第七次作业

第七次作业
1.函数33
3z x y xy =+-在点(1,2)处沿方向43l i j =- 的方向导数为39
5
-。

解
(1,2)(1,2)
3,9,5z z
l x y
∂∂=-==∂∂
43cos ,cos 55αβ==- 由公式得：
(1,2)
395
z
l
∂=-∂
2.函数
223
u x y yz =+在点
(1,2,1)
处的梯度为
856i j k ++ 。

解 (1,2,1)
gradu 2
232
(1,2,1){2,2,3}
xy x y z yz =+
{8,5,6
}= 3.对二元函数(,)z f x y =而言()A 。

A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在；
B.
(,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导
数存在；
C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续；
D ．以上结论都不对。

解
x y f f ，存在且连续f ⇒可微⇒沿任一方向的方向导数存在。

4.若函数(,,)u u x y z =在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在
且不全为0，则向量,,u u u x y z ⎧⎫
∂∂∂⎨⎬∂∂∂⎩⎭
的方向是函数u 在点
(,,)x y z 处的()B 。

A ．变化率最小的方向；
B ．变化率最大的方向；
C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向；
D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。

解 方向{,,}u u u x y z
∂∂∂∂∂∂，即梯度方向，沿梯度方向变化率最大。

5.设函数
223
(,,)3f x y z x yz xy z
=-+，求在点(1,1,0)
-处沿从点(1,1,0)-
到点(2,2,的方向的方向导数。

解 (1,1,0)1f x -∂=-∂, (1,1,0)2f y
-∂=∂,
(1,1,0)1f
z -∂=-∂ 从110-（，，）
到22（，的方向
即{13l = ，，4l =
，1cos 4α=,3cos 4β=
,cos 4
γ=
故f l ∂=∂ (1,1,0)cos f x α-∂⋅∂(1,1,0)
cos f
y
β-∂+
⋅∂
(1,1,0)5cos 4f z γ-∂-+⋅=∂ 6.设()cos ,sin l e θθ= ,求函数()22,f x y x xy y =-+在
点
()1,1沿方向l 的方向导数,并分别确定角θ,使方向导数有:(1)
最大值;(2)最小值;(3)等于0。

解
()
()()1,11,121
f
x y x ∂=-=∂
()
()
()
1,11,1-21f
x y y
∂=+=∂
方向导数:
(
)
1,11cos 1sin sin 4f l
πθθθ∂⎛
⎫=⋅+⋅=+ ⎪∂⎝⎭
当4πθ=时
,max f
l ∂=∂ ,当34πθ=
时,0f l
∂=∂ 当54πθ=时
,min
f l ∂=∂
7.求函数
22
221()x y
z a b =-+在
点(
,)a b 处沿曲线2
2
221x y
a b
+=在这点的内法线方向的方向导数。

解
z x
a ∂=-∂
，z y b ∂=-∂ 曲线2
2
221x y
a b
+=的切线的斜率是tan b a α=-,
从而内法线的斜率为tan a
b
θ=，由此得内法线的方向余弦：
cos b θ-=
sin a
θ-=
所以，
z l
∂=
∂()b
a -⋅-（）
((b
a
+-⋅-
ab =。