福建省厦门第一中学高三高考模拟9 数学(文)
福建省厦门第一中学2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试题(3月)
福建省厦门一中2022-2023学年(下)3月阶段性诊断练习初三年数学试卷命题:陈奕;审核:郑辉龙2023.3 (满分:150分,考试时间:120分钟)注意事项:1.答案一律写在答题卡上,否则不得分;2.可直接用2B 铅笔画图.一、选择题(本大题有8小题,每小题4分,共32分) 1.(−2)0=A .1B .-2C .0D .−122.如图1,由四个正方体组成的几何体的左视图是A .B .C .D .3.反比例函数y =4x 的图象经过以下各点中的A .(2,12)B .(3,34)C .(-2,-2)D .(4,-1)4.如图,将△ABC 折叠,使AC 边落在AB 边上,展开后得到折痕l ,则l 是△ABC 的A .中线B .高C .角平分线D .中位线5.当物体表面所受的压力F (N )一定时,物体表面所受的压强P (Pa )与受力面积S (m 2)的函数关系式为P =FS(S ≠0),这个函数的图象大致是A .B .C .D .6.如图,在直角△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,则sin A =A .BC ACB .ACABC .AD ACD .BD BCPSOPSO正面lCBA DCBA7.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,…边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R ,圆内接正六边形的周长l 6=6R ,则π=l 62R=3,再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率,则圆周率π约为 A .12sin15°B .12cos15°C .12sim30°D .12cos30°8.已知抛物线y =2x 2−bx 上有点(m ,n ),且m 是关于x 的方程4x −b =0的解,则下列说法正确的是A .对于任意实数x ,都有y ≤nB .对于任意实数x ,都有y ≥nC .小树于任意实数x ,都有y <nD .对于任意实数x ,都有y >n二、填空题(本大题有8小题,每小题4分,共32分) 9.已知锐角α满足cosα=√32,则α=_______°.10.因式分解:x 2+2x +1=_______.11.写一个常数k =_______,使反比例函数y =kx (k ≠0)图象满足:在同一象限内y 随x 的增大而增大. 12.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛,对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分,具体成绩(百分制)如表所示.如果按照创新性占60%,实用性占40%计算总成绩,并根据总成绩择优推荐,那么应推荐的作品是_______. 13.如图,某小区门口的栏杆短臂AO =1m ,长臂OB =12m .当短臂端点高度下降AC =0.5m ,则长臂端点高度上升BD 长等于_______m (栏杆的宽度忽略不计).14.如图,以O 为位似中心,将△AOB 放大得到△COD ,其中B (3,0),D (4,0),则△AOB与△COD 的相似比为_______.15.如图,以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P 为切点,AB =2√3,OP =1,则劣弧⌒AB 的长为_______.A 12A 11A 10A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2M A 1O O FE D C B A 第14题DCB A Oy x第15题第13题16.如图,△OMN是边长为10的等边三角形,反比例函数y=kx(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B(点B不与点M重合).若AB⊥OM 于点B,则k的值为_______.三、解答题(共9题,满分86分)17.(本题8分)(1)计算:2sin45°+│−√2+2−1│;(2)解不等式组:{x+3>2①2x−13≤1②.18.(本题8分)如图,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:AF=BE.19.(本题8分)学收为实现垃圾分类投放,准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元;购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.求大、小两种垃圾桶的单价.20.(本题8分)如图,一次函数y=k+b(k≠0)与反比例面数y=mx(m≠0)的图象相交于A(-3,-2),B(n,6),直线AB与x轴、y轴分别交于C、D两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)直接写出关于x的不等式kx+b>mx的解集.21.(本题8分)如图,一艘海轮自西向东航行,在点B处时测得海岛A位于北偏东67°,航行12海里到达C点,又测得小岛A在北偏东45°方向上.已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁,如果渔船不改变航线继续向东航行,那么它有没有触码的危险?请说明理由.(参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tm67°≈125)编号A1A2A3A4A5A6A7每日峰时段用电量占比80%20%50%10%20%50%60%第16题FEDCBA东北45°67°CBA22.(本题10分)已知△ABC 中,∠A =22.5°,∠B =45°.(1)求作:⊙O ,使得圆心O 落在AB 边上,且⊙O 经过A 、C 两点;(尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)(2)在(1)所作的图形中,若与AB 相交于D ,连接CD ,①求证:直线BC 是⊙O 的切线; ②求tan ∠BCD 的值.23.(本题10分)【阅读理解】某市电力公司对居民用电设定如下两种收费方式:方式一:“分档”计算电费(见表一),按电量先计算第一档,超过的部分再计算第二档,依次类推,最后求和即为总电费;方式二:“分档+分时”计算电费(见表一、表二),即总电费等于“分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和”.如:某用户该月用电总量500度,其中峰时段用电量300度,谷时段用电量200度,若该用户选择方式二缴费,则总电费为:[230×0.5+(420-230)×0.55+(500-420)×0.8+300×0.03+200×(-0.2)=252.5(元). 【问题解决】已知小明家4月份的月用电量相当于全年的平均月用电量,现从他家4月份的日用电量数据中随机抽取7天作为样本,制作成如图表:(1)若从上述样本中随机抽取一天,求所抽取的日用电量为15度以上的概率;(2)若每月按30天计,请通过样本数据计算月用电费,帮小明决定选择哪一种方式缴费合算?CBA 0A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1编号日用电量(度)12131444403814102030405024.(本题12分)定义:若三角形有两个内角的差为90°,则这样的三角形叫做“准直角三角形”.(1)若△ABC 是“准直角三角形”,∠C >90°,∠A =50°,则∠B =_______°; (2)如图1,△ABC 中,∠C =90°,AB =6,BC =2.若D 是AC 上的一点,CD =√22,请判断△ABD是否为准直角三角形,并说明理由;(3)如图2,在四边形ABCD 中,CD =CB ,∠ABD =∠BCD ,AB =5,BD =8,且△ABC 是“准直角三角形“,求△BCD 的面积.25.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =−x 2+bx +c 与x 轴交于A (-1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点,作DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点F ,过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴和y 轴分别交于点G 、H ,设点D 的横坐标为m . ①求DF +HF 的最大值;②连接EG ,若∠GEH =45°,求m 的值.图1D CBA图2DCB AABCD备用图备用图。
福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷
福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷一、单选题1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)xP y y M x y x ==+==-,则集合M 与集合P 的关系是( )A .M P =B .P M ∈C .M P ⊆D .P M ⊆2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且公差不为0,若4a ,5a ,7a ,成等比数列,1166S =,则8a =( ) A .7B .8C .10D .1233.已知偶函数2()1f x ax bx ++=的定义域[a ﹣1,2],则函数()f x 的值域为( ) A .(﹣∞,1) B .(﹣∞,1] C .[﹣3,1] D .[1,+∞)4.已知3cos 5α=,3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin 2α=( )A B . C .45D 5.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞B .(],4∞-C .[)2,+∞D .[)4,+∞6.四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,四条侧棱的长均为)A .B .CD .7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数,将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到()y g x =的图象.若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π,则( ) A .2ω=B .()g x 的图象关于直线π3x =对称 C .()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D .若()π2f =-,则()g x 在区间[]0,π8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ,函数()f x 的图象关于点()1,1--对称,函数g x +1 的图象关于y 轴对称,()()211f x g x +++=-,()40f -=,则()()20302017f g -=( ) A .4-B .3-C .3D .4二、多选题9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为34,23,两人能否获得满分相互独立,则( )A .两人均获得满分的概率12B .两人至少一人获得满分的概率712C .两人恰好只有甲获得满分的概率14D .两人至多一人获得满分的概率1210.已知函数() cossin f x x x x =-,则( ) A .函数()f x 在2x π=时,取得极小值1-B .对于()0,x π∀∈,()0f x <恒成立C .若120x x π<<<,则1122sin sin x x x x < D .若sin x a b x<<,对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为111.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l :1y =-的距离之和等于4的点的轨迹,若()00,P x y 在曲线C 上,则( )A .曲线C 关于x 轴对称B .曲线CC .曲线C 及其内部共包含了19个整点(即横、纵坐标均为整数的点)D .点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92三、填空题12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为. 13.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,A 为C 上一点,且|AF |=5,O 为坐标原点,则OAF △的面积为.14.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,π4ππ633ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则ω的可能取值为.四、解答题15.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos a c b C +=. (1)求B ;(2)若AC =点D 是线段AC 上的一点,且ABD CBD ∠=∠,4BD =.求ABC V 的周长. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,//BC AD ,1AB BC ==,3AD =,点E 在AD 上,且PE AD ⊥,2PE DE ==.(1)若F 为线段PE 中点,求证://BF 平面PCD .(2)若AB ⊥平面PAD ,求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.17.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数,()ln h x kx =,且()()()()2332f g f g >. (1)若()()()u x f x g x =+,证明:102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭;(2)若()()()u x f x h x =-,()24f =,且()0u x ≥,求k 的取值范围;(3)若()()()u x g x h x =,()21f =,()ln e k g =,证明:()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.18.已知椭圆E :()222210+=>>x y a b a b,A ,B 分别是E 的左、右顶点,P是E 上异于A ,B 的点,APB △的面积的最大值为(1)求E 的方程;(2)设O 为原点,点N 在直线2x =上,N ,P 分别在x 轴的两侧,且APB △与NBP △的面积相等.(i )求证:直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值;(ⅱ)是否存在点P 使得APB NBP ≌△△,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球,并且各箱中35是红球,25是白球.(1)当5N =时,分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本,设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ,从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ,求()E X ,()E Y ,()D X ,()D Y ;(2)当10N =时,采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本,设()12345k A k =,,,,表示“第k 次取出的是红球”,比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小; (3)由概率学知识可知,当总量N 足够多而抽出的个体足够少时,超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球,恰有2个红球的概率记作1P ;从乙箱中有放回地取3个小球,恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时,我们可以在误差不超过0.003(即120.003P P -≤)17.03≈)。
2024年福建省厦门市思明区福建省厦门第一中学中考模拟数学试题
