2015-2016年浙江省绍兴市柯桥中学高二上学期期中数学试卷及答案

2015-2016学年浙江省绍兴市柯桥中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a 的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．22．（5分）若直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，则a=（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．2±23．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与AB1所成角的大小为（）A．B．C．D．5．（5分）一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积为（）A．B．+1 C．D．+26．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．37．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π8．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 9．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心O，则PO长为；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．12．（4分）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=．13．（4分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是．14．（4分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为．15．（4分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B﹣AC﹣D的平面角的余弦值．16．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是它的体对角线BD1上一动点，则|AP|+|PC|的最小值是．三、解答题（15+15+15+15+16=76）17．（15分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．18．（15分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．19．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（16分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（Ⅰ）若过定点（﹣2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省绍兴市柯桥中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a 的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，∴k AB=k AC，即=，解得：a=4，故选：B．2．（5分）若直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，则a=（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．2±2【解答】解：∵直线2（a+1）x+ay﹣2=0与直线ax+2y+1=0垂直，∴2（a+1）×a+a×2=0，解之得a=﹣2或0．故选：C．3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，设正方体的上底面为α，则在下底面内任意取两条直线m、n，有m∥α且n∥α，但不一定有m∥n成立，故是假命题；对于B，m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质，可以得到n⊥α，故正确；对于C，m∥α，m∥β，则α∥β或α、β相交，故是假命题；对于D，m∥α，α⊥β，则m与β平行、相交、m在β内都有可能，故不正确．故选：B．4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与AB1所成角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AD1、B1D1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，可得AD1∥BC1，因此∠D1AB1（或其补角）就是异面直线BC1与AB1所成角．又∵设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，可得△D1AB1是边长为的等边三角形，∴∠D1AB1=，即异面直线BC1与AB1所成角等于．故选：B．5．（5分）一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积为（）A．B．+1 C．D．+2【解答】解：根据题意，得：原图形为一直角梯形，且上底为1，高为2，下底为1+，所以，它的面积为S=×（1++1）×2=2+．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．7．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选：B．8．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．9．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．10．（5分）已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心O，则PO长为；其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形，故①正确；对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2=PM2+MA2，PB2=PM2+BM2，PC2=PM2+CM2，因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM=AM=CM，故PA=PB=PC，故②正确；对于③，当PC⊥平面ABC时，S△PCM=PC•CM=×5×CM．CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为，的最小值是×5×=6，故③错误；所以S△PCM对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2=PC2，又内切圆半径r=（3+4﹣5）=1，所以OC=，PO2=PC2﹣OC2=25﹣2=23，故PO=，故④正确．综上，正确的命题有①②④．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：．12．（4分）若两圆x2+y2=1和（x+4）2+（y﹣a）2=25有三条公切线，则常数a=±2．【解答】解：由已知得到两圆相外切，∴圆心距，解得．故答案为：±2．13．（4分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是b ⊂α或b∥α．【解答】解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b当b∥α时，a⊥α，则a⊥b故当a⊥b，a⊥α⇒b⊂α或b∥α故答案为：b⊂α或b∥α14．（4分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为50π．【解答】解：圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积，该半圆的半径即为圆锥的母线长10，所以圆锥的侧面积为=50π．故答案为：50π．15．（4分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：设菱形中心为O，连接OB，OD，∵AB=BC=CD=AD=1，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是正三角形，∵O是AC的中点，∴OB=OD=，OB⊥AC，OD⊥AC，∴∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角．在△OBD中，由余弦定理得cos∠BOD==．故答案为．16．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是它的体对角线BD1上一动点，则|AP|+|PC|的最小值是．【解答】解：将平面BCD1与平面ABD1沿着BD1展平到一个平面．然后连接AC 与BD1的交点就是要求的点P的位置．此时|AP|+|PC|的最小值就是展开后的线段AC的长度，所以所求的值为AC=2×=，故答案为：．三、解答题（15+15+15+15+16=76）17．（15分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．【解答】解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…（4分）把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（6分）（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…（8分）则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…（10分）∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…（12分）18．（15分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．【解答】解：（1）由几何体的三视图知：该几何体是一个侧棱长为2，底面直径为2的圆锥和高为1直径为2的圆柱的组合体，∴此几何体的表面积S=2π×1+2π=4π．（2）此几何体的体积：V=π×1+=（+1）π．19．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：取PC的中点M，连结MF、ME，又∵F是PD的中点，∴MF∥DC，且BE=C，又DC∥AE，∴MF∥AE，又E是AB的中点，且AB=CD，∴MF=AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，又EM⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC；（2）解：∵侧棱PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CD⊥平面PAD∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∵PA=AD=1，AB=2，∴PC=，∴sin∠CPD==，即PC与平面PAD所成的角的正弦值为．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）∵AC⊥PD，PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD．…（3分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC⊥BD．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．…（5分）∵PO⊥平面PAC，∴BD⊥PO．…（7分）∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO．∴PB=PD．…（8分）（Ⅲ）解：不存在．下面用反证法加以证明．…（9分）假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．在菱形ABCD中，BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．…（11分）∵BM∥平面PBC，BC⊂平面PBC，BC∩BM=B，∴平面PBC∥平面PAD．…（13分）这与平面PBC与平面PAD相交矛盾，故假设不成立．∴在棱PC上不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．…（14分）21．（16分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（Ⅰ）若过定点（﹣2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9．得到圆心C（1，﹣2），半径r=3．当直线l的斜率不存在时，直线x=﹣2与⊙C相切，因此直线x=﹣2是圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+2），则圆心C到切线l的距离d=r．∴，解得．∴切线l的方程为，即5x﹣12y+10=0．综上可知：切线l的方程为x=﹣2或5x﹣12y+10=0．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l方程为：．联立化为，∴x1+x2=，∴=，=．∴P．（III）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．设E（x1，y1），F（x2，y2）．设直线l的方程为y=x+m．联立，化为2x2+（2+2m）x+m2+4m﹣4=0．∵直线l与圆相交于不同两点，∴△=（2+2m）2﹣8（m2+4m﹣4）＞0，化为m2+6m ﹣9＜0．（*）∴x1+x2=﹣（1+m），．∵=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）==m2+4m﹣4﹣m（1+m）+m2=0，解得m=﹣4或1，经验证满足（*）．∴存在斜率为1的直线l：y=x﹣4或y=x+1满足题意．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。