2018年秋人教版八年级数学上册第13章【轴对称】单元试卷一及答案

八年级数学上册第13章【轴对称】单元试卷【考时120分钟；满分150分】姓名___________考号___________ 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）若点（a，﹣3）与点（2，b）关于y轴对称，则a，b的值为（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=﹣3 D．a=﹣2，b=32．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠4，BD 与CE交于点O，则图中等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个3．（4分）如图，若D是直角△ABC斜边上的中点，DE⊥AB，如果∠EAC：∠BAE=2：5，那么∠BAC=（）A．60°B．52°30′C．45°D．37.5°4．（4分）等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间5．（4分）观察下列各组图形，其中两个图形成轴对称的有（）组．A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有（）A．O在△ABC内部B．O在△ABC的外部C．O在BC边上D．OA=OB=OC7．（4分）等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（）A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm8．（4分）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．（4分）△ABC和△ABD是有公共边的三角形，如果可以判定两个三角形全等，那么点D的位置是（）A．是唯一确定的B．有且只有两种可能C．有且只有三种可能D．有无数种可能10．（4分）如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（）A．（a，b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（a，﹣b）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）26个大写英文字母中，有些字母可以看成轴对称图形，共有个是轴对称图形．12．（5分）如图，一条船从A处出发，以15里/小时的速度向正北方向航行，10个小时到达B处，从A、B望灯塔，得∠NAC=37°，∠NBC=74°，则B到灯塔C的距离是里．13．（5分）如图所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是．14．（5分）如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知∠CAD=32°，则∠B=度．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像；（2）Rt △ABC 和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（ ）；（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC 与斜边AB 的数量关系吗？并请说明理由．16．（8分）已知点A （2，m ），B （n ，﹣5），根据下列条件求m ，n 的值．（1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）AB ∥y 轴．17．（8分）如图，已知等边△ABC 的边长为a ，B ，C 在x 轴上，A 在y 轴上．（1）作△ABC 关于x 轴的对称图形△A′B′C′；（2）求△ABC 各顶点坐标和△A′B′C′各顶点坐标．18．（8分）已知等腰三角形的周长为28cm ，其中的一边长是另一边长的23倍，求这个等腰三角形各边的长．19．（10分）如图所示，已知点D 是等边三角形ABC 的边BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC ，CE ∥AB ．求证：△CDE 是等边三角形．20．（10分）如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．21．（12分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，DG∥AB，DG 交BC于点G，点E在BC的延长线上，且CE=CD．（1）求∠ABD和∠BDE的度数；（2）写出图中的等腰三角形（写出3个即可）．22．（12分）如图，已知∠AOB=a外有一点P，画点P关于直线OA的对称点P′，再作点P′关于直线OB的对称点P″．（1）试猜想∠POP″与a的大小关系，并说出你的理由．（2）当P为∠AOB 内一点或∠AOB边上一点时，上述结论是否成立？23．（14分）如图，已知坐标系中点A（2，﹣1），B（7，﹣1），C（3，﹣3）．（1）判定△ABC的形状；（2）设△ABC关于x轴的对称图形是△A1B1C1，若把△A1B1C1的各顶点的横坐标都加2．纵坐标不变，则△A1B1C1的位置发生什么变化？若最终位置是△A2B2C2，求C2点的坐标；（3）试问在x轴上是否存在一点P，使PC﹣PB最大，若存在，求出PC﹣PB的最大值及P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b 的值．【解答】解：∵点（a ，﹣3）与点（2，6）关于y 轴对称，∴a=﹣2，b=﹣3， 故选：C ．【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 2．【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：∵在等腰△ABC 中，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=236180=72°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠A=36°，∴AD=BD ，AE=EC ，OB=OC ，即△ADB ，△AEC ，△OBC 是等腰三角形，∵∠BDC=∠CEB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴BC=CE=AD ，即△BCE ，△BCD 是等腰三角形，∵∠1=∠4=36°，∴∠BOE=∠COD=180°﹣36°﹣72°，∴CD=CD ，BO=BE ，即△BOE ，△COD 是等腰三角形，∴共有8个等腰三角形．故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．3．