2024年福建省厦门市思明区福建省厦门第一中学中考模拟数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用0.0000007cm 工艺制程,数0.0000007用科学记数法表示为( )A .6710-⨯B .7710-⨯C .60.710-⨯D .70.710-⨯ 2.如图是由长方体和圆柱体组成的几何体,则它的左视图是( )A .B .C .D . 3.下列算式,能按照“底数不变,指数相加”计算的是( )A .2a a +B .⋅2a aC .()23aD .3a a ÷4.如图,在Rt ABC △中,8AB =,30A ∠=︒,D 、E 分别为AB AC 、的中点,则DE 的长为( )A .2B .3C .4D .5.下表是某社团20名成员的年龄分布统计表,数据不小心被撕掉一块,仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是( )A .平均数B .方差C .中位数D .众数6.如图,ABC V 中,90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒,将ABC V 绕点C 顺时针旋转90︒ 得对应DEC V ,连接BE ,则BED ∠的大小为( )A .45︒B .30︒C .22.5︒D .15︒7.如图,四边形ABCD 内接于O e ,O e 的半径为4,120D ∠=︒,则»AC 的长是( )A .πB .43πC .83πD .4π8.已知点()6,3M a -,()2,N a -,()2,P a 在同一个函数图象上,则这个函数图象可能是( )A .B .C .D .9.小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点:; N这一画图过程体现的数学依据是( )A .两直线平行,同位角相等B .两条平行线之间的距离处处相等C .垂直于同一条直线的两条直线平行D .两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例10.抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ,过点C 作直线l 垂直于y 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,其余部分保持不变,组成图形G ,点()11,M m y -,()21,N m y +为图形G 上两点,若12y y <,则m 的取值范围是( )A .1m <-或0m >B .1122m -<<C .0m ≤D .11m -<<二、填空题11.因式分解221x x -+=.12.二次函数2y 2(x 1)3=-+的图象的对称轴是直线.13.某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况,随机抽取40名学生,调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图,那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有名.14.某手表厂抽查了10只手表的日走时误差,数据如下表所示(单位:s ):则这10只手表的平均日走时误差是s .15.如图,在△ABC 中,ACB 90∠=︒,AC=3,AB=5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,交BC于点E ,则CE 的长等于.16.以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE ⊥AC ,垂足为E .若双曲线y=32x(x >0)经过点D ,则OB•BE 的值为.三、解答题17.解不等式组:24(1)112x x x -≤+⎧⎪⎨-<⎪⎩,并将解集在数轴上表示出来.18.如图,在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别为边AB CD 、的中点,连接、DE BF .求证:ADE CBF V V ≌.19.先化简,再求值:2232111a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭,其中a = 20.如图,AB 是O e 的直径,AD 平分BAC ∠,交O e 于点D ,过点D 作直线DE AC ⊥,交AC 的延长线于点E ,交AB 的延长线于点F .(1)求证:EF 是O e 的切线;(2)过点O 作OH AD ⊥,交AD 于点H ,连接BD ,若6BD =,AH =求O e 的半径长. 21.如图,已知90MON ∠=︒,A ,B 为射线ON 上两点,且OB BA <.(1)求作菱形ABCD ,使得点C 在射线OM 上(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,连接AC ,OD ,当OAC OCB ∽△△时,求tan ODC ∠的值. 22.一副扑克牌(大、小王除外)有四种花色,且每种花色皆有13种点数,分别为2、345678910J Q K A 、、、、、、、、、、、,共52张.某扑克牌游戏中,玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌之点数大小.“牌值”的计算方式为:未发牌时先设“牌值”为0;若发出的牌点数为2至10时,表示发出点数小的牌,则“牌值”加2;若发出的牌点数为J Q K A 、、、时,表示发出点数大的牌,则“牌值”减2.例如:从该副扑克牌发出了6张牌,点数依序为3A 89Q 5、、、、、,则此时的“牌值”为02222224+-++-+=.请根据上述信息回答下列问题:(1)若该副扑克牌发出了1张牌,求此时的“牌值”为2-的概率;(2)已知该副扑克牌已发出32张牌,且此时的“牌值”为24.若剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等,求下一张发出的牌是点数大的牌的概率.23.小明发现用吸管吹气,能发出不同的音调.通过查阅资料,他得知:用吸管吹气时,吸管内部的空气振动导致声音产生,而吸管的长度影响了空气振动的频率,并最终决定了音调的不同,所以发出不同的音调.小明和同学动手试验,并按以下步骤操作:①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度;②用同样的力气通过吸管吹气,借助仪器记录下吸管中空气振动的频率;③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为()mm x 和()kHz y ,对收集到的数据检查、整理;④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出,绘制成如图所示的y 与x 对应关系的散点图.(1)表1记录了收集到的四组()A B C D 、、、数据,同学们在仔细检查、整理数据时,发现这四组数据中的一组有错,请直接写出有出错的这组数据______(填写组别代号),不必说明理由;(表1)(2)根据散点图,同学们猜想y 与x 的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系,并将由每组数据计算所得的系数(精确到个位)作为y 与x 的对应关系中的系数.小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管,成功地吹奏出la 的音.(表2)你知道小明剪出的吸管长度是多少(精确到个位)?并说明你的理由. 24.抛物线234(0)y ax ax a a =-++>与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、B ,CD 平行于x 轴交抛物线于另一点D ,点M 是x 轴上一动点,连接MD ,过点M 作MK MD ⊥交y 于点K (点K 在线段OC 上,不与点O 重合),(1)求A 、B 、D 三点的坐标(D 点坐标用含a 的式子表示).(2)若点K 的坐标为90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,则线段OB 存在唯一一点M , ①求抛物线的解析式②如图2,连接BC ,点P 为直线BC 上方抛物线上的动点,过点P 作PQ BC ⊥于点Q ,连接CP ,是否存在点P 使PCQ △中某个角恰好等于ABC ∠的2倍?若存在,请求出点P 的横坐标,若不存在,请说明理由.25.在Rt EBC V 中,90EBC ∠=︒,点A 在EB 边上.以AC 为斜边作Rt DAC V ,使得B 、D 两点在直线AC 的异侧,且DAC BEC ∠=∠,AD 与EC 交于点F .(1)求证:DCF ACB ∠=∠;(2)连接DE ,若45BEC ∠=︒,判断DE 与AC 的数量关系;(3)若CA BE =,过点A 作AH EC ⊥,垂足为H .求证:EH AF =.。
2023届福建省厦门市高三年级上册学期12月第一次质量检测模拟考数学试题【含答案】
厦门市2023届高中毕业班第一次质量检测模拟考数学试卷满分150分 考试时间120分钟考生注意:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则等于( ){}2log 1A x x =≥{}260B x x x =--<()R A B A. B. C. D.{}21x x -<<{}22x x -<<{}23x x ≤<{}2x x <2.已知函数,则的值为( )()12log ,03,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩()4f f ⎡⎤⎣⎦A. B. C.D.919-9-193.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图:根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论是不正确的( )A.样本中的女生数量多于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科4.如图,是边长为的正方形,点,分别为边,的中点,将ABCD E F BC CD ,,分别沿,,折起,使,,三点重合于点ABE △ECF △FDA △AE EF FA B C D ,若四面体的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( )P PAEFA. B. C. D.6π12π18π5.已知,若,则等于( )()2cos 221xxf x ax x =+++23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭A. B. C.0D.12-1-6.数列满足,,,则{}n a 1a =2a =()0n a >()22221122112n nn n n n a a aa n a a -+-+--=≥( )2017a = C. D.13233327.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点,分别过、两点作准线的24y x =F A B A B 垂线,垂足分别为,两点,以线段为直径的圆过点,则圆的方程为1A 1B 11A B C ()2,3-C ( )A. B.()()22122x y ++-=()()22115x y ++-=C. D.()()221117x y +++=()()221226x y +++=8.已知函数,则方程恰有两个不同的实根时,实数的()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩()f x ax =a 取值范围是( )A. B. C. D.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设,为复数,且,下列命题中正确的是( )1z 2z 12z z ≠A.若,则12z z =12z z =B.若,则的实部与的虚部互为相反数12i z z =1z 2z C.若为纯虚数,则为实数12z z +12z z -D.若,则,在复平面内对应的点不可能在同一象限12z z R ∈1z 2z10.四张外观相同的奖券让甲,乙,丙,丁四人各随机抽取一张,其中只有一张奖券可以中奖,则( )A.四人中间概率与抽取顺序无关B.在甲未中奖的条件下,乙或丙中奖的概率为23C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立11.已知函数,则下列结论中正确的是( )()22sin cos f x x x x =-A.的对称中心的坐标是()f x (),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭B.的图象是由的图象向右移个单位得到的()f x 2sin 2y x =6πC.在上单调递减()f x ,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.函数内共有7个零点()()g x f x =+[]0,1012.在正四面体(所有棱长均相等的三棱锥)中,点在棱上,满足D ABC -E AB ,点为线段上的动点设直线与平面所成的角为,则下列结2AE EB =F AC DE DBF α论中正确的是( )A.存在某个位置,使得B.不存在某个位置,使得DE BF⊥4FDB π∠=C.存在某个位置,使得平面平面D.存在某个位置,使得DEF ⊥DAC 6πα=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.据统计,夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布,则在此期()21000,100N 间的某一天,该旅游景点的人数不超过1300的概率为______.附:若,则:,()2,X Nμσ ()0.6826P X μσμσ-<≤+=,.()220.9544P X μσμσ-<≤+=()330.9974P X μσμσ-<≤+=14.若,则等于______.()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++ 127a a a +++ 15.已知抛物线的焦点为,,为抛物线上两点,若,为坐标24y x =F A B 3AF FB =O 原点,则的面积为______.AOB △16.已 知 数 列与满足,若,{}n a {}n b ()1122*n n n n a b b a n +++=+∈N 19a =且对一切恒成立,则实数的取值范()3*n n b n =∈N ()33633n n a n λλ≥+-+*n ∈N λ围是______.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,在中,点在边上,ABC △D BC,,.4CAD π∠=72AC =cos ADB ∠=(Ⅰ)求的值;sin C ∠(Ⅱ)若的面积为7,求的长.ABD △AB 18.(本小题满分12分)如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,ABCD ABPE 平面平面,且,,,ABCD ABPE AB =2AB BP ==1AD AE ==AE AB ⊥.AE BP∥(Ⅰ)设点为棱中点,求证:平面;M PD EM ∥ABCD (Ⅱ)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?PD N BN PCD 25若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.N 19.(本小题满分12分)已知数列是公比大于1的等比数列,为数列的前{}n a n S {}n a 项和,,且,,成等差数列.数列的前项和为,n 37S =13a +23a 34a +{}n b n n T 满足,且.*n N ∀∈1112n n T T n n +-=+11b =(Ⅰ)求数列和的通项公式;{}n a {}n b (Ⅱ)令,记数列的前项和为,求.22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数{}n c 2n 2n Q 2n Q 20.(本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量:X ①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示);X ②求的数学期望和方差.X()2P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++21.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,()2222:10x y E a b a b+=>>1F ,离心率为,过点的直线交椭圆于,两点,过点的直线交椭圆于2F 121F 1l E A B 2F 1l E ,两点,且,当轴时,.C D AB CD ⊥CD x ⊥3CD =(Ⅰ)求的标准方程;E (Ⅱ)求四边形面积的最小值.ACBD 22.