2018高考数学全国卷坐标系与参数方程浅析

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2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4坐标系与参数方程含解析

第1讲坐标系最新考纲1。

了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2。

了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3。

能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1。

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：错误!的作用下，点P(x，y）对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

2。

极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示，在平面内取一个定点O（极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

（2）极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ,θ）称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x，y)极坐标(ρ，θ）互化公式ρ2＝x2＋y2 tan θ＝错误!(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r，0），半径为r的圆ρ＝2r cos__θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)5。

直线的极坐标方程(1）直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)。

（2）直线l过点M（a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.(3）直线过M错误!且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b.诊断自测1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系。

( )(2)若点P的直角坐标为(1，－3),则点P的一个极坐标是错误!。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (15)坐标系与参数方程

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (15) 坐标系与参数方程【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B 级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 .2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．【变式探究】(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.答案 1【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.答案 6【变式探究】(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离d，当s = min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos 162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －1，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三参数方程及其应用【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430{ 19x y x y +-=+=解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d 当4a ≥-时， d=8a =；当4a <-时， d=16a =-. 综上， 8a =或16a =-. 【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l【变式探究】(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】(2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：2,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将2,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。

这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。

本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。

首先来看坐标系的考查情况。

在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。

对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。

极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。

而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。

在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。

除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。

参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。

在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。

考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。

坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。

在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。

还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。

而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。

在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程是高考中数学考试的重要内容之一，涉及到平面直角坐标系和参数
方程的相关知识。

在高考数学试卷中，通常会出现与坐标系与参数方程有关的多个选择题
和一道分析题。

考查坐标系的部分通常会涉及到直角坐标系的构建和使用。

学生需要掌握如何在平面
上建立直角坐标系，即确定x轴和y轴的位置和方向，并确定单位长度。

在使用直角坐标
系进行计算时，学生需要掌握如何表示点的坐标，以及如何计算两点之间的距离和斜率，
这些都是常见的考点。

考查参数方程的部分通常会涉及到曲线的参数方程表示和性质的讨论。

学生需要掌握
如何从直角坐标方程得到参数方程，以及如何从参数方程得到直角坐标方程。

在讨论曲线
的性质时，学生需要掌握如何确定曲线的对称性、单调性、极值点等重要性质。

考查坐标系与参数方程的部分还可能涉及到几何问题的求解。

给定一个曲线和一点，
要求确定曲线上到该点最近和最远的点，这就需要用到两点之间的距离的性质和参数方程
的表达方式。

在高考中，考查坐标系与参数方程的题目形式多样，有些是纯计算题，有些是分析和
证明题。

对于纯计算题，学生需要熟练掌握相关的计算技巧和公式的应用。

对于分析和证
明题，学生需要灵活运用相关知识，结合已有的条件和性质进行推导和分析。

在备考和解题过程中，学生可以通过多做一些相关的习题和真题，加深对相关概念和
方法的理解和掌握。

还可以通过参考相关的教材和辅导书籍，了解更多的例题和解题思路，提升解题的能力。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学考试一直是许多学生心中的一块痛，“坐标系与参数方程”是数学学科中的重要内容之一，也是考试中经常出现的题型之一。