【分析】由于D是直角△ABC斜边上的中点，DE⊥AB，可以得到AE=BE，进一步得到∠EAB=∠B，又∠EAC：∠BAE=2：5，再利用直角三角形的两个锐角互余即可求出∠BAC．【解答】解：∵D是直角△ABC斜边上的中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B，∵∠EAC：∠BAE=2：5，∴∠EAC：∠B=2：5，∴∠BAC：B=7：5，∵∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC=52°30′，故选：B．【点评】此题考查了直角三角形的性质，还考查了线段垂直平分线的性质，解题时要注意数形结合思想的应用．4．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．【分析】根据成轴对称的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做成轴对称，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【解答】解：根据两个图形成轴对称的性质得出：（1）（2）（4）成轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的意义，判断是不是成轴对称的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．6．【分析】从已知开始，分别根据线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等解答即可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，∴OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC．故选：D．【点评】考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．本题比较简单，属于基础题．7．【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可．【解答】解：∵|AC﹣BC|=2cm，∴AC﹣BC=2cm或﹣AC+BC=2cm，∵BC=8cm，∴AC=（2+8）cm或AC=（8﹣2）cm，即10cm或6cm．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知“等腰三角形的两腰相等”是解答此题的关键．8．【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．【解答】解：∵∠EBC+∠C=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠EBC，∵∠EBC=∠BAD∴∠BAD=∠CAD，∠CAD+∠C=90°∠BAD+∠ABC=90°∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴为等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；由∠EBC=∠BAD利用等角的余角相等得到∠ABC=∠ACB是正确解答本题的关键．9．【分析】根据三角形全等的判定和已知，可确定公共边为AB，故点D的位置也有两种情况．【解答】解：以AB为公共边可得两个点D的位置．故选：B．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．10．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．【解答】解：∵△AOB与△A'OB关于x轴对称，∴点P（a，b）关于x轴的对称点为（a，﹣b），∴点P的对应点Q的坐标是（a，﹣b）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟记关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】根据轴对称图形的概念，分析出可以看成轴对称图形的字母．【解答】解：26个大写英文字母中，A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y可以看成轴对称图形．故共有16个是轴对称图形．故答案为：16．【点评】此题的关键是熟悉轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．12．【分析】根据已知及等角对等边的性质得到BC=AB，根据路程公式可求得AB的长，从而也就得到了BC的长．【解答】解：∵∠NAC=37°，∠NBC=74°∴∠C=37°∴BC=AB=10×15=150里．故填150．【点评】此题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质；利用三角形外角的性质求得∠C=37°是正确解答本题的关键．13．【分析】先搞清图形ABCDEFG外围的周长的组成，再来计算，即易解．【解答】解：∵△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形∴AD=DE，EF=EG∵D和G分别为AC和AE的中点，AB=4∴DE=EA=2，GF=EF=1，∴图形ABCDEFG外围的周长是4×3+2+1=15．【点评】本题考查了等边三角形的性质；解决本题的关键是得到图形ABCDEFG外围的周长的组成．14．【分析】利用中垂线和三角形外角性质计算．【解答】解：∠C=90°，∠CAD=32°⇒∠ADC=58°，DE为AB的中垂线⇒∠BAD=∠B又∠BAD+∠B=58°⇒∠B=29°故填29°【点评】本题涉及中垂线和三角形外角性质，难度中等．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD即可；（2）根据三角形内角和定理可得∠B=60°，根据作图可得∠BAD=60°，三个角都是60°，那么是等边三角形；（3）BC=BD 的一半，也就是AB 的一半．【解答】解：（1）作图如右图：．（2分）（2）Rt △ABC 和它的像组成了什么图形最准备的判断是（等边三角形）（2分）（3）AB=2BC ．（2分）∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵△ABC ≌△ADC ，∴∠DAC=∠BAC=30°．∴∠BAD=60°．∴△ABD 是等边三角形．∴AB=DB ．∵CD=BC ，∴BC=21BD ．∴BC=21BA ．（4分）【点评】关于轴对称的两个图形是全等形；各对应点的连线被对称轴垂直平分．16．【分析】（1）平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（﹣x ，y ）；（2）AB ∥y 轴就是说明A ，B 两点的横坐标相同．【解答】解：（1）根据轴对称的性质，得m=﹣5，n=﹣2；（2）根据平行线的性质，得m ≠﹣5，n=2．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．