故圆锥的侧面积为S ＝12(2πr )l ＝πrl ＝π×1×3＝3π.]
2．(2017·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________.
5 [∵2πr 1＝16×10π，∴r 1＝5
6，
同理r 2＝106，r 3＝15
6，
∴r 1＋r 2＋r 3＝30
6
＝5.]
3．(2017·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．
5 [设正四棱锥的高为h ，则1
3×42×42×h ＝32，
∴h ＝3，∴底面对角线的长为42×2＝8. 侧棱长为32
＋42
＝5.]
4．如图42­4，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1­EDF 的体积为________．
图42­4
1
6
[V D 1­EDF ＝V F ­DED 1， △DED 1的面积为正方形AA 1D 1D 面积的一半， 三棱锥F ­DED 1的高即为正方体的棱长， 所以V D 1­EDF ＝V F ­DED 1＝1
3S △DED 1·h
＝13×12DD 1×AD ×AB ＝16
.] 5．(2017·南京模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则a 3
∶b 3
的值为________．
π∶ 3 [正三棱柱的体积V 1＝
34a 2·a ＝3
4
a 3， 圆柱的体积V 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫
b 22
·b ＝π4b 3.
∴
34a 3＝π4
b 3
， ∴a 3
∶b 3
＝π∶ 3.]
6．(2017·无锡期末)在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．
图42­5
3
3
[由题意可知VA ＝VB ＝2，AB ＝ 2. ∴V V ­AOB ＝13×S △AOB ×VO ＝13×1×1×12×1＝1
6
.
∴V O ­ABV ＝13S △ABV ×h ＝13×12×2×2×sin 60°×h ＝1
6.
∴h ＝33
.]。