第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用讲义
高考数学大一轮总复习 第四章 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
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22
当 φ＞0 时，y＝sin x 的图象向右平移 φ 个单位可得 y＝sin(x－φ)的图象，可知 C 不正确； 当 φ＜0 时，y＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位可得 y＝sin(x－φ)的图象，故 D 不正确．
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23
【跟踪训练 2】把函数 y＝3sin(2x＋π3)的图象向右平移π6个 单位长度，再向下平移 1 个单位长度，则得到的函数的解析式 是_________.
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9
4. 函数 y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( B )
.
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10
解析：按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
y1 0 121
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：
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11
5. 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示， 则 ω＝__________．
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18
【温馨提示】 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的作法：
(1)五点法：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图， 主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，23π， 2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点 后得出图象．
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15
【思路点拨】 (1)用五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简 图； (2)根据函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，得出结 论．
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16
【解答过程】 (1)列表：
2x＋π4
0
π 2
2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件
π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1
2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．
高考数学总复习 专题03 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文
66
36 3 6 3
x 7 ，所以当 x 时，最小值为 2sin( ) 3 ，
36 3 6
63 3
3
当 x 时，最大值为 2sin 2，所以最大值与最小值之和
6 32
2
为 2 3 ，选 A.
练习巩固
1.
函数y=sin 2x
3
的简图是A( )
在区间
2
解析：x=-
2
时，y= 3
2
，排除B、D；
x=- 时，y=- 3 ，排除C.
2. 已知简谐运动f(x)=2sin
3
x
F
|
F
|
2
的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正
周期T和初相F分别为( A )
A. T=6，F=
B. T=6，F=
6
C. T=6，F=
3
D. T=6，F=
6
6 32
所以周期为T＝2(5 － )＝，所以＝2 ＝2.
63
T
此时解析式为y＝ 3sin(2x＋)．
以点( ，0)为"五点法"作图的第一个零点，
3
则有2 ＋＝0，故＝－ 2 .
3
3
所以所求函数的解析式为y＝ 3sin(2x－ 2 ).
3
11.如图，函数y＝2cos(x＋q )(x R, 0 q )
的函数解析式．
分析：(1)根据几何关系列出h与q的函数关系式；
(2)求得角速度
30
，求出q代入即可．
解：(1)由题意可作图如下．
过点O作地面平行线ON，过点
B作当Oq>N的时垂，线∠BBMO交MO=Nq-于M点．
2
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2π 2π 3cos －sin 3 3
3 ＝10. 2
故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)
＝10－2
3 π 1 π cos t＋ sin t 2 12 2 12
π π ＝10－2sin12t＋3 ，
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m 个单位 y 轴对
长度后，得到
1 1 π y＝sin2x＋2m＋6的图象，此图象关于
1 π π 2π 称．则2m＋6＝kπ＋2(k∈Z)；m＝2kπ＋ 3 (k∈Z)，又 m＞0， 2π ∴m 的最小值为 3 . 2π 答案： 3
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第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
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第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
结束
第四节
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
基础盘查一 2 3 4π π －4
基础盘查二
π 7π 13π ，0，(2π，2)， ，0，(5π，－2)， ，0 2 2 2
结束
3．解析：将函数
π π y＝tan ωx＋4 (ω＞0)的图象向右平移 6个单位长 π ωπ y＝tanωx＋4－ 6 (ω＞0)的图象，与函数
度后，得到函数
y k
π π ωπ π ＝tan ωx＋6 的图象重合，所以 4－ 6 ＝6＋kπ(k∈Z)，所以
1 ＝0 时，ω 的最小值为2. 1 答案：2
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第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 精讲附配套练习
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) 【导学号：01772040】A.12B.1C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B.1C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0B.恒小于0C ．等于0 D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]。
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)AT= f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编] 若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间0, π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .4.[教材改编] 已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度.6.设ω>0,若函数f (x )=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin (ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= .8.