(本小题满分12分)已知函数,.()ln 1x f x e x =-()xx g x e =(Ⅰ)若在上有两个不等实根,求的范围;()g x a =()0,2a (Ⅱ)证明:.()()20f x eg x +>参考答案一、单选题题号12345678答案BCDCAABB二、多选题题号9101112答案BD ABCABDBC三、填空题13.0..25315.16.13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭四、解答题17.(1)因为…(2分)cos ADB ∠=sin ADB ∠=又因为,所以,4ACD π∠=4C ADB π∠=∠-所以:4sin sin sin cos cos sin 4445C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠-∠==⎪⎝⎭,…(6分)(2)在中,由正弦定理得,ADC △sin sin AD ACC ADC=∠∠故…(8分)()sin sin sin sin sin sinAC C AC C AC C ADADC ADB ADB π⋅∠⋅∠⋅∠=====∠-∠∠,解得,…(10分)11sin 722ABD S AD AB ADB BD =⋅⋅⋅∠=⋅=△5BD =在中,由余弦定理得:ADB △,所以,2222cos 8252537AB AD BD AD BD ADB ⎛=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯= ⎝….(12分)AB =18. (Ⅰ)证明:∵平面平面,平面平面,ABCD ⊥ABEP ABCD ABEP AB =,BP AB ⊥∴平面,又,∴直线,,两两垂直,BP ⊥ABCD AB BC ⊥BA BP BC 以为原点,分别以,,为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标B BA BP BC x y z 系.则,,,,,∴,()0,2,0P ()0,0,0B ()2,0,1D ()2,1,0E ()0,0,1C 11,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴,.11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()0,2,0BP =∵平面,∴为平面的一个法向量,BP ⊥ABCD BPABCD ∵,∴.又平面,∴11002002EM BP ⋅=-⨯+⨯+⨯= EM BP ⊥ EM ⊄ABCD 平面.EM ∥ABCD (Ⅱ)当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.N D BN PCD 25理由如下:∵,,()2,2,1PD =- ()2,0,0CD =设平面的法向量为,则.令,得.PCD (),,n x y z = 20220x x y z =⎧⎨-+=⎩1y =()0,1,2n = 假设线段上存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于.PD N BN PCD α25设,∴.()()2,2,01PN PD λλλλλ==-≤≤ ()2,22,BN BP PN λλλ=+=-∴.2cos ,5BN n ==∴,解得或(舍去)。
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题(解析版)
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A,求定义域得出B,再根据交集的定义写出A∩B.【详解】集合A={x|x2﹣3x+2<0}={x|1<x<2},B={x|y=lg(3﹣x)}={x|3﹣x>0}={x|x<3},则A∩B={x|1<x<2}.故选:A.【点睛】本题考查了集合的基本运算,不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目.2.已知双曲线的一条渐近线为,则双曲线的离心率为()A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a,b的关系,再根据离心率公式计算即可.【详解】∵双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线为,∴,∴双曲线的离心率为e故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质,考查渐近线方程的运用,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待,其中3人担任英语翻译,另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人,恰有1个英语翻译,1个俄语翻译的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可.【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译,1个俄语翻译的事件总数为P (恰有1个英语翻译,1个俄语翻译),故选:C.【点睛】本题考查了古典概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值,再利用两角差的正切公式求得tan(α)的值.【详解】∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(,2),∴tanα,则tan(α)3,故选:A.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角差的正切公式,熟记定义与公式,准确计算是关键,属于基础题.5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题:“今有蒲生一日,长三尺。
2022年福建省厦门第一中学九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1.在平面直角坐标系中,将抛物线253y x =-+向左平移1个单位,再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( ) A .()2514y x =-++ B .()2512y x =-++ C .()2512y x =--+D .()2514y x =--+2.如图,在第一象限内,()23P ,,(,2)M a 是双曲线ky x=(0k ≠)上的两点,过点P 作PA x ⊥轴于点A ,连接OM 交PA 于点C ,则点C 的坐标为( )A .(2,1)B .32,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C .22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .42,3⎛⎫ ⎪⎝⎭3.如图,半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0,2),B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点,则tan ∠OBC 为( )A .13B .2C .24D .2234.2020的相反数是( ) A .12020B .12020-C .-2020D .20205.关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0,则a 的值是( )A .1B .-1C .1或-1D .0.56.一张圆心角为α的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为4,已知4tan 3α=,则扇形纸板和圆形纸板的半径之比是( )A .1304B .22C .23D .6727.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如表:x1- 0 23 4y54-3-下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线2x =;③当04x <<时,0y >;④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4;⑤若()()12,2,,3A x B x 是抛物线上两点,则12x x ≤,其中正确的个数是( ) A .2B .3C .4D .58.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C .依此方式,绕点O 连续旋转2020次,得到正方形202020202020OA B C ,如果点A 的坐标为()2,0,那么点2020A 的坐标为( )A .()2,0-B .()1,1C .(2D .()1,1-9.函数y =ax 2与y =﹣ax +b 的图象可能是( )A.B.C.D.10.如图,阳光透过窗户洒落在地面上,已知窗户AB高1.5m,光亮区的顶端距离墙角3m,光亮区的底端距离墙角1.2m,则窗户的底端距离地面的高度(BC)为()A.1m B.1.2m C.1.5m D.2.4m二、填空题(每小题3分,共24分)11.若点P(2a+3b,﹣2)关于原点的对称点为Q(3,a﹣2b),则(3a+b)2020=______.12.把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置,则图中阴影部分的面积是_____.13.用反证法证明命题“若⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在⊙O的外部”,首先应假设P 在__________.14.已知函数22(0)(0)x x xyx x⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示,若直线y x m=+与该图象恰有两个不同的交点,则m的取值范围为_____.15.在一个不透明的布袋中,有红球、白球共30个,除颜色外其它完全相同,小明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红球的频率稳定在40%,则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____.16.如图,A 是反比例函数(0)ky x x=>图象上的一点,点B 、D 在y 轴正半轴上,ABD ∆是COD ∆关于点D 的位似图形,且ABD ∆与COD ∆的位似比是1:3,ABD ∆的面积为1,则k 的值为____.17.已知关于x 的方程230x x m +-=的一个解为3-,则m=_______. 18.已知x-2y=3,试求9-4x+8y=_______ 三、解答题(共66分)19.(10分)如图,在△ABC 中,点P 、D 分别在边BC 、AC 上,PA ⊥AB ,垂足为点A ,DP ⊥BC ,垂足为点P ,AP BPPD CD=.(1)求证:∠APD =∠C ;(2)如果AB =3,DC =2,求AP 的长. 20.(6分)解方程 (1)2x 2﹣7x +3=1; (2)x 2﹣3x =1.21.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球,上面分别标注数字1,2,3,每个小球除所标注数字不同外,其余均相同.小勇先从口袋中随机摸出一个小球,记下数字后放回并搅匀,再次从口袋中随机摸出一个小球.用画树状图(或列表)的方法,求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率.22.(8分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交AC ,BC 于点D ,E ,过点B 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F .(1)求证:BE DE=;(2)过点C作CG⊥BF于G,若AB=5,BC=25,求CG,FG的长.23.(8分)如图,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,且A,D,C三点在同一条直线上。
2024届福建省厦门第一中学高考模拟(最后一卷)数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟考数学满分:150分考试时间:120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量()23,X N σ ,且()24P x m<<=,()15P x n<<=,则()25P x <<的值为()A.2m n + B.2n m - C.12m - D.12n -【答案】A 【解析】【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.【详解】()()()()()112523352415222m n P x P x P x P x P x +<<=<≤+<<=<<+<<=.故选:A.2.已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,若2A ∈,则m 的取值范围是()A.1122m -≤< B.1122m -≤≤ C.12m ≤-或12m >D.12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-,然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈,所以21021m m +≤-,等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩,解得1122m -≤<.故选:A3.若抛物线2y mx =的准线经过双曲线222x y -=的右焦点,则m 的值为()A.4- B.4C.8- D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意,分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程,代入计算,即可得到结果.【详解】因为双曲线222x y -=的右焦点为()2,0,又抛物线2y mx =的准线方程为4mx =-,则24m -=,即8m =-.故选:C4.已知三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,2AB =,3BC =,4CD =,5BD =,则该三棱锥外接球的表面积为()A.29π4 B.19π2C.29πD.38π【答案】C 【解析】【分析】取BD 中点E ,根据已知可得E 为BCD △的外心,过E 作底面的垂线OE ,使12OE AB =,可得O 为三棱锥外接球的球心,计算球的半径,由球的表面积公式可得结果.【详解】在BCD △中,因为3BC =,4CD =,5BD =,所以222BC CD BD +=,所以BC CD ⊥,取BD 中点E ,则E 为BCD △的外心,且外接圆的半径为1522r BD ==,过E 作底面的垂线OE ,使12OE AB =,又AB ⊥平面BCD ,则O 为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径2222529144R OE BE =+=+=,所以三棱锥外接球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=,故选:C.5.1024的所有正因数之和为()A.1023B.1024C.2047D.2048【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知,1010242=,则1024的所有正因数之和为11012101(12)2222204712⨯-++++==- .故选:C6.二维码与我们的生活息息相关,我们使用的二维码主要是2121⨯大小的特殊的几何图形,即441个点.根据0和1的二进制编码规则,一共有4412种不同的码,假设我们1万年用掉15310⨯个二维码,那么所有二维码大约可以用()(参考数据:lg20.301,lg30.477≈≈)A.11710万年 B.12010万年C.12310万年D.12510万年【答案】A 【解析】【分析】利用取对数法进行化简求解即可.【详解】1 万年用掉15310⨯个二维码,∴大约能用441152310⨯万年,设441152310x =⨯,则44144115152lg lg lg2(lg3lg10)441lg2lg3154410.3010.47715117310x ==-+=--≈⨯--≈⨯,即11710x ≈万年.故选:A .7.