本文即将对“坐标系与参数方程”在高考中的考查情况进行分析，帮助同学们更全面地了解和掌握这一部分知识。

一、考查形式在高考数学试卷中，“坐标系与参数方程”的考查形式主要表现在选择题和计算题两个方面。

在选择题中，往往会出现与坐标系和参数方程相关的定义、性质、定理等知识点，要求考生通过对知识的理解和掌握来进行判断和选择。

在计算题中，一般会出现与坐标系和参数方程相关的计算或证明题目，要求考生通过对知识的应用能力来进行解答。

二、考查内容1. 坐标系：高考中对坐标系的考查主要集中在直角坐标系和极坐标系两个方面。

对于直角坐标系，考生需要掌握点的坐标、斜率和距离的计算、直线和曲线的方程等内容；对于极坐标系，考生需要了解点的极坐标、曲线的方程、曲线的性质等内容。

2. 参数方程：在高考中，参数方程的考查主要包括曲线的参数方程、参数方程与直角坐标系之间的转化、参数方程的应用等内容。

考生需要掌握参数方程的基本概念，能够将曲线的参数方程与直角坐标系方程互相转化，并能够应用参数方程解决实际问题。

三、考查特点1. 知识面广：与其它数学知识相比，坐标系与参数方程的考查涉及的知识点相对较广，需要考生全面掌握与坐标系和参数方程相关的概念、性质、定理等内容。

2. 灵活应用：坐标系与参数方程的考查不仅仅是对知识的死记硬背，更注重考生对知识的理解和运用能力。

很多题目需要考生根据实际情况进行参数的选择和方程的建立，考查考生的灵活运用能力。

3. 融合性强：坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要知识点，同时也与解析几何、微积分等内容有着密切的联系。

考查坐标系与参数方程的题目往往具有一定的综合性和难度。

四、备考建议针对“坐标系与参数方程”这一部分知识，在备考高考数学时，考生可以根据以下建议进行针对性的复习和练习：1. 理清基本概念：在复习坐标系与参数方程知识时，首先要理清坐标系的概念和性质，了解直角坐标系和极坐标系的区别与联系；并且要掌握参数方程的基本概念和常见的参数方程形式。