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2 课堂考点探究探究点一 函数y=Asin (ωx+φ)的图像变换1 (1)将函数y=2sin 2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3(2)函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为( )A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6)(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=√2cos 3x的图像( )A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π4个单位长度个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A (2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2为图像的一个最高点),B-5,0,则函数f(x)=.2图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.,1式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且Aπ2,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三 函数y=Asin (ωx+φ)的图像与性质3 (1)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P (0,1),则函数f (x )=sin (ωx+φ) ( ) A.在区间[-π6,π3]上单调递减 B.在区间[-π6,π3]上单调递增 C.在区间[-π3,π6]上单调递减 D.在区间[-π3,π6]上单调递增(2) 函数y=cos (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A ,B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2√2,则该函数图像的一条对称轴为 ( )图3-19-6A.x=π2B.x=-π2C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=Asin (ωx+φ)+B (A>0,ω>0)的解析式的一般步骤. (1)求A ,B.确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=M -m 2,B=M+m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-7所示,若f (0)=√3,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图像,求函数g (x )在区间0,π2上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四 三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m 的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O 距离水面2 m ,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P 从水中浮现(即到达图中点P 0)时开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h (m )表示为时间t (s )的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.课时作业一、填空题1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________.2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y＝sin(2x＋π2) ②y＝cos(2x＋π2) ③y＝sin(x＋π2) ④y＝cos(x＋π2)4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.①ω＝1，φ＝2π3②ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π36．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．13．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
数学配套：第3章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及3角函数模型的简单应用
第四节函数y＝A sin（ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲下载】1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义;能画出y＝A sin（ωx＋φ）的图象，了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:x－错误!－错误!＋错误!错误!错误!－错误!错误!ωx＋φ0错误!π3π22πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A02．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx＋φ)(A>0,ω〉0）的图象的步骤法一法二步骤1错误!错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!错误!得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象步骤4错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!步骤2向左（右）平移,错误!个单位长度错误!步骤3错误!3．函数y＝A sin（ωx＋φ）(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))的物理意义(1）振幅为A.(2)周期T＝错误!.(3）频率f＝1T＝错误!。
（4)相位是ωx＋φ.(5）初相是φ。
1．用五点法作y＝A sin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，错误!，π，错误!，2π,然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？提示:可以看出，前者平移｜φ｜个单位长度，后者平移错误!个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( )A．2,错误!，－错误!B．2，错误!,－错误!C．2，错误!,－错误!D．2，错误!，－错误!解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin错误!的振幅为2，周期为π，频率为错误!,初相为－错误!.2．函数y＝cos x（x∈R)的图象向左平移错误!个单位长度后，得到函数y＝g（x)的图象，则g(x)的解析式应为g（x)＝( ）A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x解析：选A 将y＝cos x向左平移错误!个单位长度得y＝cos错误!＝－sin x.3．将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( ）A．x＝错误!＋错误!,k∈Z B．x＝错误!＋错误!，k∈ZC．x＝错误!－错误!，k∈Z D．x＝kπ－错误!，k∈Z解析：选B y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,得y＝sin 错误!＝sin错误!。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及角函数模型的简单应用 2019高考数学 考点精讲
因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， π kπ π 令 2x＋6＝kπ，k∈Z，解得 x＝ 2 －12，k∈Z， 即
kπ π y＝g(x)图象的对称中心为 2 －12，0，k∈Z， π 最近的对称中心为－12，0.
其中离原点 O
突 破 点
一
突
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1.“五点法”画图
(1)y＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)， π 3π ，1，(π，0)， ，－1，(2π，0)，图象如图①所示． 2 2
(2)y＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)， π 3π ，0，(π，－1)， ，0，(2π，1)，图象如图②所示． 2 2
突 破 点 一 突 破 点 二 课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
突破点(一)
基础联通
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
抓主干知识的“源”与“流”
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)， 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ
2π 1 ω ωx ＋φ ______ f＝T＝ ω 2π T＝____
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
第4节函数y=Asin(wx+φ)图像及三角函数模型的简单应用
又 x= π 是其图象的一条对称轴, 6
∴f π =4 或 f π =0.
6
6
代入验证可知选项 B 符合.故选 B.
确定 y=Asin(ωx+ )+b(A>0,ω>0)
的步骤和方法:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,
M m M m
则 A=
,b=
2
则x
→x+
,则顶点
π ,2
→ π
,2 ,
2
4 3
得 =- π ,f(x)=2sin 2 x π ,
6
12
∴f(0)=-1.故选 B.
