一种椭圆曲线密码加密算法及其实现

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ECC算法详解及硬件实现

ECC算法详解及硬件实现ECC（Elliptic Curve Cryptography，椭圆曲线密码学）是一种基于椭圆曲线上的点运算实现的公钥加密算法。

相对于传统的RSA和DSA等算法，ECC具有更高的安全性和更小的密钥长度，使得它成为当前广泛应用于各种加密场景的密码学算法之一椭圆曲线上的加法是一种封闭和交换的运算，如果点P和点Q在椭圆曲线上，它们的和点（P+Q）也在曲线上。

椭圆曲线上的乘法是一种重复添加点自身的运算，即kP=P+P+...+P。

通过选择合适的曲线方程和基点G，椭圆曲线群的运算可以实现很多复杂的密码学操作。

在实际应用中，ECC算法通常涉及到大整数运算和有限域上的数学运算。

为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器。

这些硬件加速器通常采用并行运算的方式，利用硬件并行性，加快椭圆曲线上点运算的速度。

硬件加速器通常包括椭圆曲线点坐标转换模块、点加法模块和点乘法模块等功能模块。

椭圆曲线点坐标转换模块用于将输入的坐标转换为内部表示形式，点加法模块用于执行点的加法运算，而点乘法模块用于执行点的乘法运算。

在点乘法模块中，通常采用加法链和蒙哥马利算法对点乘法进行优化。

加法链是一种预先计算并存储在查找表中的点的序列，可以在计算中减少加法操作的次数。

蒙哥马利算法利用模n的同态性质，通过对曲线上的点进行映射，将大整数运算转化为模n的小整数运算，大大加快了点乘法的速度。

除了基本的功能模块，硬件加速器还需要处理输入输出数据和控制信号的接口。

通常采用高速串行接口来与主机进行数据传输，并配备统一的控制器进行流程管理。

总之，ECC算法是一种基于椭圆曲线点运算的公钥加密算法，具有较高的安全性和较小的密钥长度。

为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器，利用并行运算和优化算法来加快点运算速度。

随着技术的发展和硬件性能的提升，ECC算法在各种加密场景中得到了广泛应用。

椭圆曲线密码学的原理

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一种基于椭圆曲线的公钥密码体制，其原理和运算方式与传统的RSA算法有所不同。

椭圆曲线密码学是一种现代密码学领域的前沿技术，被广泛应用于许多安全领域，如数据加密、数字签名、密钥交换等。

本文将主要介绍椭圆曲线密码学的原理及其应用。

椭圆曲线密码学是通过椭圆曲线上的离散对数问题来实现安全通信的。

首先，我们需要选择一条合适的椭圆曲线作为密码系统的基础。

椭圆曲线的方程可以表示为y² = x³ + ax + b，其中a和b是定义曲线的参数。

为了保证安全性，这些参数需要经过严格的选择和审核，以确保计算离散对数问题的困难性。

在椭圆曲线密码系统中，每个用户都有一对密钥，分别是公钥和私钥。

公钥由椭圆曲线上的一个点和曲线的参数生成，私钥是一个随机数，只有用户自己知道。

公钥可以被广泛分发，而私钥必须严格保密。

为了实现安全通信，发送方使用对方的公钥对要发送的数据进行加密，接收方使用自己的私钥对密文进行解密。

椭圆曲线密码学所基于的数学原理是椭圆曲线上的离散对数问题。

即给定一点P和一个整数k，求解使得kP = P + P + ... + P（k个P相加）的问题。

这个问题在目前的计算能力下是非常难以求解的。

利用这个困难问题，我们可以构建一个安全的公钥密码系统。

相比于传统的RSA算法，椭圆曲线密码学具有许多优势。

首先，椭圆曲线密码学能够提供相同的安全性，但使用更短的密钥长度。

这对于存储和传输密钥来说是非常重要的，可以减少存储和传输的开销。

其次，椭圆曲线密码学的加密和解密速度更快，特别是在资源有限的设备上。

这使得椭圆曲线密码学非常适合嵌入式设备和移动设备上的安全通信应用。

除了基本的加解密功能，椭圆曲线密码学还可以用于数字签名和密钥交换等安全协议。

数字签名可以用来验证信息的真实性和完整性，并防止信息被篡改。

而密钥交换协议则可以用来安全地协商通信双方之间的共享密钥，以确保通信过程中的机密性和完整性。

实现椭圆曲线密码算法

实现椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography, ECC）涉及到椭圆曲线数学理论以及相关的加密技术。