2018届高三数学(文理通用)坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版【简介】坐标系与参数方程作为选做题，和不等式以二选一的形式出现，主要考查极坐标方程及应用，直线，圆和椭圆的参数方程的应用，难度一般不大，但是在做题过程有许多细节需要注意，例如审题时注意问的是参数方程还是极坐标方程，在应用上要从极坐标和参数方程中做出适合的选取，应用直线的参数方程解题时要理解参数t 的意义，如果理解不准极易出错，总之，对于本章的复习，要对概念要有准确的理解.【3年高考试题比较】坐标系与参数方程每年都以解答题的形式，和不等式以二选一的形式出现，在试卷中是最后一道题，但不是压轴题，属于解答题中的容易或比较容易的试题.内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程的关系，求曲线的轨迹、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方程，综合三年的高考题，对于极坐标的考察较多，不仅会极坐标与直角坐标转化，也要掌握极坐标的应用，同时椭圆、圆和直线的参数方程也要应用熟练，尤其是直线的参数方程易错点较多，复习时要引起重视. 【必备基础知识融合】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)；自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos__θ＝a .(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin__θ＝b . 6.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 7.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x ，y 的取值范围保持一致. 8.常见曲线的参数方程和普通方程(t 为参数)(θ为参数)(φ为参数)提醒一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离. 【解题方法规律技巧】典例1：将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.典例2：在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. 所以C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.典例3：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解 (1)消去t ，得C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2， ∴曲线C 1表示以点(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.典例4：以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程.典例5：在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程.解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点. 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)，由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. 典例6：已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.典例7：已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.典例8：平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.典例9：以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值. 解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x 得到t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2 α，t 1t 2＝－4sin 2α. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α≥4，当α＝π2时取到等号. ∴|AB |min ＝4，即|AB |的最小值为4.典例9:在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.典例10：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标系方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．【答案】（1），曲线;(2) .【易错易混温馨提醒】一、直线参数方程的应用参数t解题时注意正负易错1：已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．【答案】（1），（2）二、注意直线与圆锥曲线联立时的判别式大于0易错2：在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，将曲线C 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线D ，过点()2,0M 作直线l ，交曲线D 于A B 、两点，若2MA MB ⋅=，求直线l 的斜率.【答案】（1）2220x y y +-=；（2）线l 的斜率为【解析】试题分析：（1）利用222,sin x y y ρρθ=+=把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 的参试题解析：(1)由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将222,sin x y y ρρθ=+=，代入整理得2220x y y +-=. (2)把2220x y y +-=中的x 换成2x ，即得曲线D 的直角坐标方程2204x y y +-=. 设直线l 的参数方程为2,{x tcos y tsin φφ=+=（t 为参数， [)0,φπ∈），代入曲线D 的方程，整理得()()222cos 4sin 4cos 8sin 40t t φφφφ++-+=，()()2224cos 8sin 16cos 4sin 0φφφφ∆=--+>,cos sin 0φφ⇒<.设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 为上述方程的两个根. 由122240cos 4sin t t φφ=>+，得,MA MB 同向共线. 故由122242cos 4sin MA MB t t φφ⋅===21sin tan 3φφ⇒=⇒=.由cos sin 0φφ<，得tan 2φ=-即直线l 的斜率为2-..三、非标准形式的直线参数方程应用参数t 时要注意换为标准的参数. 易错3：在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1{x y ==（t 为参数），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 与x 轴的交点记为A ，求AP AQ ⋅的值. 【答案】(1)见解析；（2）18.7（II ）解法1：在10x y --=中，令0y =，得1x =，则()1,0A ．由223412{10x y x y +=--=消去y 得27880x x --=.设()11,P x y ， ()22,Q x y ，其中12x x < ，则有1287x x +=， 1287x x =-.故)1111AP x =-=-，)2211AQ x =-=-，所以AP AQ ⋅ ()()12211x x =--- ()121218217x x x x ⎡⎤=--++=⎣⎦.解法2：把()()112,{2,2x t y t =+=+==代入223412x y +=，整理得21490t +-=，则12914t t =-，所以AP AQ ⋅ ()()1212182247t t t t =-⋅=-=. 四、注意参数范围对于方程的影响易错4：在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22,{32x cos y sin αα=+=+（α为参数， 2παπ≤≤），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围．【答案】（1）曲线2C 的直角坐标方程为0x y t -+=；（2）11t -<≤-.1C 有两个公共点，则当2C 与1C2=，整理得1t -=∴1t =-或1t =（舍去），当2C 过点()4,3时， 430t -+=，所以t=-1. ∴当1C 与2C 有两个公共点时，11t -<≤-．点睛：本题的易错点在把曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程时，忽略了2παπ≤≤，得到曲线1C 是整个圆，那后面就会出错，所以在解题时，一定要注意认真审题，实行等价转化. 五、求轨迹方程时注意一些特殊点的取舍.易错5：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{x tcos y tsin αα== (t 为参数)，其中0απ<<，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 5ρθ=， P 为曲线1C 与2C 的交点. (1)当3πα=时，求点P 的极径；(2)点Q 在线段OP 上，且满足20OP OQ ⋅=，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.【答案】(2) ()()22240x y y +-=≠(2)在极坐标系中，设点(),Q ρθ， ()1,P ρθ，由题意可得， 1120[ 5sin ρρρθ==，进而可得4sin ρθ=，从而点Q 的轨迹的直角坐标方程为()()22240x y y +-=≠.六、参数方程化为普通方程时注意范围的变化在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为{x t y kt ==（t 为参数），直线2l的参数程为{3x mm y k==（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值. 【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠;(2) d的最小值为由于1C的参数方程为{x y sina==（a 为参数， a k π≠， k Z ∈），所以曲线1C上的点)sin Qa a ，到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为。

坐标系与参数方程考点分析

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坐标系与参数方程考点分析
作者：王位高
来源：《广东教育·高中》2018年第11期
新课程全国卷高考数学对选做题“坐标系与参数方程”的考查是从极坐标与参数方程角度来研究直线与圆锥曲线的相关性质，设置在难度上相对稳定，属于中档难度，是普通高考生的重要得分点，但由于题目形式变化多样，如果考生不对所学的知识融会贯通，想拿到高分还是有一定难度的，对于全国卷I选做题“坐标系与参数方程”，2018年广东评卷场反馈的平均分（文理合在一起统计）是5.3分， 2017年文数3.48分（样本288737份）、理数5.27分（样本317995份）；2016年文数4.24分、理数6.71分.（2017年、2016 年平均分根据《广东高考年报》数据）.
认真研究历年高考真题，总结高考命题规律，对于提高高考数学分数有重要意义. 笔者对《坐标系与参数方程》考点内容进行分类分析，并针对广东考生的实际选取典型题目训练，希望同学们看后有所收获，夺取满意分数. 要提醒的是，全国卷3套试题的坐标系与参数方程命题者都是相同的，同学们复习时可以将它们一起研究.。