法二 由题图知 A=2,且 f π 3
=2sin 2π =2,
2 3
3
所以g(x)在源自0,5π 24
上的值域为[-3,6].
(1)熟记由 y=sin x 的图象变换到函
数 y=Asin(ωx+ )图象的方法步骤,明确既可
先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但应注意 两种变换方法中平移的单位长度是不同的.
(2)在 x 轴方向上进行平移时,特别注意只是针对于 x
【例 2】 (2012 德州一模)已知函数
y=Asin(ω x+ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,两
π
π
条对称轴间的最短距离为 ,直线 x= 是其图
2
6
象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )
(A)y=4sin 2x π 6
(C)y=-2sin x π +2 3
设∠PMN=θ,
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时ωx+ =0; “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+ = π ;
第四章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
_0__
π
2
_π__
3π 2
_2_π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
返回
3.由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
返回
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后
变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变 方法
换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数
提取后再确定平移的单位长度和方向
可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变
为一致，通过列方程求解，如 y＝sin 2x 变为 y＝sin( 2x
方程 思想
＋π3 )，可设平移 φ 个单位长度，即由 2(x＋φ)＝2x＋π3 解得 φ＝π6，向左平移π6，若 φ＜0 说明向右平移|φ|个单 位长度
3 ∠HRQ＝π6，则 tan∠QRH＝A3＝ 33，解得 A＝ 3.又 P(1， 3)是 图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又因为 0<φ<π2，所 以 φ＝π6，所以 f(x)＝ 3sinπ3x＋π6，f(0)＝ 3sin π6＝ 23.故选 B.
[答案] B
[方法技巧]
返回
考法二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例 3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数 f(x)＝sin(ωx－φ)
|φ|≤π2的部分图象如图所示，则 ω 和 φ 的值是
()
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
4
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考点一 考点二 考点三
⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)倍，纵坐标不变，得到 y
＝sin(ωx＋φ)；
⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍，横坐标不变，就得到 y＝Asin(ωx
＋φ)的图象．
6
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考点一 考点二 考点三
[四基自测]
1．(教材改编)电流 i(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系是 i＝5sin100πt＋π3，
t∈[0，＋∞)，则电流 i 变化的初相、周期分别是( )
A．π3，510
B．π6，1100
3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， 振幅 周期
频率
相位 初相
ω>0)， x∈[0， ＋ ∞)表 示 A
一个振动量时
2π T＝_ω__
f＝T1＝2ωπ ω__x_＋__φ_
φ
5
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考点一 考点二 考点三
_ωπ_－__ωφ__ 0 0__
3π 2
_23_ωπ_－__ωφ__ －1 _－__A_
2π
2_ωπ_－___ωφ_ 0 _0 _
2
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考点一 考点二 考点三
(2)描点：_－__ωφ__，__0_ ，_2π_ω_－__ωφ__，__A_，_ωπ_－__ωφ__，__0_，_23_ωπ_－__ωφ__，__－__A__，_2ω_π_－__ωφ__，__0_ ． (3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一 个周期内的图象．
高考数学总复习第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
重点保分型考点——师生共研
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π
5π
3
6
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期
(A＞0，ω＞0)
A
T＝
2π ω
频率 相位 初相 f＝T1＝2ωπ ωx＋φ φ
返回
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
返回
考点三 三角函数的图象和性质的综合问题
重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(2018·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋ 3sin x)． (1)求f(x)的最小正周期；
解：f(x)＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＋
23＝sin2x－π3＋
23，
故函数f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
x
－ωφ
－ωφ＋2πω
π－φ ω
ωx＋φ
__0_
π 2
__π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
3π _2_π__ 2
Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝ Asin(ωx＋ φ) (A>0，
ω>0)，
振幅 周期 频率 2π
A T＝_ω__ f＝T1＝2ωπ
相位 _ω_x_＋__φ_
初相 φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
答案：y＝2sin4x＋π6＋2
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω>0，0<φ<π2 的部 分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题图知，最小正周期T＝2×1112π－51π2＝π， 所以ω＝2Tπ＝2. 因为点51π2，0在函数图象上， 所以Asin2×51π2＋φ＝0， 即sin56π＋φ＝0. 又0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.从而56π＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在 函数图象上，所以Asin π6＝1，得A＝2.故f(x)＝2sin2x＋π6. 答案：f(x)＝2sin2x＋π6
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为
0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为
π 2
，可知
2π ω
＝
π2，得ω＝4.由直线x＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3
＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，从而φ＝kπ－56π，k∈Z.又0<φ<π2，所
以φ＝π6，故函数解析式是y＝2sin4x＋π6＋2.