这是一种公钥加密系统，与传统的 RSA 算法相比，它具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，因此在安全通信和数据保护领域得到了广泛应用。

下面是一个简单的示例，展示了如何使用 Python 实现椭圆曲线密码算法：from cryptography.hazmat.backends import default_backendfrom cryptography.hazmat.primitives import serializationfrom cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import ec# 生成椭圆曲线密钥对private_key = ec.generate_private_key(ec.SECP256R1(), default_backend()) public_key = private_key.public_key()# 将密钥序列化为字节串private_key_bytes = private_key.private_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PrivateFormat.TraditionalOpenSSL,encryption_algorithm=serialization.NoEncryption())public_key_bytes = public_key.public_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PublicFormat.SubjectPublicKeyInfo)# 打印密钥print("Private key:")print(private_key_bytes.decode('utf-8'))print("\nPublic key:")print(public_key_bytes.decode('utf-8'))在这个示例中，我们使用 Python 的cryptography库生成椭圆曲线密钥对，并将密钥序列化为字节串。

椭圆曲线密码学算法原理与实现

椭圆曲线密码学算法原理与实现椭圆曲线密码学算法是当前计算机安全领域中广泛使用的一种加密算法。

与传统的RSA算法相比，椭圆曲线密码学算法具有较高的安全性和更短的密钥长度，同时也更加适用于小型设备和无线通信领域。

本文将对椭圆曲线密码学算法的原理、优势以及实现进行介绍。

一、椭圆曲线密码学算法原理椭圆曲线密码学算法是基于椭圆曲线运算的一种加密算法。

在椭圆曲线上，可以定义加法和乘法等运算操作，从而构建出密钥系统。

具体来讲，椭圆曲线密码学算法使用的是离散对数问题，即找到一个整数k，使得G=kP，其中G和P是椭圆曲线上的点，k是密钥。

在使用椭圆曲线密码学算法时，有两个关键要素，分别是公钥和私钥。

公钥是任何人都可以获得的，而私钥只有信息发送者才能获得。

当信息发送者需要发送加密信息时，会使用接收者的公钥对信息进行加密，接收者收到信息后再使用自己的私钥进行解密。

这种方法可以保证信息在传输过程中不被他人窃取。

二、椭圆曲线密码学算法的优势椭圆曲线密码学算法相对于传统的RSA算法，有以下的优势：1. 更高的安全性。

使用椭圆曲线密码学算法时，需要使用的密钥长度较短，但是却具有比较高的安全性。

这是因为椭圆曲线操作比传统的大数因子分解更难以破解。

2. 适用于小型设备和无线通信领域。

使用传统的RSA算法时，需要较长的密钥，这在小型设备和无线通信领域会造成很大的问题。

而椭圆曲线密码学算法可以使用更短的密钥长度，可以在小尺寸的设备上使用，如智能卡和移动设备等。

3. 更高的运算速度。

相比传统的RSA算法，使用椭圆曲线密码学算法进行加密和解密的运算速度更快，可以更加高效地完成加密解密操作。

三、椭圆曲线密码学算法的实现椭圆曲线密码学算法的实现涉及到一系列的数学运算，包括椭圆曲线上的点的加法、乘法、求逆以及扩域操作等。

下面简单介绍一下椭圆曲线密码学算法的实现过程。

1. 密钥的生成。

在使用椭圆曲线密码学算法时，需要生成一对公钥和私钥。

生成公钥时，需要选择一个椭圆曲线和基点，然后随机选取一个整数作为私钥。

椭圆曲线加密算法的研究与实现

椭圆曲线加密算法的研究与实现椭圆曲线加密算法是目前应用最广泛的公钥加密算法，具有难以破解、高效快速、安全稳定等特点，是构建安全的密钥交换协议和数据传输机制的基础，目前在军事、政府、金融、电信等领域应用越来越广泛，因此，研究椭圆曲线加密算法具有重要的现实意义。