2018版高考数学考点55极坐标与参数方程试题解读与变式

考点55极坐标与参数方程【考纲要求】1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4. 了解参数方程，了解参数的意义.5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题 .难度中等.【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用V ——2+t例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线11的参数方程为’（t 为参数），直线l 2的参数J=kt,（1）写出C 的普通方程;（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设|3 :门COST si2 = 0 , M 为13与C的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线丨1,丨2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线 C 的普通方程；（2）联立两个极坐标方程可得 COS29,sin21，代入极坐标方程进行计算可得极径为、、5 .10 10【解析】（1）消去参数t 得l 1的普通方程h ：y=k x-2 ；1消去参数m 得12的普通方程12 : y = 1 x 2 .k'y =k （x-2）设P x,y ,由题设得 1，消去k 得x 2 - y 2 = 4 y = 0 .|y =j （x + 2） L k所以C 的普通方程为x 2 —y 2 =4（y H O ）.x - ~2方程为 mm,（m 为参数） .设I 1与12的交点为 P,当k 变化时, P 的轨迹为曲线C.（2） C 的极坐标方程为卩¥CQ 吕9一曲/ 0）= 4（0 < 3叱2兀0 H 兀）■日—sin ，=4,得 cos 0 —sin 日=2(cos 0 +sin 3). p(cos 8 + sinB)-迈=0I 9 |故 t3H & = —-~ j 从而 G = —■ t S1O @ = ■—■3 10 10代入p 1 （co? 0 —釦丄&） = 4得F = 5 ,所以交点M 的极径为晶.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力 .遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解•要结合题目本身特点，确定选择何种方程1R 【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 C :_ 2I 逅+ y pJ 2 c原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 ——?cos 二2 I（1）求曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程;2 _代入曲线C : — y^1中，化简，得2t 2 --2=0,3设A , B 两点所对应的参数分别为t 1, t 2，则址2 = T ，所以MA ■ MB联立（:为参数），以（2）过点M -1,0，且与直线I 平行的直线h 交曲线C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2【解析】（1）由题知，曲线 C 化为普通方程为 — y^1，由亍'cos「「1，得::cos^ - :?si- -2，所以直线I 的直角坐标方程为（2）由题知，直线|1的参数方程为（t 为参数），=1.3"x = 3coso (【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1 :( ：•为参数)，以坐标：y =si net原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为亍二_2sinv .(1)分别求曲线 C 1的普通方程和曲线 C 2的直角坐标方程;(2)若P 、Q 分别为曲线G 、C 2上的动点，求PQ 的最大值.2因为sin 2a+cos 2a=1,所以C 1的普通方程为 ——+ y =1.9因为曲线C 2的极坐标方程为--2sinr ，即专二-2 ?sin ，2 2 2 2 故曲线C 2的直角坐标方程为x y- -2y ，即x - y 1 1.(2)设sina)则P 到曲线G 的圆心(0, -1)的距离因为sinae[-l,l],所以当sins*时，K 有最大値巴乎所以|茂|的最大值为d+z 竽十1.4(二)参数方程的运用x —3cos B例2. [ 2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos ，(0为参数)，直线I 的 y =si n£,I x = a 亠 4t参数方程为(t 为参数).l y =1 —t,(1 )若a =-1，求C 与I 的交点坐标;x =3cos 。

2018高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧解答题模板3：极坐标与参数方程1、题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆22221xy a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数；双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数；抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。