在一次数学模考中,从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩,甲班的十个人成绩分别为1210x x x 、、、,乙班的十个人成绩分别为1210,,,y y y .假设这两组数据中位数相同、方差也相同,则把这20个数据合并后()A.中位数一定不变,方差可能变大B.中位数可能改变,方差可能变大C.中位数一定不变,方差可能变小D .中位数可能改变,方差可能变小【答案】A 【解析】【分析】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ,表达出两组数据的中位数,根据中位数相同得到5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤,则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +,中位数不变,再设第一组数据的方差为2s ,平均数为x ,第二组数据的方差为2s ,平均数为y ,根据公式得到合并后平均数为ω,方差为2s ',2222211(()22s s x y s ωω=+-+-≥',得到结论.【详解】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ,则1210x x x 、、、的中位数为562x x +,1210y y y 、、的中位数为562y y +,因为565622x x y y ++=,所以5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤,则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +,所以中位数不变.设第一组数据的方差为2s ,平均数为x ,第二组数据的方差为2s ,平均数为y ,合并后总数为20,平均数为ω,方差为2s ',{}22222110()10(1010s s x s y ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦'⎣⎦+222222221111((((.2222s x s y s x y s ωωωω⎡⎤⎡⎤=+-++-=+-+-≥⎣⎦⎣⎦如果均值相同则方差不变,如果均值不同则方差变大.故选:A.8.若曲线1exax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线,则正数a 的值为()A.14B.4C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】设切点0001(,)ex ax x +,利用导数的几何意义求得切线方程,将原点坐标代入,整理得20010ax x ++=,结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()e x ax y f x +==,则1()e xax a f x -+-'=,设切点为0001(,)e x ax x +,则0001()e x ax a f x -+-'=,所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-,又该切线过原点,所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-,整理得2010ax x ++=①,因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线,所以方程①只有一个解,故140a ∆=-=,解得14a =.故选:A【点睛】关键点点睛:本题主要考查导数的几何意义,切点未知,设切点坐标,由导数的几何意义求出切线方程,确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若1b c >>,01a <<,则下列结论正确的是()A.a a b c <B.log log b c a a >C.a a cb bc <D.log log c b b a c a>【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得,由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【详解】对于A :∵01a <<,幂函数a y x =在(0,)+∞上单调递增,且1b c >>,∴a a b c >,故选项A 错误;对于B :∵01a <<,∴函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减,又∵1b c >>,∴log log log 10a a a b c <<=,∴110log log b c c a>>,即0log log b c a a >>,故B 正确;对于选项C :∵01a <<,则10a -<, 幂函数1a y x -=在(0,)+∞上单调递减,且1b c >>,∴11a a b c --<,∴a a cb bc <,故选项C 正确;对于选项D :由选项B 可知:0log log b c a a >>,∴0log log b c a a <-<-,∵1b c >>,∴(log )(log )b c c a b a -<-,∴log log c b b a c a <,故D 错误.故选:BC.10.已知圆22:1O x y +=,圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈,则()A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切,则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线,则a -<<D.若圆O 与圆C 相交,则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式,算出两圆的圆心距1d ≥,从而判断出A 项的正误;根据两圆相切、相交的性质,列式算出a 的取值范围,判断出B,C 两项的正误;当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时,公共弦长有最大值,从而判断出D 项的正误.【详解】根据题意,可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ,半径1r =,圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ,半径2R =.对于A ,因为两圆的圆心距1d OC ==≥,所以A 项正确;对于B ,两圆内切时,圆心距||1d OC R r ==-=1=,解得0a =.两圆外切时,圆心距||3d OC R r ==+=3=,解得a =±.综上所述,若两圆相切,则0a =或a =±,故B 项不正确;对于C ,若圆O 与圆C 恰有两条公切线,则两圆相交,||(,)d OC R r R r =∈-+,(1,3),可得13<<,解得a -<<0a ≠,故C 项不正确;对于D ,若圆O 与圆C 相交,则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时,公共弦长等于22r =,达到最大值,因此,两圆相交时,公共弦长的最大值为2,故D 项正确.故选:AD .11.已知函数()f x 的定义域为R ,()()()eeyxf x f y f x y +=+,且()11f =,则()A.()00f =B.()21ef -=C.()e xf x 为奇函数D.()f x 在()0+∞,上具有单调性【答案】AC 【解析】【分析】根据题意,令0x y ==即可判断A ,令1x =,1y =-,即可判断B ,令y x =-结合函数奇偶性的定义即可判断C ,令y x =即可判断D 【详解】对A :令0x y ==,则有()()()0000eef f f =+,即()00f =,故A 正确;对B :1x =,1y =-,则有()()()1111e 11e f f f -+--=,即()()()1e 1e0f f f =-+,由()00f =,()11f =,故()01e ef =-+,即()21e f -=-,故B 错误;对C :令y x =-,则有()()()eexx f x f f x x x --=+-,即()()()e 0e x x x f f x f -=+-,即()()e exxf x f x --=-,又函数()f x 的定义域为R ,则函数()e x f x 的定义域为R ,故函数()e xf x 为奇函数,故C 正确;对D :令y x =,则有()()()eexxf x f x f x x +=+,即()()22exf x f x =,即有()()22e x f x f x =,则当ln 2x =时,有()()ln 22ln 221ln 2e f f ==,即()()2ln 2ln 2f f =,故()f x 在()0,∞+上不具有单调性,故D 错误.故选:AC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0,则tan2θ=______.【答案】43【解析】【分析】利用复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0,求出tan 2θ=-,再利用二倍角公式得出结论.【详解】 复数()()()()()()2cos isin 1i 2cos sin sin 2cos i2cos isin 1i 1i 1i 2z θθθθθθθθθ+-++-+===∈++-R 的实部为0,2cos sin 0,tan 2θθθ∴+=∴=-.22tan 44tan21tan 143θθθ-∴===--.故答案为:43.13.已知空间中有三点()0,0,0O,()1,1,1A -,()1,1,0B ,则点O 到直线AB 的距离为______.【答案】305【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标,求出cos ,OA AB,根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ,()1,1,1A -,()1,1,0B ,所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA AB == ,()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA ABOA AB OA AB⋅==-所以10sin ,5OA AB === .所以点O 到直线AB的距离为sin ,55OA OA AB ==.故答案为:305.14.设函数2()f x x ax b =++,对于任意的实数a ,b ,总存在0[0,4]x ∈,使得()f x t ≥成立,则实数t 的取值范围是________.【答案】2t ≤【解析】【分析】分情况讨论a 不同取值时函数2()u x x ax b =++在[0,4]上的范围,从而确定()f x 的最大值,将对任意实数a ,b ,总存在实数0[0x ∈,4]使得不等式0()f x t 成立,转化为min ][()max t f x ≤恒成立,即可解决.【详解】因为存在0[0,4]x ∈,使得()f x t ≥成立,所以max ()t f x ≤,因为对于任意的实数a ,b ,max ()t f x ≤,所以min ][()max t f x ≤恒成立,设()f x 的最大值为M (b ),令2()u x x ax b =++,二次函数的对称轴为2a x =-,当<02a-,即a>0时,()u x 单调递增,此时()16+4+b u x a b ,当28b a ≥--时,M (b )16+4+a b =,当28b a <--时,M (b )b =-,从而当0a >时,28b a =--时M (b )取最小值,M (b )2+8>8min a =,当40a -<£时,()u x 在[0,)2a -上单调递减,在[2a-,4]上单调递减,2()1644a b u x a b -+≤≤++,所以当21288b a a =--时,2min 1()2888M b a a =-++≥.当84a -≤≤-时,()u x 在[0,2a -上单调递减,在[2a-,4]上单调递减,2()4a b u x b -+≤≤,所以当218b a =时,2min 1()28M b a =≥.当a <-8时,()u x 单调递减,16+4a+()b u x b ≤≤,当28b a ≤--时,M (b )164a b =---,当28b a >--时,M (b )b =,从而当a <-8时,28b a =--时M (b )取最小值,M (b )28>8min a =--.综合得min ()2M b =.所以2t ≤.故答案为:2t ≤【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用,考查函数的单调性和最值,考查恒成立和存在性问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于难题.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.用1,2,3,4,5这五个数组成无重复数字的五位数,则(1)在两个偶数相邻的条件下,求三个奇数也相邻的概率;(2)对于这个五位数,记夹在两个偶数之间的奇数个数为X ,求X 的分布列与期望.【答案】(1)12(2)分布列见解析,()1E X =【解析】【分析】(1)设A =“数字2,4相邻”,设B =“数字1,3,5相邻”,利用排列数公式求出()n A ,()n AB ,最后根据古典概型的概率公式计算可得;(2)依题意X 的所有可能取值为0,1,2,3,求出所对应的概率,即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“数字2,4相邻”,设B =“数字1,3,5相邻”,则数字2,4相邻时的五位数有2424A A 48=个,数字2,4相邻,数字1,3,5也相邻的五位数的个数为232232A A A 24=,则()()()241482n AB P B A n A ===;【小问2详解】依题意X 的所有可能取值为0,1,2,3,由题意知“X 0=”表示2个偶数相邻,则()242455A A 20A 5P X ===,“1X =”表示2个偶数中间共插入了1个奇数,则()21323355A C A 31A 10P X ===,“2X =”表示2个偶数中间共插入了2个奇数,则()22223255A A A 12A 5P X ===;“3X =”表示2个偶数中间共插入了3个奇数,则()232355A A 13A 10P X ===,所以X 的分布列为X0123P2531015110则X 的期望为()231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.已知在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,11AA =.(1)已知E ,F 分别为棱1AA ,BC 的中点,求证://EF 平面11A B C ;(2)求直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【解析】【分析】(1)G 为1B C 中点,通过证明1//EF A G ,证明//EF 平面11A B C ;(2)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】取1B C 中点G ,连接1A G ,FG .G ,F 分别为1B C ,BC 中点,1//GF BB ∴且112GF BB =,又E 为1AA 中点,11//A E BB ∴且1112A E BB =,1//GF A E ∴且1GF A E =,故四边形1A EFG 是平行四边形,1//EF A G ∴.而EF ⊄平面11A B C ,1A G ⊂面11A B C ,//EF ∴平面11A B C .【小问2详解】如图以A 为坐标原点,AC ,1AA 分别为y ,z 轴建立空间直角坐标系,则()10,0,1A ,)3,1,0B,)13,1,1B ,()0,2,0C ,则())1110,2,1,3,1,0A C AB =-= .设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z = ,则1112030A C n y z A B n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1x =,得3y =,3z =-,(1,3,3n ∴=-.又)13,1,1A B =- ,1332315cos ,1054A B n ∴=⨯.即直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值是1510.17.三角学于十七世纪传入中国,此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究,对三角学的现代化发展作出了巨大贡献,三倍角公式就是三角学中的重要公式之一,类似二倍角的展开,三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和,再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.