高中数学 2_4 用向量讨论垂直与平行同步精练 北师大版选修2-11

高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行同步精练 北师大版选修2-1
1．已知a ，b ，c 分别为直线a ，b ，c 的方向向量，且a ＝λb (λ≠0)，b·c ＝0，则a 与c 的位置关系是( )
A ．垂直
B ．平行
C ．相交
D ．异面
2．已知A (1,0, 0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫3
3
，33，－33
B.⎝
⎛⎭⎪⎫3
3
，－33，33
C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－
33，33，33
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
33，－33，－33 3．若平面α的法向量为u ＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v ＝(8,2,2)，则( ) A ．α∥β
B ．α与β相交
C ．α⊥β
D ．不确定
4．若平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，则( ) A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均错
5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l
α D ．l 与α相交但不垂
直
6．如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
以上结论中正确的是________．(填序号)
7．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，BP ＝(x －1，y ，－3)．若AB ⊥BC ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为________．
8．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当
BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为________．
9．如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段
BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．
求证：平面EGF ∥平面ABD .
10．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为2的菱形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，若点E ，F 分别是BC ，PC 上的动点，记BE EC
＝
λ1，PF
FC
＝λ2，当平面DEF ⊥平面ABCD 时，试确定λ1与λ2的关系．
11．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，
CE ＝EF ＝1.
求证：(1)AF ∥平面BDE ； (2)CF ⊥平面BDE .
参考答案
1. 解析：由a ＝λb (λ≠0)，知a ∥b . 由b·c ＝0，知b ⊥c ，所以a ⊥c .故选A. 答案：A
2. 解析：AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)，BC ＝(0，－1，1)．设平面ABC 的一个单位法向量为u ＝(x ，y ，z )，
则u ·AB ＝0，u ·AC ＝0，可得x ，y ，z 间的关系，且x 2
＋y 2
＋z 2
＝1，再求出x ，y ，
z 的值．
答案：D
3. 解析：∵平面α的法向量为u ＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v ＝(8,2,2)， ∴u·v ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0. ∴u ⊥v ，∴α⊥β. 答案：C
4. 解析：∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)， ∴v ＝－3u ，∴u ∥v ，∴α∥β. 答案：A
5. 解析：∵直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)， ∴a ＝－1
2u ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.
答案：B
6. 解析：∵1A M ＝AM －1AA ＝DP －1DD ＝1D P ， ∴A 1M ∥D 1P . 又∵D 1P 平面D 1PQB 1，∴A 1M ∥平面D 1PQB 1. 又D 1P
平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1.
∵D 1B 1与PQ 平行不相等， ∴B 1Q 与D 1P 不平行． ∴A 1M 与B 1Q 不平行． 答案：①③④
7. 解析：∵AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，AB ⊥BC ， ∴(1,5，－2)·(3,1，z )＝0，即3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.① 又∵BP ＝(x －1，y ，－3)，BP ⊥平面ABC ，
∴BP ·AB ＝0，即(x －1，y ，－3)·(1,5，－2)＝0，x －1＋5y ＋6＝0.②
BP ·BC ＝0，即(x －1，y ，－3)·(3,1,4)＝0，
3x －3＋y －12＝0.③
由①②③得x ＝407，y ＝－15
7，z ＝4.
答案：
407，－157
，4 8. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .
则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．
设点F 的坐标为(0，y,0)，
则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，－a .
∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，
∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1. 答案：1
9. 证明：如图所示，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，
BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0，0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，
G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
，1，4.
所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，EG ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，1，1，EF ＝(0,1,1)．
(方法一)因为1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0， 所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因为BA ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD . 又1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD .
(方法二)设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·EF ＝0，
n 1·EG ＝0，
111110,0,2
y z a
x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，y 1＝－z 1，令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．
设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·BA ＝0，
n 2·BD ＝0，
2220220,
ax y z ⎧⎨
⎩＝，
＋＝即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝0，
y 2＝－z 2，令y 2＝1，则n 2＝(0,1，－1)．
所以n 1＝n 2，所以平面EGF ∥平面ABD .
10. 解：过点P 作PG ⊥AD 于点G ，连接BG ，则PG ⊥平面ABCD ，PG ⊥BG ，BG ⊥AD ，以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝2，∴AG ＝1，PG ＝BG ＝3，∴B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，D (0,1,0)，A (0，－1,0)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，2λ11＋λ1，0，F ⎝
⎛⎭⎪⎫3λ21＋λ2，2λ21＋λ2，31＋λ2，则DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，λ1－11＋λ1，0，DF ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3λ21＋λ2，λ2－1
1＋λ2，31＋λ2.
设平面DEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
则1122222130,1310,111n DE x y n DF x z λλλλλλλ-⎧
⋅=+=⎪+⎪⎨-⎪⋅=++=⎪+++⎩
∴n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ，
3(1＋λ1)1－λ1x ，－2λ2－λ1－11－λ1x (λ1≠1)，当
x ＝1时，n ＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫1，3(1＋λ1)1－λ1，－2λ2－λ1－11－λ1，平面ABCD 的一个法向量为PG ＝(0,0，－3)．当平
面DEF ⊥平面ABCD 时，PG ·n ＝0，∴－3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2λ2－λ1－11－λ1＝0(λ1≠1)，∴当λ1
≠1
时，λ1＝2λ2－1；当λ1＝1时，有λ2＝1，也满足λ1＝2λ2－1，综上可得λ1与λ2的关系为λ1＝2λ2－1.
11. 证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝1
2
AC ＝1，
所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG . 因为EG
平面BDE ，AF
平面BDE ，
所以AF ∥平面BDE .
(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD .
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C ­xyz ，
则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝
⎛⎭
⎪⎫2
2，22，1.
所以CF ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，22，1，BE ＝(0，－2，1)，DE ＝(－2，0,1)． 所以CF ·BE ＝0－1＋1＝0，CF ·DE ＝－1＋0＋1＝0. 所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ， 所以CF ⊥平面BDE .
欢迎您的下载，资料仅供参考！。