解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--t t t t y x 2222（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=⋅≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为),(y x ，它的极坐标为),(θρ，则⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 222；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程52sin42=⋅θρ表示的曲线是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D. （3）、参数方程与直角坐标方程互化例3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x ，∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ，∵θθρsin 6cos 2+=，θρθρρsin 6cos 22+=∴，∵222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ，∴y x y x 6222+=+，即10)2(22=++y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为10)2(22=++y x ；（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1(， ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=CD A FE O B C∴两圆相交，设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C ∴222)10()223()2(=+d， ∴22=d ，∴公共弦长为22 （4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.解：直线2C 化成普通方程是122--+y x ，设所求的点为()θθsin ,cos 1+P ，则C 到直线2C 的距离2|122sin cos 1|-+++=θθd |2)4sin(|++=πθ，当234ππθ=+时，即45πθ=时，d 取最小值1 ，此时，点P 的坐标是)22,221(--. 5）直线参数方程中的参数的几何意义例5、已知直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6πα=， ①写出直线l 的参数方程;②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积. 解（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即．（2）把直线代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．。

2018年高考数学考试大纲解读专题15坐标系与参数方程理

专题15 坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.考向一参数方程与普通方程的互化样题1（2017新课标全国Ⅰ理科）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a.考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化样题2已知极坐标方程(1)求的直角坐标方程,并分别判断的形状;(2)求交点间的距离.考向三极坐标方程与参数方程的综合应用样题3 已知直线l的参数方程为1x t y =+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB ⋅．【解析】（1）直线l的普通方程是)1y x =-，即y =.曲线C的直角坐标方程是22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=. （2）直线lC 的极坐标方程得：2540ρρ-+=，所以4A B OA OB ρρ⋅==．样题4在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.。

2018高考数学(理)专题突破——选考系列：坐标系与参数方程

【解析】(1)由 C1：ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0， ∴x－ 3y－1＝0，表示一条直线. 由 C2：ρ＝2cos θ，得 ρ2＝2ρcos θ.
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1， ∴C2 是圆心为(1，0)，半径 r＝1 的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线 x－ 3y－1＝0 上，因此直线 C1 过圆 C2 的圆心. ∴两交点 A，B 的连线段是圆 C2 的直径，因此两交点 A，B 间的距离|AB|＝2r＝2.
是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 .当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为
简的解题目的.
【对点训练】
已知曲线 C
x＝2＋2cos 的参数方程为 y＝2sin θ
2 2 2
要注意 ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【对点训练】
在极坐标系中，已知极坐标方程 C1：ρcos θ－ 3ρsin θ －1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C1，C2 交于 A，B 两点，求两点间的距离.
θ，
(θ 为参数)，以坐
标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l
π 的极坐标方程为ρsinθ＋＝4. 6
(1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程； π (2)若射线 θ＝ 3 与曲线 C 交于 O， A 两点，与直线 l 交于 B 点， 11π 射线 θ＝与曲线 C 交于 O，P 两点，求△PAB 的面积. 6

高考数学真题——坐标系与参数方程

2018年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2017年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=，所以8a =；当4a <-时，d.=，所以16a =-.综上，8a =或16a =-.、2016年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】（I ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（II ）1 【解析】试题分析：（Ⅰ）把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .2013年数学全国1卷已知曲线C 1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为。

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。

2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：选修4-4坐标系与参数方程含解析

选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐标系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源”与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′，y ′）,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．解］由错误!得到错误!①将①代入错误!＋y 2＝1，得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆错误!＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝本节主要包括2个知识点：1。

平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2.极坐标系.1。

方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点（1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标（x，y)与变换后的点P′的坐标（X，Y），再利用伸缩变换公式错误!建立联系．(2）已知变换后的曲线方程f（x，y）＝0,一般都要改写为方程f(X，Y）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．1．在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ：错误!求点A错误!经过φ变换所得的点A′的坐标．解：设A′（x′，y′)，由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x′＝3×错误!＝1，y′＝错误!×(－2)＝－1，所以A′(1,－1）为所求．2．求直线l：y＝6x经过φ：错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x。

3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′），由题意，将｛x＝13x′，y＝2y′代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5，0)，F2（5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a,b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析【摘要】在高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个重要的考查内容。