(1)证明:3sin 33sin 4sin x x x =-;(2)若11sin101n n ⎛⎫︒∈⎪+⎝⎭,,*n ∈N ,求n 的值.【答案】(1)证明见解析(2)5n =【解析】【分析】(1)利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可;(2)将sin10︒转为方程314302x x -+=的一个实根,通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x=+=+()22sin cos cos 12sin sin x x x x x=⋅+-()2332sin 1sin sin 2sin 3sin 4sin x x x x x x =-+-=-;【小问2详解】由(1)可知,31sin 303sin104sin 102︒︒︒=-=,即sin10︒是方程314302x x -+=的一个实根.令()31432f x x x =-+,()()()212332121f x x x x '=-=+-,显然10sin10sin 302︒︒<<=,当102x <<时,()0f x <′,所以()31432f x x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,又3114066f ⎛⎫⎛⎫=⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,31111174305552250f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11sin10,65︒⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即5n =.18.已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ,点P 是圆上任意一点,线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)点D 在直线4x =上运动,过点D 的动直线l 与曲线C 相交于点,M N .(ⅰ)若线段MN 上一点E ,满足ME MD ENDN=,求证:当D 的坐标为()4,1时,点E 在定直线上;(ⅱ)过点M 作x 轴的垂线,垂足为G ,设直线,GN GD 的斜率分别为12,k k ,当直线l 过点()1,0时,是否存在实数λ,使得12k k λ=若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)12λ=【解析】【分析】(1)根据中垂线的性质可得42QA QB AB +=>=,由椭圆的定义可知动点Q 的轨迹是以,A B 为焦点,长轴长为4的椭圆,从而求出轨迹方程;(2)(ⅰ)设直线l 的方程为y kx m =+,设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ,与椭圆联立韦达定理,把线段长度比转化为坐标比,代入韦达定理化简即可得点E 在定直线330x y +-=上;(ⅱ)利用坐标表示两个斜率,然后作商,将韦达定理代入即可判断.【小问1详解】由题意知圆心(1,0)A -,半径为4,且QP QB =,2AB =,则42QA QB QA QP PA AB +=+==>=,所以点Q 的轨迹为以,A B 为焦点的椭圆,设曲线的方程为()222210x y a b a b+=>>,则24,22a c ==,解得2,1a c ==,所以2223b a c =-=,所以曲线C 的方程为22143x y +=;【小问2详解】(ⅰ)因为直线l 的斜率一定存在,设直线l 的方程为y kx m =+,因为D ()4,1在l 上,所以41k m +=,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222348430k x kmx m +++-=,()()()()22222Δ81634348430km k m k m =-+-=-+>,设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ,则()21212224383434m km x x x x k k--+==++,,由ME MD EN DN =得10102244x x x x x x --=--,化简得()()1212120428x x x x x x x ⎡⎤+-=-+⎣⎦,则()202224388428343434m km km x k k k --⎛⎫⎛⎫⨯-⨯=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,化简得00330kx m x ++-=,又因为00y kx m =+,所以00330x y +-=,所以点E 在定直线330x y +-=上.(ⅱ)因为直线y kx m =+过()1,0,所以0k m +=,直线方程为y kx k =-,从而得()4,3D k ,1(,0)G x ,由(ⅰ)知,()221212224383434k k x x x x k k-+==++,2122113,4y k k k x x x ==--,所以()()()()12121212122121214444333x kx k k y x x x x x k x x k x x k x x -----+=⨯==---()()()22222222222222224384434413434282344334k k x x k x k k k k k x k x x k ---+-+-++===⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎣⎦--⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦,所以存在实数12λ=,使得1212k k =.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,必要时计算∆;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式;(5)代入韦达定理求解.19.对于数列{}n a ,数列{}1n n a a +-称为数列{}n a 的差数列或一阶差数列.{}n a 差数列的差数列,称为{}n a 的二阶差数列.一般地,{}n a 的k 阶差数列的差数列,称为{}n a 的1k +阶差数列.如果{}n a 的k 阶差数列为常数列,而1k -阶差数列不是常数列,那么{}n a 就称为k 阶等差数列.(1)已知20,24,26,25,20是一个k 阶等差数列{}n a 的前5项.求k 的值及6a ;(2)证明:二阶等差数列{}n b 的通项公式为()()()()()121321111222n b b n b b n n b b b =+--+---+;(3)证明:若数列{}n c 是k 阶等差数列,则{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式,即0kin ii c nλ==∑(其中iλ(01i k = ,,,)为常实数)【答案】(1)3k =,610a =(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义直接进行求解,得到3k =,并根据二阶差数列的第4项为5-,求出一阶差数列的第5项为10-,得到方程,求出610a =;(2)令1n n n d b b +=-,根据二阶等差数列的定义得到112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ,再利用累加法求出()()()()()321211112212n b n n b b b n b b b =---++--+;(3)数学归纳法证明出()1,nmi S m n i==∑为n 的1m +次多项式,利用引理可证出结论.【小问1详解】{}n a 的一阶差数列为4,2,1-,5-;二阶差数列为2-,3-,4-;三阶差数列为1-,1-,1-为常数列,故{}n a 为三阶等差数列,即3k =,二阶差数列的第4项为5-,故一阶差数列的第5项为10-,即6510a a -=-,故610a =.【小问2详解】令1n n n d b b +=-,因为{}n b 是二阶等差数列,所以112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ,因此()()()()()()1122113212112n n n n n d d d d d d d d n b b b b b ---=-++++-+=--++- ,所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-++++-+ 1211n n d d d b --=++++ ()()()()()()321211231021n n b b b n b b b =-+-+++-++--+ ()()()()()321211112212n n b b b n b b b =---++--+,命题得证.【小问3详解】证明:先证一个引理:记()1,nmi S m n i==∑,(),S m n 是n 的1m +次多项式,数学归纳法:当1m =时,()()11,12312S n n n n =++++=+ 是n 的2次多项式,假设(),S k n 是n 的1k +次多项式,对0,1,,1k m =- 都成立,由二项式定理,()11101C mm m k k m k n nn +++=+-=∑,规定001=,将n 取0,1,2,…,n ,得101-=,()110111C 1mm k km k ++=+-=∑,()111212C2mm m kkm k +++=+-=∑,……,()11101C mm m k km k n nn +++=+-=∑,求和可得()()111110011C1C2CC ,mmmmm k kk kk k k m m m m k k k k n n S k n +++++====+=++++=∑∑∑∑ ,则()()()()()111101C ,1C ,,m m k m m k mn n S k S m n n m S m -+++=+-=+=∑,故()()()11101C ,,1m m k m k n S k n S m n m -++=+-=+∑是n 的1m +次多项式,引理得证.回到本题,由(2)可知,2阶等差数列的通项是n 的2次多项式,假设k 阶等差数列{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式,对于1k +阶等差数列,它的差数列{}n c '是k 阶等差数列,即0kin i i c n λ='=∑,故1111101n k nn i iii i jc c c c jλ--===⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑,由引理可知,此为n的k次多项式,命题得证.【点睛】数列新定义问题,主要针对于等差,等比,递推公式和求和公式等综合运用,对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固,同时涉及数列与函数,数列与解析几何,数列与二项式定理,数列与排列组合等知识的综合,要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上,创造性的解决问题.。
福建省厦门第一中学近年届高三数学上学期第三次返校考试试题文(扫描(2021年整理)
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福建省厦门第一中学高三高考模拟9 数学(文)
一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐加油初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为加油师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而加油后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗加油为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏加油形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要加油有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
2020届福建省厦门市第一中学高三毕业班下学期高考考前最后一模数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前福建省厦门市第一中学2020届高三毕业班下学期高考考前最后一模数学(文)试题(解析版)注意事项:1.本科考试分试题卷与答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、姓名、准考证号;2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-=,{1,1}B =-,则A B =( )A. {1}B. {}113-,,C. {3,1,1}--D. {3,1,1,3}-- 【答案】C【解析】 集合{}{}22303,1A x x x =+-==-,所以{}3,1,1A B =--,选C. 2.已知复数()1z i i -=,则下面关于复数z 的命题正确的是( ) A. 1122z i =+ B. 复数z 对应的点在第一象限 C. 1z =D. 复数z 的虚部与实部互为相反数 【答案】D【解析】【分析】先把复数()1z i i -=化简求出复数z ,然后逐个判断即可.【详解】解:由()1z i i -=,得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i ++====-+--+, 所以复数z 对应的点在第二象限,1222z ==,实部为12-虚部为12, 故选:D 【点睛】此题考查复数的有关概念和复数的运算,属于基础题.3.为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况.根据该折线图,下列结论正确的是A. 2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B. 2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%C. 2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大D. 2017年11月的仓储指数较上月有所回落,显示出仓储业务活动仍然较为活跃,经济运行稳中向好【答案】D【解析】。