一、椭圆曲线加密算法的基础原理椭圆曲线加密算法是建立在参数检验上的一种数论函数的安全加密算法。

它的基本思想是，在一个高维空间，首先选定一条椭圆曲线，然后根据其参数定义一个数位函数，最后用这个函数来进行加密解密。

其参数包括椭圆曲线上的整数点、椭圆曲线的参数、离散对数求解器、变换矩阵、模量等。

椭圆曲线加密算法通过对椭圆曲线参数的不同构造出不同的密钥，每次传输都可以构造出不同的加密算法，保证了每次传输的安全性。

二、椭圆曲线加密算法的研究及实现（一）研究1.椭圆曲线原理的研究：研究椭圆曲线的定义，研究椭圆曲线参数的等价定义，研究椭圆曲线参数对密钥安全性的影响；2.椭圆曲线算法实现的研究：研究加密算法的矩阵变换过程，研究其实现中的算法、数据结构；3.椭圆曲线算法安全性的研究：研究不同的攻击策略，探究破解椭圆曲线加密算法的方法；4.椭圆曲线密钥的优化研究：探究优化椭圆曲线密钥的有效方法；（二）实现1.建加密编码结构：建立椭圆曲线参数的数据结构；2.写加密解密程序代码：编写算法实现加密解密程序，代码实现矩阵变换；3.试椭圆曲线加密算法：测试算法对密钥安全性、加密效率、传输安全性等的效果，并对结果做出评估；4.椭圆曲线加密算法进行优化：对椭圆曲线的参数进行分析，通过优化参数提高椭圆曲线算法的安全性。

