1.4.2 第1课时 距离问题课件ppt

设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
2 2 = 0,
所以
所以 n=(3,0,1).
- + 3 = 0,
所求距离为
|·1 |
d= ||
=
3 10
.
10
素养形成
转化与化归思想在求空间距离中的应用
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1
中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1
9
0,0, 5
所以=(-4,3,0), =
,
9
-4,0,
5个法向量,Fra bibliotek· = 3 + 3 = 0,
则
取 z=1,
· = - + 2 = 0,
则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1).
∴点 B 到平面 CMN 的距离
|· |
d=
||
=
4 2
.
3
反思感悟 求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,
EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化
为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.
【规范答题】
(1)证明 如图所示以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为
x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),
B(0,0,4),D(0,2,2),G

,1,0
2
.
所以1 =(0,2,2), =(-a,0,0),=(0,2,-2).
1 1
, ,1
2 2
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
则
· = = 0,
1 · = -1 + = 0,
又 =
答案 B
1 1
,,-1
2 2
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
,∴点 O 到平面
| ·|
故选 B.
答案 B
|· |
d= ||
=
|-2+0+1|
2
=
2
.
2
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平
面ABC的距离是(
A.
6
6
)
B.
6
3
C.
3
6
D.
3
3
解析 分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为
所以GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
所以平面EGF∥平面ABD.

- 2 ,0,0
, =(0,1,-1),
(3)解 由(1)(2)知,1 是平面 EGF 和平面 ABD 的法向量.
因为平面 EGF∥平面 ABD,所以点 E 到平面 ABD 的距离就是两平面间的距
∴| |= 12 + (-2)2 + 12 = 6,
∴直线 EF 的单位方向向量
6
μ= 6 (1,-2,1),
2
∴点 A 到直线 EF 的距离 d= || - 答案
174
6
6
6
2
=
29
6
=
174
.
6
二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平
∥ 1 ,
⇒B1C∥平面 A1BD.
⊂ 平面1
(2)解 因为 B1C∥平面 A1BD,所以 B1C 到平面 A1BD 的距离就等于点 B1 到平
面 A1BD 的距离.如图建立空间直角坐标系,
则 B1(0,2 2,3),B(0,2 2,0),A1(-1,0,3),
1 =(0,2 2,3),=(0,2 2,0),1 =(-1,0,3).
| ·|
面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为 PQ= || .
名师点析 1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是 在直
线l上的投影向量 的长度.
2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转
化为点P到平面α的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离
-2 + 2 = 0,
· = 0,
则
得
-2 + 4 = 0.
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离
答案
8
3
|·1 1 |
d= ||
=
8
.
3
课堂篇 探究学习
探究一
利用空间向量求点线距
例1已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B
2023
人教版普通高中教科书·数学
第一章
选择性必修
第1课时 距离问题
第一册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的
平面的距离问题.(直观想象、数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人
线MN的距离.
解 如例 1 解中建立空间直角坐标系(图略).
则 M(2,0,1),N
3
2, 2 ,0
,C1(0,3,1),
3
0, 2 ,-1
所以直线 MN 的方向向量为MN =
2
,MC1 =(-2,3,0),
MN
所以点 C1 到 MN 的距离 d= |MC1 | - MC1 ·
|MN |
2
=
2 286
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行
平面之间的距离转化为点P到平面β的距离求解.
微思考
怎样求线面距离、面面距离?
提示 线面距离、面面距离都可以通过一定的方法转化为点到平面的距离
求解.
微练习
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面
面内点到直线的距离问题.
微练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A
到直线EF的距离为
.
解析 如图,以点 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立
空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), =(1,-2,1),=(1,0,-2),
.
13
延伸探究 2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到
A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直
线,BB1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐
标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2), C1(1, 3 ,2),
所以 A1C1 的方向向量1 1 =(-1, 3,0),1 =(1, 3,2),
离,设为 d.
因为=(0,0,3),1 =(0,2,2),
所以
|1 · |
d= | |
1
=
6
22 +22
=
3 2
.
2
3 2
即两平面间的距离为 2 .
方法总结 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转
化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
1 1
d= |1 |2 - 1 ·
|1 1 |
2
= 8-
-1+3+0
2
2
=
8-1 = 7.
探究二
利用空间向量求点面距
例2在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面
ABC,SA=SC=2 3 ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN
所以1 · =0+0+0=0,1 ·=0+4-4=0.所以1 ⊥ , 1 ⊥ ,
所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
(2)证明 由(1)可得 =(-a,0,0),=(0,2,-2), =
所以 =2 , =2 ,所以 ∥ , ∥ .
想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想
使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?
[知识点拨]
一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离
已知在直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.
设=a,则向量在直线 l 上的投影向量 =(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
3
A.
2
B.
2
2
)
C. 3
D.3 2
解析 ∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),=(2,1,1),且两
平面的一个法向量 n=(-1,0,1),∴两平面间的距离
如图所示,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系
Oxyz,则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2),M(1, 3,0),N(0, 3, 2).
∴=(3, 3,0),=(-1,0, 2), =(-1, 3,0).设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一
的距离.
思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面
CMN的法向量,再求距离.
解 取AC的中点O,连接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.
AD1C的距离为
.
解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
间直角坐标系(图略),
则 A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),
则 =(-2,2,0),1 =(-2,0,4),1 1 =(-2,-2,0),
设平面 AD1C 的法向量为 n=(x,y,z),
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
|n·MA|
(3)向量法:d= |n|
段)
(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线
变式训练在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
(1)证明 连接 AB1 交 A1B 于点 E,连接 DE.
ABC1D1 的距离为 ||
=
1
2
2
=
2
.
4
.
9
4.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= 5
AB的距离是
.
,则点P到斜边
解析 以点 C 为坐标原点,CA,CB,CP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如
图所示的空间直角坐标系.
则 A(4,0,0),B(0,3,0),P
|1 1 |
2
= 10-
9 2
5
=
13
.
5
反思感悟 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
延伸探究 1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直
PQ=
2
2
-(·) .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条
平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
要点笔记点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外
一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平
n=(1,1,1),则 d=| ·| =
答案 D
||
3
.
3
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到
平面ABC1D1的距离是(
1
A.2
C.
2
2
B.
2
4
D.
3
2
)
解析 建立空间直角坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
到直线A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐
标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),
所以直线A1C1的方向向量
1 1 =(-4,3,0),1 =(0,3,1),
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
2
1 1
d= |1 | - 1 ·