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学模拟试题一、单选题1.已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=,若A B ⋂≠∅,则=a ()A .3B .4C .5D .6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =,4a =或23a a =-,检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅,所以3a =,4a =或23a a =-,当3a =时,233a -=,与集合元素的互异性矛盾,舍去;当23a a =-时,3a =,与集合元素的互异性矛盾,舍去;当4a =时,235a -=,满足集合元素互异性,满足要求.故选:B2.已知复数z 满足()20231i i z +=,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为()A .12-B .12C .1i2-D 【正确答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得2023i ,再利用复数的四则运算求得z ,从而得解.【详解】因为()50520235054343i i i i i ⨯+==⨯=-,所以()20231ii i z +==-,故()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -----====--+-+,所以z 的虚部为12-.故选:A.3.在等比数列{}n a 中,132a a +=,则“356a a +=”是“数列{}n a 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】结合等比数列的通项公式,充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由132a a +=,356a a +=,得235133a a q a a +==+,则q =由132a a +=,q =()235136a a a a q +=+=.故“356a a +=”是“数列{}n a 的必要不充分条件.故选:B4.尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一,现今已证明该问题无解.但借助有刻度的直尺、其他曲线等,可将一个角三等分.古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法:如图,以ACB ∠的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ,B 两点;取线段AB 三等分点O ,D ;以B 为焦点,A ,D 为顶点作双曲线,与圆弧AB 交于点E ,连接CE ,则3ACB BCE ∠=∠.若图中CE 交AB 于点P ,56AP PB =,则cos ∠=ACP ()A .2425-B .1225-C .725-D .1225【正确答案】C【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式,得BCE ∠的余弦值,再由二倍角的余弦公式即可求出cos ACP ∠.【详解】设BCE α∠=,则33ACB BCE α∠=∠=,2ACP α∠=.在ACP △中,由正弦定理,得sin 2sin AP CAAPCα=∠;在BCP 中,由正弦定理,得sin sin BP CBBPCα=∠.又因为CA CB =,APC BPC π∠+∠=,所以sin sin CA CBAPC BPC=∠∠,所以sin 2sin AP BP αα=,即sin 22cos sin AP BP ααα==.又因为56AP PB = ,所以62cos 5AP BP α==,故3cos 5α=.所以cos ∠=ACP cos 2=α2972cos 1212525α-=⨯-=-.故选:C.5.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次,则出现三个点数之和为6的概率为()A .112B .5108C .172D .1216【正确答案】B【分析】所有实验结果有666216⨯⨯=种,列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为3133A A 1++,即可求出概率.【详解】根据题意,随机掷一枚均匀的正方体骰子,每次实验掷三次,共有666216⨯⨯=种不同的结果,其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A 种,数字1、1、4组成的结果有13A 种,数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133A A 15216108P ++==.故选:B.6.已知F 为抛物线2:3C y x =的焦点,过F 的直线l 交地物线C 于,A B 两点,若AF BF λλ==,则λ=()A .1B .32C .3D .4【正确答案】C【分析】由抛物线的定义求得B 点的横坐标,代入抛物线得B 点坐标,从而求得直线AB 的方程,联立抛物线与直线即可得A 点的横坐标,求得AF ,从而可得λ的值.【详解】如图,过A 作1AA 准线于1A ,过B 作1BB 准线于1B ,由抛物线2:3C y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为34x =-,由抛物线的定义可得1314B BF BB x ==+=,所以14B x =,代入抛物线方程得2B y =±若14B ⎛ ⎝⎭,直线AB的斜率为021344AB k ==-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭,即y =联立23y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=,则916A B x x =,所以94A x =,则3933444A AF x λ=+=+==;若1,42B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,直线AB的斜率为021344AB k -=-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭,即4y =-联立23y y x⎧=⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=,则916A B x x =,所以94A x =,则3933444A AF x λ=+=+==;综上,3λ=.故选:C.7.已知奇函数()f x 在R 上是减函数,()()g x xf x =,若()2log 5.1a g =-,()3b g =,()0.82c g =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a b c <<B .c b a<<C .b c a<<D .b a c<<【正确答案】D【分析】由题可知()g x 为偶函数,且在()0,∞+上单调递减,利用函数的单调性可比较出b a c <<.【详解】因()f x 为奇函数且在R 上是减函数,所以()()f x f x -=-,且0x >,时()0f x <.因()()g x xf x =,所以()()()g x xf x xf x -=--=,故()g x 为偶函数.当0x >时,()()()0g x f x xf x =+'<',因()0f x <,()0f x '<,所以()0g x '<.即()g x 在()0,∞+上单调递减.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=,因0.82223log 9log 5.1log 422=>>=>,所以()()()0.823log 5.12g g g <<,即b a c <<.故选:D.8.已知半径为4的球O ,被两个平面截得圆12O O 、,记两圆的公共弦为AB ,且122O O =,若二面角12O AB O --的大小为2π3,则四面体12ABO O 的体积的最大值为()A .BC D 【正确答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质,利用正弦定理、余弦定理,均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ,连接12,O M O M ,依题意,可得如下图形,由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ,则12O MO ∠即为二面角的平面角,故122π3O MO ∠=,四面体12ABO O 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅12AB O M O M ⋅⋅,其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤,当且仅当12O M O M ==由球的截面性质,11OO O M ⊥,22OO O M ⊥,所以12,,,O O O M 四点共圆,则有外接圆直径22i 23s πn R OM ===从而23AB MB ==,1243339V M O M ∴=⋅≤=.故选:C 二、多选题9.随机变量()2~,X N μσ且()20.5P X ≤=,随机变量()~3,Y B p ,若()()E Y E X =,则()A .2μ=B .()22D X σ=C .23p =D .()32D Y =【正确答案】AC【分析】对AB ,根据正态分布的期望方差性质可判断;对C ,根据()()E Y E X =及二项分布期望公式可求出p ;对D ,根据二项分布方差的计算公式可求出()D Y ,进而求得()3D Y .【详解】对AB ,因为()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=,所以2μ=,故()2E X μ==,()2D x σ=,选项A 正确,选项B 错误;对C ,因为()3,Y B p ,所以()()3E Y p E X ==,所以32p =,解得23p =,选项C 正确;对D ,()()2239931633D Y D Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,选项D 错误.故选:AC.10.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x ()A .是奇函数B .图象关于直线π2x =对称C .在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D .在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用辅助角公式得出()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由已知条件求得ω的值,再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式,利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ,由于函数()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列,则该函数的最小正周期为π,0ω> ,则2π2πω==,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项,函数()y g x =的定义域为R ,()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-,函数()y g x =为奇函数,A 选项正确;对于B 选项,π2sin π02g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以函数()y g x =的图象不关于直线π2x =对称,B 选项错误;对于C 选项,当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,π3π222x ≤≤,则函数()y g x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,C 选项正确;对于D 选项,当π2π63x ≤≤时,π4π233x ≤≤,则sin 21x ≤≤,()2g x ≤≤.所以,函数()y g x =在区间π2π,63⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦,D 选项正确.故选:ACD11.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ==,1BC =,13AA =,点M 在线段1BB 上,且12B M MB =,N 为线段1C M 上的动点,则下列结论正确的是()A .当N 为1C M 的中点时,直线AN 与平面ABC 所成角的正切值为4B .当12MN NC =时,1B N //平面ACM C .ACN △的周长的最小值为D .存在点N ,使得三棱锥N AMC -【正确答案】BD【分析】取BC 的中点P ,证明PN ^平面ABC ,故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角,求解可判断A ;延长1B N 交1CC 于点Q ,可得四边形1CQB M 是平行四边形,从而可判断B ;当点N 与M 重合时,求出ACN △的周长可判断C ;取BC 的中点P ,连接AP ,若三棱锥N AMC -的体积为6,则1CMN S =△,根据1CMC CMN S S >△△可判断D.【详解】对于A ,当N 为1C M 的中点时,取BC 的中点P ,连接,PN AP ,易知1//PN CC ,1CC ⊥平面ABC ,则PN ^平面ABC ,故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角,则()112tan MB CC PN PAN AP +∠=故A错误;对于B ,当12MN NC =时,延长1B N 交1CC 于点Q ,此时11112C Q C N B M MN ==,所以11,2C Q CQ ==,所以1CQ B M =.又1//CQ B M ,所以四边形1CQB M 是平行四边形,所以1//CM B Q ,即1//CM B N .因为1B N ⊄平面ACM ,CM ⊂平面ACM ,所以1B N //平面ACM ,故B 正确;对于C ,当点N 与M重合时,易知2,AN CN ==此时ACN △的周长为2+2<,故C 错误;对于D ,取BC 的中点P ,连接AP ,易知AP ⊥平面11BCC B,2AP =,若三棱锥N AMC -即6N AMC V -=,所以136CMN S AP ⋅⋅=△,所以1CMN S =△.因为113311,22CMC CMN S S =⨯⨯=>=△△所以存在点N ,使得三棱锥N AMC -的体积为6,故D 正确.故选:BD.12.定义在R 上的函数()f x 满足()(4)0f x f x ++=,(22)f x +是偶函数,(1)1f =,则()A .()f x 是奇函数B .()20231f =-C .()f x 的图象关于直线1x =对称D .1001(21)100k k f k =-=-∑【正确答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项A ,∵(22)f x +是偶函数,∴(22)(22)f x f x -=+,∴函数()f x 关于直线2x =对称,∴()()4f x f x -=+,∵()(4)0f x f x ++=,∴()()f x f x -=-,∴()f x 是奇函数,则A 正确;对于选项B ,∵(4)()f x f x +=-,∴(8)(4)f x f x +=-+,∴(8)()f x f x +=,∴()f x 的周期为8,∴()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-,则B 正确;对于选项C ,若()f x 的图象关于直线1x =对称,则()()31f f =-,但是()()111f f -=-=-,()()311f f ==,即()()31f f ≠-,这与假设条件矛盾,则选项C 错误;对于选项D ,将12x =代入(22)(22)f x f x -=+,得()()311f f ==,将1x =,代入()(4)0f x f x ++=,得()()511f f =-=-,同理可知()()731f f =-=-,又∵()f x 的周期为8,∴()f x 正奇数项的周期为4,∴1001(21)k k f k =-=∑()()()()12335100199f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()123354759611713815f f f f f f f f =+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅()()()()971939819599197100199f f f f ⎡⎤++++⎣⎦()254100=⨯-=-,则D 正确.故选:ABD.三、填空题13.已知向量,a b 满足()1,3,3,1a b a b ==-= ,则⋅=a b __________.【正确答案】0【分析】对a b - 进行平方,然后代入,a b ,即可进行求解.【详解】因为()1,3,3,1a b a b ==-=,则()2222210a ba ab b -=-⋅+==,所以0a b ⋅= .故014.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若67S S <,78S S =,89S S >,则符合题意的等差数列{}n a 的一个通项公式为n a =________.【正确答案】8n -(答案不唯一)【分析】由条件可得70a >,80a =,90a <,由此确定0d <,由此确定数列{}n a 的一个通项公式.【详解】因为67S S <,78S S =,89S S >,所以70a >,80a =,90a <,设数列{}n a 的公差为d ,则0d <,取1d =-,又80a =,可得17a =,故数列{}n a 的一个通项公式为8n a n =-,故8n -(答案不唯一).15.若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线,则a 的范围是____________.【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点,然后利用导数研究()f x 单调性,画出()f x 大致图象,即可得答案.【详解】设切线切点为0(x ,0)y ,又ln 1y x '=+,所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =,所以切线方程为:()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-.