再将图象上的各点的横坐标缩短为原来的一半，那么 所得图象的函数表达式为________________．
解析：将函数f(x)＝sin
2x－π3
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用重点精选课件 文课件
x＋m＋π 3
的图象，此图象关于 y 轴对称，则 x＝0
时，y＝±2，即
2sin
m＋π 3
＝±2，所以
m＋ π 3＝π 2＋kπ，k∈Z ，由于
m>0，所以
mmin
＝π. 6
【答案】 B
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数解析式的综合问题
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——函数图象与性质的综合问题
[例 3]
(2012·重庆 高考改 编)设函 数 f(x)＝Asin(ωx＋φ )
(其中 A>0，ω>0，－ π<φ≤ π)在 x＝π处取 得最大 值 2， 6
其图 象与 x 轴的 相邻两 个交点 的距离 为π，求 f(x)的解 析式． 2
∴－ 3≤f(x)≤2，故 f(x)的值域为[－ 3，2]．
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(1)图象变换与函数的性质的综合问题； (2)图象变换与函数解析式的综合问题； (3)函数图象与性质的综合问题．
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数性质的综合问题
[例 1]
(2013·湖北 高考)将函 数 y＝
3cos x＋sin x(x∈ R )的
图象 向左平 移 m(m＞ 0)个单 位长度 后，所 得到的 图象关 于
y 轴对 称，则 m 的最 小值是 (
)
A. π 12
B. π 6
C. π 3
D.5 π 6
【解析】 y＝
高考数学大一轮复习 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课件 理 苏教
第九页，共32页。
2．(2013·苏北四市三调)若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 部分图像如图所示，则 ω 的值为________． 解析：由图像可知34T＝6，即 T＝8，所以 ω＝28π＝π4. 答案：π4
第十页，共32页。
[类题通法] 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－2 m， b＝M＋2 m； (2)求 ω，确定函数的周期 T，则可得 ω＝2Tπ；
解析：根据图像可知T2＝56π－π3＝π2，所以 T＝π.所以 ω＝2Tπ＝2ππ＝ 2，即 y＝sin(2x＋φ)．因为图像过点π3，0，即 sin23π＋φ＝0，所
以23π＋φ＝kπ(k∈Z)．又 0<φ≤π2，所以 φ＝π3. 答案：π3
第十九页，共32页。
[ 典 例 ] (2013·安 徽 望 江 中 学 模 拟 ) 如 图 是 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M，N 是它与 x 轴的两个交点，D，C 分别为它的最高点和最低点，点 F(0,1) 是线段 MD 的中点， MD·MN ＝1π82.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的单调递增区间．
第二十页，共32页。
[解] (1)由已知F(0,1)是线段MD的中点，可知A＝2， ∵ MD·MN ＝T4·T2＝1π82(T为f(x)的最小正周期)， ∴T＝23π，ω＝3，∴f(x)＝2sin(3x＋φ)， 设D点的坐标为(xD,2)，则由已知得点M的坐标为(－xD，0)， ∴xD－(－xD)＝14T＝14×23π，则xD＝1π2， 则点M的坐标为－1π2，0，∴sinπ4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin3x＋π4.
