关于均匀带电球壳内部场强处处为零,外部场强等效于电荷集中于球心产生的场强证明

关于均匀带电球壳内部场强处处为零，外部场强等效于电荷集中于球心产生的场强证明
设均匀带电Q ，半径为a 的球壳。

（由F=
²kQq R 可知，在R 处的电势为ϕ=kQ R -） 球壳单位面积电荷量为2
4Q a π，P 点到圆心O 的距离为R 。

所以以ds 为宽的环，所带电荷量为dQ ₁=22()4yQ ds a ππ=2
()2Qy ds a 因为sin θ=dx ds =y a
,所以dQ ₁=()2Q dx a 。

所以圆环在P 点的电势为。

1()k dQ d r ϕ-= 所以()2kQ dx d ar
ϕ-=。

由图可知22222222
()22r y R x y x R xR a R xR =+-=++-=+- 2222r a R xR =+-（a 、R 为已知，r 、x 为变量）
对等式两边同时微分得2()2()r dr R dx =,所以()()22kQ dx kQ dr d ar aR
ϕ--=
=``````````① 当P 点在球壳外时，两边同时积分的得()2R a R a kQ kQ dr aR R
ϕ+---==⎰，该电势与电荷集中于球心产生的电势一样，所以得证均匀带电球壳外部场强等效于电荷集中于球心产生的场强。

当P 点在球壳内部时，依然得①式，同样进行积分。

()2a R a R kQ kQ dr aR a
ϕ+---==⎰，所以在均匀带电Q ，半径为a 的球壳内，处处的电势都为kQ a
-，所以在其内部电场力不做功，即得证均匀带电球壳内部场强处处为零
写于2015年6月15日。