本文首先对坐标系和参数方程的基本概念进行了介绍，然后分析了高考中常见的考点，包括坐标系相关考点和参数方程相关考点。

接着探讨了如何结合坐标系与参数方程进行考查。

通过解析典型考题，帮助读者更好地理解这一知识点。

最后总结了解题技巧，并对“坐标系与参数方程”在高考中的考查进行了概括。

通过本文的学习，读者可以更好地掌握和应对这一重要的数学考查内容。

【关键词】引言、坐标系与参数方程、高考考查、坐标系、参数方程、结合考查、典型考题、解析、解题技巧、总结。

1. 引言1.1 坐标系与参数方程高考考查概述坐标系与参数方程是高中数学中的重要内容，也是高考中经常考查的知识点。

在考试中，考生需要熟练掌握坐标系的基本知识和参数方程的应用，才能更好地解答相关的题目。

在高考中，关于坐标系的考查主要涉及直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系等内容。

考生需要理解坐标系的概念及特点，能够进行坐标变换和图形的平移、旋转等操作。

参数方程的考查也往往与坐标系密切相关，考生需要掌握参数方程的表示方法和求解技巧，能够正确地进行参数方程的应用分析。

2. 正文2.1 坐标系相关考点分析在高考中，坐标系是数学中的一个基础知识点，也是解决几何问题的重要工具。

学生需要掌握直角坐标系、极坐标系以及球坐标系等各种坐标系的基本概念和性质。

在考试中，常见的坐标系相关考点包括：1. 直角坐标系：学生需要了解直角坐标系的定义、性质以及表示点的坐标等基本知识。

在解题过程中，要能够灵活运用直角坐标系解决几何问题。

坐标系是解决数学中各种几何问题的基础工具，学生需要熟练掌握各种坐标系的概念和性质，并能够灵活运用于解答问题。

在备考高考时，建议多做相关的练习题，加深对坐标系的理解和掌握。

2.2 参数方程相关考点分析参数方程是解决平面上曲线方程的一种方法，通过参数方程可以描述一条曲线上的任意一点的位置。

“坐标系与参数方程”高考考查分析

“坐标系与参数方程”高考考查分析坐标系与参数方程是数学中的重要概念，在高考中经常被考查。

本文将从简单介绍坐标系和参数方程的基本概念开始，然后分析高考中可能会涉及到的相关考题，并给出解题方法和思路。

一、坐标系的概念坐标系是指由直角坐标轴和原点组成的平面或空间上的一个几何结构。

一般来说，二维坐标系由x轴和y轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴互相垂直。

三维坐标系由x 轴、y轴和z轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴在平面上互相垂直，z轴与平面垂直。