这一类题目是需要识记的基础题．解决的关键是对知识点的正确记忆．注意：平行于x 轴的直线的所有点的纵坐标相等；平行于y 轴的所有点的横坐标相等．17．【分析】因为x 轴为对称轴，B 、C 在x 轴上，则其对称点为本身，A 的对称点A′在y 轴上，距离x 轴OA 个单位长度．【解答】解：（1）如图．（2）A ，A′两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，其它两点因为重合，坐标相等； A （0，23a ），B （﹣2a ，0），C （2a ，0）， A′（0，﹣23a ），B′（﹣2a ，0），C′（2a ，0）．【点评】解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直线；2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份；5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．18．【分析】本题已知了等腰三角形的两边间的比例关系，但是没有明确这两边哪边是底，哪边是腰，因此要分两种情况讨论．【解答】解：设等腰三角形的一边长为xcm ，则另一边长为23xcm ， 则等腰三角形的三边有两种情况：xcm ，xcm ，23xcm 或xcm ，23xcm ，23xcm ， 则有：①x +x +23x=28，得x=8cm ， 所以三边为：8cm 、8cm 、12cm ；②x +23x +23x=28，得x=7cm ，所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题从边的方面考查三角形，利用分情况讨论的思想方法求解是解题的关键．19．【分析】可先证明△BCE≌△ACD，得到CE=CD及∠ECD=60°，即可求解．【解答】证明：∵∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC，∴∠ABE=∠ADC．又CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE．∴∠BEC=∠ADC．又BC=AC，∠EBC=∠DAC，∴△BCE≌△ACD．∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，即∠ECD=∠ACB=60°．∴△CDE是等边三角形．【点评】本题主要考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键．20．【分析】（1）连接AO，利用等腰三角形的对称性即可求得∠OAC的度数；（2）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．【解答】解：（1）连接AO，∵在等腰△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，∴等腰△ABC 关于线段AO 所在的直线对称，∵∠A=80°，∴∠OAC=40°（2）∵BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=21∠ACB ， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=180°﹣（ 21∠ABC +21∠ACB ） =180°﹣21（∠ABC +∠ACB ） =180°﹣21（180°﹣∠A ） =90°+21∠A ． ∴当∠A=80°时，() 130219021180=∠+=∠+∠-=∠A C B BOC ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，也可以作辅助线，构造三角形的外角，利用三角形外角的性质求解．21．【分析】（1）△ABC 为等边三角形，所以△ABD 为直角三角形，可求∠ABD ，再利用线段相等，角的转化，求出∠BDE ；（2）只要两边相等或两个角相等，就是等腰三角形，在图形中找相等的角即可．【解答】解：（1）∵AB=AC ，∠A=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵BD ⊥AC ，∴∠ABD=30°，∵CD=CE ，∠ACB=60°∴∠CDE=30°∴∠BDE=120°．（2）∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形∵DG ∥AB ，∴∠DGC=∠ABC ，∴△CDG 为等腰三角形．∵CD=CE ，∴△CDE 是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及平行线的性质；找着相等的角是正确解答本题的关键．22．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再由HL 定理得出△DOP′≌△DOP ，△EOP″≌△EOP′根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）根据题意画出图形，同（1）可得出结论．【解答】解：（1）猜想：∠POP″=2α．理由：如图1，在△DOP′与△DOP 中∵⎩⎨⎧='=ODOD P O OP ，∴△DOP′≌△DOP ．同理可得，△EOP″≌△EOP′∴∠POP″=2α；（2）成立．如图2，当点P 在∠AOB 内时，∵同（1）可得，△DOP′≌△DOP ，EOP″≌△EOP′，∴∠POD=∠P′OD ，∠EOP″=∠EOP′，∴∠POP″=∠P′OP″﹣∠POP′=3α﹣α=2α． 如图3，当点P 在∠AOB 的边上时，∵同（1）可得△EOP″≌△EOP ，∴∠POP″=2α．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 23．【分析】（1）计算出AC 2，BC 2，AB 2，比较数量关系即可；（2）把△A 1B 1C 1的各顶点的横坐标都加2．纵坐标不变，则图形向右移动两个单位；（3）连接CB 1，与x 轴的交点即为P ，进而解答即可．【解答】解：（1）∵AC 2=22+12=5，BC 2=42+22=20，AB 2=52∴AC 2+BC 2=AB 2∴△ABC 是直角三角形；（2）图象向右平移2个单位，C 2坐标为（5，2）；（3）存在．连接CB 1，与x 轴的交点即为P ，理由：设BC 对应一次函数为y=kx +b∵C （3，﹣3）B （7，﹣1）∴⎩⎨⎧-=+-=+1733b k b k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2921b k ∴y=21x ﹣29， 令y=0得x=9∴P （9，0）．此时，PC ﹣PB 最大值为BC=252018年秋人教版八年级数学上册第13章【轴对称】单元试卷一及答案【点评】本题考查了作图﹣﹣轴对称变换和最短路径问题，熟悉轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．21。