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第四章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应
第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4.3．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法两种变换的联系与区别联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(2)把函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、选填题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选A 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 3．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，04.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案：35．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数解析式为________．解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3考点一 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象及变换[师生共研过关][典例精析]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值；(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数f (x )的解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，13π12上的图象如图所示，[解题技法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象变换的的注意点常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．[过关训练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D. 2．若ω＞0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝－72－6k (k ∈Z)，因为ω＞0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52考点二 由图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式[师生共研过关][典例精析][例1] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [解析] 由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点⎝⎛⎭⎫－π2，2，最低点⎝⎛⎭⎫3π2，－2， 所以函数的最大值为2，即A ＝2.由图象可得直线x ＝－π2，x ＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的最小正周期T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π， 故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. 把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)． 又0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. [答案] B[例2] 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为________．[解析] 因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos [2(ωx ＋φ)]，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，由题图知T 2＜1，且3T 4＞1，即43＜T ＜2，所以π2＜ω＜3π4，又因为ω为正整数，所以ω的值为2.[答案] 2[解题技法]确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[过关训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1，故选D. 2．(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23， T ＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23， 即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． 因为|φ|＜π，所以φ＝－3π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4. 考点三 三角函数模型及其应用[师生共研过关][典例精析]据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数简图如图所示，三角函数模型为： y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ， 由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000， T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[过关训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析：设水深的最大值为M ，由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M ＝8，即水深的最大值为8.答案：82．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5考点四 三角函数图象与性质的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．[解] (1)由函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期T＝2×π2＝2π2ω，解得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z)，m ＝k π2＋π6(k ∈Z)，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12， 所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. [解题技法]三角函数图象和性质综合问题的解题策略 (1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期； ②根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．[过关训练](2019·济南模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3＞0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32＜sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
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第三节第四节简单函模的数型逻y的＝辑简A联s单i结n应(ω用词x、＋全φ称)的量图词象与及存三角在函量数词 结 束
1．把 y＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y
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1．若函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图
象如图，则 ω＝
()
第四节
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函 数模型的简单应用
振幅 周期 y＝Asin(ωx＋φ)
频率 相位 初相
(A>0，ω>0)，
A
2π T＝__ω__
f＝T1＝2ωπ
ω__x_＋__φ_
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解析
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如图所示，则f(x)的单调递减区间为
()
A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z
B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z
C.k－14，k＋34，k∈Z
D.2k－14，2k＋34，k∈Z
解析
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3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小
值为0，最小正周期为 π2 ，直线x＝ π3 是其图象的一条对称轴，
则下面各式中符合条件的解析式为
()
A．y＝4sin4x＋π6 C．y＝2sin4x＋π3＋2
B．y＝2sin2x＋π3＋2 D．y＝2sin4x＋π6＋2
考点一 求函数y＝Asinωx＋φ的解析式 基础送分型考点——自主练透
1．(2016·洛阳调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的 部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是 ( )
A．f(x)＝sin3x＋π3 C．f(x)＝sinx＋π3
B．f(x)＝sin2x＋π3
2．要得到函数 y＝sin 2x 的图象，只需把函数 y＝ sin2x＋π3的图象向右平移______个单位长度． 答案：π6
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φ
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x
－__ωφ_
－__ω_φ_＋__2_πω_
π－φ ___ω___
_23_ωπ_－__ωφ_
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1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到 哪个函数的图象；
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利 用诱导公式化为同名函数；
3．由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的 单位数应为ωφ ，而不是|φ|.
＝sin ωx 的图象，则 ω 的值为
()
A．1
B．4
1 C.4
D．2
答案：C
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3．用五点法作函数 y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确 定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：π6，0 23π，1 76π，0 53π，－1 136π，0
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2π－φ ___ω___
ωx＋φ
_0__
π
__2_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
_π _
3π _2_π_
__2_
0
－A
0
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A．5
B．4
C．3
D．2
答案：B
பைடு நூலகம்
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第三节第四节简单函模的数型逻y的＝辑简A联s单i结n应(ω用词x、＋全φ称)的量图词象与及存三角在函量数词 结 束
2．(教材习题改编)函数 y＝23sin12x－π4的振幅为________， 周期为________，初相为________． 答案：23 4π －π4
D．f(x)＝sin2x＋π6
解析
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第三节第四节简单函模的数型逻y的＝辑简A联s单i结n应(ω用词x、＋全φ称)的量图词象与及存三角在函量数词 结 束
2．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象