又切线过()1,a ,则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-,即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点,由()1110x f x x x-=-=>'得01x <<,由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减.又max ()(1)0f x f ==,又0x →,()f x →-∞,x →+∞,()f x →-∞.据此可得()f x 大致图象如下.则由图可得,当(,0)a ∈-∞时,曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线.故答案为.(,0)-∞16.已知椭圆C 的一个焦点为F ,短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==,且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+,则PQF △的周长的最大值为__________.【正确答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程,再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=-+=-,π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ <,即11tan tan 3αβ-=-,4tan tan 3αβ=,设()00,P x y ,由题意:((12,0,B B ,则tan tan αβ=,20204tan tan 33x y αβ∴==-,即2200143x y +=,即椭圆C 的标准方程为22143x y +=,2,1a b c ===;设左焦点为F ,右焦点为2F,如下图:则PFQ △的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=--+,22PF QF PQ +≥ ,当2,,P Q F 三点共线时等号成立,48l a ∴≤=,l 的得最大值为8;故8.四、解答题17.记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知ABC的外接圆半径R =tan tan B C +=.(1)求B 和b 的值;(2)求AC 边上高的最大值.【正确答案】(1)π4B =,4b =;(2)2+.【分析】(1)把给定的等式切化弦,再逆用和角的正弦求出B ,利用正弦定理求出b 作答.(2)利用余弦定理、均值不等式求出ac 的最大值,借助面积三角形求出AC 边上高的最大值作答.【详解】(1)由tan tan B C +=,得sin sin cos cos B C B C +sin cos cos sin cos B C B C A B +,因此sin()cos B C A B +,在ABC中,sin(π)cos A A B -,即sin cos A A B ,而0πA <<,即sin 0A >,于是cos 2B =,又0πB <<,解得π4B =,因为ABC的外接圆半径R =,由正弦定理得2sin 42b R B ==,所以π4B =,4b =.(2)由(1)知,π4B =,4b =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22π162cos (24a c ac =+-≥-,于是8(2ac ≤+,当且仅当a c =时取等号,令ABC 的边AC 上的高为h ,则由11sin 22ABC bh S ac B ==,得πsin sin 48(22488B h ac ac ac b ==⨯=+所以AC边上高的最大值是2+.18.已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a a +==+.(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并{}n a 的通项公式;(2)设214n n n c n a a +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)证明见解析,121n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】(1)根据等差差数列的定义证明即可,从而可得{}n a 的通项公式;(2)利用分式分离变形,结合分组求和与裂项求和即可得n T .【详解】(1)证明:因为112n n n a a a +=+,所以112112n n n na a a a ++==+,即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,2为公差的等差数列,则()112121n n n a =+-=-,所以121n a n =-;(2)()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +-+⎛⎫=====+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭12311111112335212121n n n T c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+-+-++-=+ ⎪-++⎝⎭ .19.某学校有A ,B 两家餐厅,王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.6,如果第1天去B 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率;(2)王同学某次在A 餐厅就餐,该餐厅提供5种西式点心,n 种中式点心,王同学从这些点心中选择三种点心,记选择西式点心的种数为X ,求n 的值使得()1P X =取得最大值.【正确答案】(1)0.7(2)9或10【分析】(1)根据题意结合全概率公式可直接求解;(2)由超几何分布可得()()()()()1511543n n P X n n n -==+++,构造数列()()()()151543n n n a n n n -=+++,易知该数列为递增数列,所以1n n a a +≥,解得9n ≤,所以当9n =或10时,()1P X =有最大值为4591.【详解】(1)设1A =“第1天去A 餐厅用餐”,1B =“第1天去B 餐厅用餐”,2A =“第2天去A 餐厅用餐”,根据题意得()()110.5P A P B ==,()210.6P A A =∣,()210.8P A B =∣,由全概率公式,得:()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣,所以,王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.(2)由题意,X 的可能取值有:0,1,2,3,由超几何分布可知()()()()()125351511543n n n n C C P X C n n n +-===+++,令()()()()151543n n n a n n n -=+++,又 N n ∈,所以1n n a a +≥,可得()()()()1361n n n n ++≥+-,解得9n ≤,易知当9n =和10n =时,()1P X =的值相等,所以当9n =或10时,()1P X =有最大值为4591,即当n 的值为9或10时,使得()1P X =最大.20.如图,在圆台1OO 中,11A B ,AB 分别为上、下底面直径,1124AB A B ==,C 为 AB 的中点,M 为线段BC 的中点,1CC 为圆台的母线,1C M 与圆台下底面所成的角为45︒.(1)证明:1C C ⊥平面1OBC ;(2)求平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】(1)证明线面垂直,先证线线垂直,根据题中线面位置关系,不难发现证明11C C C O ⊥,1C C AB ⊥容易证明.(2)因题中线面位置较为特殊,考虑用空间向量,建立空间直角坐标系后,直接按照求平面与平面夹角的公式,按步骤求解即可.【详解】(1)证明:连接1OO ,11C O ,则1OO ⊥平面ABC .因为1CC 为母线,所以11CC O O 四点共面,且11O C OC ∥.取CO 中点N ,连接1C N ,MN .因为1124AB A B ==,则111ON C O ==,所以四边形11ONC O 为平行四边形.所以11C N O O ∥,所以1C N ⊥平面ABC .所以1C MN ∠为1C M 与底面所成角,即145C MN ∠=︒.在1Rt C NO 中,11C N NO ==,所以1C O =同理1C C .在1C CO △中,22211CO C O C C =+,所以11C C C O ⊥.因为1OO ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以1OO AB ⊥.因为C 为 AB 的中点,所以AB CO ⊥,又1OC O O O = ,OC ⊂平面11C O OC ,1O O ⊂平面11C O OC ,所以AB ⊥平面11C O OC ,又1CC ⊂平面11C O OC ,所以1C C AB ⊥.又因为11C C C O ⊥,1AB C O O = ,AB ⊂平面1BOC ,1C O ⊂平面1BOC ,所以1C C ⊥平面1BOC ;(2)以O 为原点,分别以OC ,OB ,1OO 所在的方向为x ,y ,z 的正方向,建立空间直角坐标系-O xyz ,则(2,0,0)C ,(0,0,0)O ,(0,2,0)B ,1(1,0,1)C ,(1,1,0)M .所以(1,1,0)BM =- ,1(1,2,1)BC =- ,(1,1,0)OM = ,1(1,0,1)OC = .设平面1BMC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ,由11100n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,得11111020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩,令11x =,得111y z ==,所以1(1,1,1)n = .设平面1OMC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ,由22100n OM n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,则222200x y x z +=⎧⎨+=⎩.令21x =,得221,1y z =-=-,所以2(1,1,1)n =-- ,设平面1OMC ,与平面1BMC 夹角为θ,则121cos cos ,3n n θ== .所以平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值为13.21.在平面直角坐标系xOy 中,已知点())12,F F ,点M 满足124MF MF -=,记点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)点()2,0A ,点,B C 为E 上的两个动点,且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=,求直线BC 的斜率.【正确答案】(1)221(0)4x y x -=>(2)±1.【分析】(1)由题意,点M 的轨迹为双曲线的右支,2,a c ==1b =,可得E 的方程;(2)解法一:设BC 与AQ 的交点为D ,设BC 的方程为y kx m =+,与双曲线方程联立,由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得m ,得到直线BC 的方程,由题意写出直线AD 的方程,求得点D 、点Q 坐标,代入曲线E 的方程,可得直线BC 的斜率.解法二:由对称性,直线BC 必过定点(),0t ,设BC 的方程为x my t =+,与双曲线方程联立,由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得103t =,进一步可得到直线BC 方程以及恒过定点.求得点D 、点Q 坐标,代入曲线E 的方程,可得直线BC 的斜率.解法三:设AC 方程为()2y k x =-,设AB 方程为()12y x k=--,联立曲线方程,由韦达定理可求出点C 坐标,用1k-替换k 得点B 坐标,可得直线BC 方程进一步得到直线BC 恒过定点.下同解法一.解法四:由平移知识得到双曲线E 的方程,新坐标系下直线BC 的方程,代入双曲线方程,由121k k ×=-求得m ,进一步得到直线BC 的方程,从而得到直线BC 恒过定点,再利用过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程结合xy 的系数为0,即可得到直线BC 的斜率.解法五:设直线BC 的方程为()21m x ny -+=,连理曲线方程结合由121k k ×=-解得m ,进一步得到直线BC 的方程以及BC 恒过定点.下同解法一.【详解】(1)因为点M 满足124MF MF -=,所以点M的轨迹为双曲线的右支,故2,a c ==1b =,所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.(2)解法一:设BC 与AQ 的交点为D.显然直线BC 的斜率存在,设BC 的方程为y kx m =+,联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=,设()()1122,,,B x y C x y ,所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--,因为1AC AB k k ⋅=-,所以2121122y y x x ⋅=---,故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=,代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭,整理得22203160k m km ++=,即()()10320k m k m ++=,解得103m k =-或2m k =-(舍).所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆,且BC 为直径,由BC AD ⊥,所以点D 为AQ 中点,且直线AD 的方程为()12y x k=--,联立()10312y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩,解得()()22210631431k x k k y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩,所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭,故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭,代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得420k k -=,即1k =±,所以直线BC 的斜率为±1.解法二:由对称性,直线BC 必过定点(),0t ,设BC 的方程为x my t =+,联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=,设()()1222,,,B x y C x y ,所以1222122244 4tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--,因为1AC AB k k ⋅=-,所以2121122y y x x ⋅=---,故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=,代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭,因为2t ≠,整理得3100t -=,解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+,即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立()1032x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩,解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩,所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭,故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭,代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得210m -=,即1m =±,所以直线BC 的斜率为±1.