二、参数方程的概念参数方程是一种用参数表示的的函数方程。

通常将一个二元函数的两个自变量分别用两个参数表示，并用参数方程将它们联系起来。

在空间曲线方程中，我们常常用参数方程来表示曲线上的各个点的坐标。

对于平面上的一条直线，我们可以通过两个参数t和s来表示各个点的坐标。

三、高考考点与命题思路1. 坐标系的性质和计算高考中，常常会考察学生对坐标系性质的理解和计算能力。

考生可能需要根据已知条件绘制坐标系，并计算平面上的点的坐标。

此类题目主要要求考生对坐标系的性质有清晰的认识，能够正确运用计算方法。

2. 转动曲线方程和参数方程之间的转换高考中，经常会涉及到参数方程和曲线方程之间的转换。

考生可能会被给出一个曲线方程，然后要求将其转化为参数方程，或者反过来。

此类题目要求考生对参数方程和曲线方程之间的关系有较深入的理解，并能够找到相应的转换方法。

四、解题方法与思路1. 掌握基本知识考生需要牢固掌握坐标系和参数方程的基本概念和性质。

只有对基本知识有清晰的认识，才能够灵活运用。

2. 熟练计算能力在解决与坐标系和参数方程有关的题目时，熟练的计算能力是必不可少的。

考生需熟悉坐标系的性质，能够准确计算各个点的坐标。

3. 深入理解思考在解答参数方程和曲线方程之间的转换题目时，考生需要深入理解参数方程和曲线方程之间的关系，找到相应的转换方法。

可以通过观察坐标的变化规律，或者利用变量之间的相关关系来解决。

在全国卷背景下对《坐标系与参数方程》教学内容的思考

角坐标方程的转化袁曲线交点的意义及求法遥
[解法分析]
参数方程与普通方程的转化袁极坐标方程与直角坐标方程
的转化袁体现了数学中的野相互转化思想冶遥此方法是解决这类
问题的基础解法遥要让学生熟练掌握方程转化的公式遥第二问袁
应用解析几何中经过两圆交点的圆系方程解题遥
[教学建议]
直角坐标方程与参数方程尧极坐标方程的互相转化袁是
了解袁在学好重点内容的基础上袁可帮助他们对难点内容进行
自学袁培养他们的自我探究能力遥在高考中袁重点考查极坐标和
参数方程的应用遥其它坐标系袁如院球坐标系等只要了解即可遥
三尧高考真题分析
1.求两曲线交点问题
例 1.2016 年高考新课标玉卷理
解法一院
解院
嗓渊1冤疫
x=acost y=1+asint
揖中图分类号铱G633.6
揖文献标识码铱A
揖文章编号铱2095-3089渊2018冤03-0150-02
随着全国卷在各省份的使用袁全国卷的考试内容和形式也
越来越受到重视遥在平时的教学中袁如何教才能使学生在学到
知识的同时袁在高考中更加适应全国卷的考法袁在考试中取得
好成绩袁是迫切需要解决的问题遥
选修 4-4叶坐标系与参数方程曳是全国卷选考内容之一袁在
疫x2+y2=籽2袁 x=籽cos兹亦x2+y2=4x袁即渊x-2冤2+y2=4
于
C3院化为普通方程为 y=2x,由题意院C1 和 C2 的公共点所在直线即为 C3
淤-于得院4x-2y+1-a2=0,即为 C3 亦1-a2=0, 亦a=1 [考点分析]
本题考点院参数方程与普通方程的转化袁极坐标方程与直

坐标系与参数方程带解析2018年高考理科数学易错点

坐标系与参数方程（带解析2018年高考理科数学易错点）1．(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．2．(2016全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.3．(2017全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x ＝t，y＝at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥23，求实数a的取值范围．解析：(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，设点P(x′，y′)，Q(x，y)，根据中点坐标公式，得x′＝2x－6，y′＝2y，代入x2＋y2－4y＝12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d≤22－32＝1，即|3a－1|a2＋1≤1，解得0≤a≤34.∴实数a的取值范围为0，34.4．(2017全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt，(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk，(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得y＝kx－2，y＝1kx＋2，消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．5．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10，得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.6．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．8．在直角坐标系中圆C的参数方程为x＝2cosαy＝2＋2sinα(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．解由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.9．已知曲线C：x＝33cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－3sinθ)＝12.(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．解(1)依题意可得直线l的直角坐标方程为x－3y－12＝0，曲线C的普通方程为x227＋y23＝1.(2)设P(33cosθ，3sinθ)，则点P到直线l的距离d＝|33cosθ－3sinθ－12|2＝|6cosθ＋π6－12|2，故当cos(θ＋π6)＝1时，dmin＝3.易错起源1、极坐标与直角坐标的互化例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值．【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．解∵ρcos(θ＋π4)＝ρcosθcosπ4－ρsinθsinπ4＝22ρcosθ－22ρsinθ＝32，∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.解方程组x－y＝6y2＝8x，得x＝2y＝－4或x＝18y＝12，所以A(2，－4)，B(18,12)，所以AB＝18－22＋[12－－4]2＝162.即线段AB的长为162.【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．【锦囊妙计，战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0.易错起源2、参数方程与普通方程的互化例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsinθ－π4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－－2＋m|2＝2，解得m＝－3±22.【变式探究】已知直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t －2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【名师点睛】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y 的取值范围．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x ＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．2．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rc osθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(2)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．【名师点睛】(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【锦囊妙计，战胜自我】解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．。