解法三:设AC 方程为()2y k x =-,设AB 方程为()12y x k=--,联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩,消去y 得()222214161640k x k x k -+--=,设()11,C x y ,则212164214k x k --⋅=-,得2128241k x k +=-,所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭,所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--,故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭,即()()223104141k k y x k k =-+--,即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.解法四:将坐标系原点平移到()2,0A ,则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=,即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=,代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=,即()2214440m x y nxy +-+=,两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭,设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ,则124114m k k --⋅==-,所以34m =,所以直线BC 的方程为314x ny +=,从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆,设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即1003kx y k --=;设AQ 的直线方程为()12y x k=--,即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭,等式左边xy 的系数为21k -,所以210k -=,所以1k =±,即直线BC 的斜率为±1.解法五:由直线BC 不过点()2,0,故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=,所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=,即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣,两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭,设2y k x =-,上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ,则124114m k k --⋅==-,解得34m =,所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=,即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,从而BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.方法点睛:定点问题的解题策略(1)直线过定点.将直线方程化为00()y y k x x -=-的形式,当00x x -=时与k 无关,即00()y y k x x -=-恒成立,故直线过定点00(,)x y .(2)曲线过定点.利用方程0(),f x y =对任意参数恒成立得出关于,x y 的方程组,以方程组的解为坐标的点即为所求的定点.22.已知函数()e ,ax f x a =∈R .(1)令()()1f xg x x =+,讨论()g x 在()0,∞+的单调性;(2)证明:23*111N 462n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(3)若1a =,对于任意的,m n ∈R ,不等式()()()()22ln 20f m bf n f m f n +⋅+≥恒成立,求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)答案见详解.(2)证明见详解.(3)02e b ≤≤.【分析】(1)求导后,分0a =、a<0、01a <<、1a ≥讨论即可;(2)由(1)得e 1xx ≥+,当且仅当0x =,等号成立.令112x n =-,得到1121e 2n n >,从而有112112e n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫< ⎪⎝⎭,即12112e n n n -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合等比数列的前n 项和公式即可证明.(3)()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥.当0b <,可验证不满足题意;当0b =,显然成立;当0b >,令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+,求导后判断单调性求得最小值为min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭,令e (0)m t t =>,则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+,求导后判断单调性求得最小值为()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而可解.【详解】(1)()()()e 111ax f x g x x x x ==≠-++,而()()2e 11(1)ax a x g x x +-⎡⎤⎣⎦=+',①当0a =时,()210(1)g x x =-<+'恒成立,所以()g x 在()0,∞+上递减;②当0a >时,令()0g x '<,得1x <-或111x a -<<-;令()0g x '>,得11x a >-.所以当110a -≤,即1a ≥时,()g x 在()0,∞+上递增,当110a ->,即01a <<时,()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减,在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增;③当a<0时,令()0g x '<,得111x a-<<-或1x >-;令()0g x '>,得11x a <-.所以()g x 在()0,∞+上递减.综上所述,当0a ≤时,()g x 在()0,∞+上递减;当1a ≥时,()g x 在()0,∞+上递增;当01a <<时,()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减,在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增;(2)由(1)得:当1a =且1x ≥-时,()(0)11f x f x ≥=+,此时e 1x x ≥+,又当1,e 1x x x ≤->+,e 1x x ∴≥+,当且仅当0x =,等号成立.令112x n =-,得到111212111e ,22e n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭,12112e n n n -⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123232*********e 1462e e e e 1e n n n n -⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴++⋯+<++⋯+=⨯⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦-1121111e e e e n n --⎫--⎪⎝⎭==-(3)()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥,①0b <,当,0n m ∞→+→时,显然22e e 20m n m bn -++<,所以此时不成立;②0b =,不等式显然成立.③0b >,令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+,则()22e e e m n m g n b -=-+',令()0g n '=,则2e 2e 2e e e ln m m m n nb n b b -=⋅⇒=⇒=.当2e ln mn b<时,()()0,g n g n '<单调递减;当2e ln mn b>时,()()0,g n g n '>单调递增.所以min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭,令e (0)m t t =>,则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+,则()()1ln ln 2b h t b b t b '=++-,令()0h t '=,即11ln ln02b t ++-=,则22e b t =,当202e b t <<,()()0,h t h t '<单调递减;当22e b t >,()()0,h t h t '>单调递增,则()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2e b ≤.综上所述,02e b ≤≤.方法点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略:(1)构造差函数()()()h x f x g x =-,根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式;(2)根据条件,寻找目标函数,一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
福建省厦门第一中学2023届高三四模数学试题
一、单选题二、多选题1. 过抛物线:的焦点的直线交抛物线于、两点,以线段为直径的圆的圆心为,半径为.点到的准线的距离与之积为25,则( )A .40B .30C .25D .202. “为真命题”是“为真命题”的条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要3.等差数列的前项和为,若,,则数列的通项公式可能是( )A.B.C.D.4. 设集合,,,若点,则的最小值为( )A.B.C.D.5. 生物实验小组的六位同学(编号分别为1,2,3,4,5,6)在甲、乙两种环境中种植同一种作物,记作物种子的发芽率(其折线图如下,其中左图为甲环境下,右图为乙环境下)的平均数和标准差分别为,和,,则()①;②;③;④.A .①③B .①④C .②③D .②④6.在等比数列中,,,则A .14B .28C .32D .647. 已知直线,其中在平面内.则“”是“”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.已知集合,,且,则实数( )A.B .1C.或1D .09. 正四棱锥中,,,过点作截面分别交棱于点,且,则下列结论正确的是()A .若为中点,则B.若平面,则截面的面积C .若为所在棱的中点,则福建省厦门第一中学2023届高三四模数学试题三、填空题四、解答题D .若为所在棱的中点,则点到平面的距离为10. 函数(,,)的部分图象如图所示,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍,然后向左平移个单位长度,得到函数的图象,则()A.B.的解析式为C .是图象的一个对称中心D .的单调递减区间是,11. 已知O 为坐标原点,抛物线的准线方程为,过焦点F 的直线l 与C 交于P ,Q 两点,线段PQ 的中点为D ,以PQ 为直径的圆与x 轴交于M ,N 两点,则( ).A .C的方程为B .面积的最小值为pC.的最大值为D .当时,直线l的斜率为12. 在平面直角坐标系中,点在抛物线的准线上,过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,则下列结论中正确的是( )A .当时,直线的斜率为B .当时,C.D.13.已知函数,,则______,若方程的所有实根之和为4,则实数m 的取值范围是______.14. 已知双曲线的左右焦点分别为过的直线与双曲线右支交于A ,B两点,且则的面积为_____.15. 复数(为虚数单位),则__.16. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若对于任意恒成立,求实数a 的取值范围.17.如图,在梯形中,为直角,,,将三角形沿折起至.(1)若平面平面,求证:;(2)设是的中点,若二面角为30°,求二面角的大小.18. 四棱锥中,,平面,,为的中点,且.(1)求证:平面.(2)求二面角的余弦值.19. 2020 年初至今,新冠肺炎疫情袭击全球,对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响,某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元,生产成本为16万元 / 万件,厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?20. 设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,证明:.21. 已知椭圆的右焦点为,且C过点.(1)求C的方程;(2)若点M是C上的一点,过M作直线l与C相切,直线l与y轴的正半轴交于点A,过M与PF平行的直线交x轴于点B,且,求直线l的方程.。
福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
(1)求证: 是⊙O的切线;
(2)求证: ;
(3)若 求 的值.
22.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(2,0),点 在抛物线上.
15.如图,直线y= 3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线y= (k≠0)上,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在双曲线y= (k≠0)上的点D1处,则a=_____.
16.已知 中,点 , , .则 面积为________.
①
④
②
⑤
③
A.①或③B.②或③C.①或④D.以上选项都可以
7.如图,平面直角坐标系中.直线 分别交x轴、y轴于点B、A,以AB为一边向右作等边 ,以AO为边向左作等边 ,连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为()
A. B. C. D.
8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用,例如在计算tan15°时,可构造如图的Rt△ACB,∠C=90°.∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以 类比这种方法,若已知锐角α的正弦值为 锐角β的余弦值为 则α+β=()
20.如图,斜坡AB长130米,坡度 现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建 斜坡BE的坡角为 求平台DE的长;(结果保留根号)
(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN,小明在D点测得广告顶部M的仰角为 他沿坡面DA走到坡脚A处,然后向大楼方向继续行走10米来到P处,测得广告底部N的仰角为 此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内,C、A、P、Q在同一条直线上,求广告MN的长度.(参考数据:sin 3)
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一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。