三、结论椭圆曲线加密算法是目前应用最为广泛的公钥加密算法，对于建立安全的密钥交换协议和数据传输机制具有重要的现实意义。

研究者应该深入研究椭圆曲线加密算法的原理、实现、安全性和优化，为椭圆曲线加密算法的应用提供保障和支持。

椭圆曲线加密算法实现

椭圆曲线加密算法实现椭圆曲线加密算法(ECDSA)的实现涉及到椭圆曲线的参数选择、密钥生成、签名和验证等过程。

1. 参数选择：要实现椭圆曲线加密算法，首先需要选择合适的椭圆曲线参数。

常用的椭圆曲线参数有两种类型：素数域曲线和二进制域曲线。

参数选择需要考虑安全性和效率。

常见的参数选择有NIST提供的曲线参数。

2. 密钥生成：椭圆曲线加密算法使用椭圆曲线上的点作为密钥。

生成密钥的步骤如下：- 随机选择一个私钥k，私钥范围在[1, n-1]之间，n为椭圆曲线的阶。

- 计算公钥P = kG，其中G为椭圆曲线上的基点。

- 公钥P和私钥k即为加密算法的密钥对。

3. 签名：签名的过程包括选择消息的哈希算法、生成签名的随机数、计算签名值等步骤。

- 随机选择一个正整数r，使得1<=r<n。

- 计算椭圆曲线上的点R = rG。

- 计算r对于素数n的模反元素s，即s = r^(-1) (mod n)。

- 计算签名值sig = (R, s)，其中R为点，s为整数。

4. 验证：验证签名的过程包括计算验证签名的哈希值、计算验证点和比较验证点与签名值中的点的情况。

- 计算消息的哈希值。

- 计算签名值sig中的s的模反元素w，即w = s^(-1) (mod n)。

- 计算u1 = hash(m)w (mod n)和u2 = Rw (mod n)。

- 计算验证点X = u1G + u2P。

- 如果X的x坐标和签名的R的x坐标相等，验证成功；否则，验证失败。

上述是椭圆曲线加密算法(ECDSA)的基本实现步骤，具体实现过程需要参考具体的编程语言和密码学库的文档和示例代码。

椭圆曲线加密算法及实例分析

The Application of Cryptographic Techniques in Secure Transmission of Streaming Media Chen Daomin1 Zhou Jinquan2 1PLA University ofForeign Languages, Henan 471003 2Kunming Military Academy, Yunnan 650207 Abstract:In this paper, after analyzing the encrypting features of streaming media, we deeply research on how to encrypt the streaming media data by using block cipher and stream cipher respectively. Keywords:Streaming Media;Encryption;Block Cipher;Stream Cipher
④依据Ｂｏｂ的公钥计算点（ｘ，ｙ）＝ｋＧ（ｋ个Ｇ相加）；
１
１
⑤计算点（ｘ，ｙ）＝ｋＱ，如果ｘ＝０，则回到第③步；
２
２
２
⑥计算Ｃ＝ｍ＊ｘ；２
⑦传送加密数据（ｘ，ｙ，Ｃ）给Ｂｏｂ。
１
１
（２）Ｂｏｂ的解密过程
（阶）。经过计算得ｎ＝２２３。经过上面算法的验证，得知ｎ＝２２３是一个素数，所以点ｖ可
１
１
（４）点Ｑ的倍数定义如下：在Ｑ点作椭圆曲线的一条切线，设
切线与椭圆曲线交于点Ｓ，定义２Ｑ＝Ｑ＋Ｑ＝－Ｓ，类似的可定义３Ｑ＝
（１）在椭圆曲线Ｅ上恰有一个点，称之为无穷远点。即（０：Ｑ＋Ｑ＋Ｑ＋，…，等。

椭圆曲线密码算法原理及其应用

椭圆曲线密码算法原理及其应用密码学是保障个人信息安全的重要领域，而椭圆曲线密码算法作为一种新的密码算法，在这方面扮演着越来越重要的角色。

本文将介绍椭圆曲线密码算法的基本原理、优势以及应用。

一、基本原理椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学理论而产生的密码算法，其基础理论是椭圆曲线离散对数问题。

所谓离散对数问题是指对于一个有限域$GF(q)$上的椭圆曲线$E$和其中的一个点$P$，在椭圆曲线上选择另一个点$Q$，求解在有限域$GF(q)$上，使得$Q=nP$的$n$的过程。

而这个过程是不可逆的，即求解$Q$到$P$的离散对数是困难的，因此椭圆曲线密码算法因此而诞生。

椭圆曲线密码算法可以参照传统公钥密码算法的框架设计，即包含公钥和私钥两部分。

一个椭圆曲线密码体制要求选择一个椭圆曲线$E$，再分别选择两个$E$上的点$P$和$Q$，称为基点和公钥点。

基点$P$作为私钥的一部分，而公钥点$Q$仅作为公钥的一部分，即：- 公钥：$(E,P,Q)$- 私钥：$P$发送者想对一条长为$m$的消息进行加密，首先选择一个小于$q$的整数$k$作为随机数，使得$P$乘以$k$所得到的点$K=kP$不能在椭圆曲线上表达为$Q$的$n$倍。

在此基础上，发送者计算：- 加密的密文：$c=(K,m+kn)$接收者收到密文$c$后，使用私钥$P$计算：- 解密后的明文：$m=\frac{c_2-k \cdot H(c_1)}{k}$其中$H(c_1)$是消息$c_1$的哈希值。

二、优势椭圆曲线密码算法相较于传统公钥密码算法，有以下优势：1. 可以使用短密钥长度其安全性和传统公钥密码算法一样好，但是它的密钥长度可以比传统的RSA或Diffie-Hellman密钥长度更短，API级别的椭圆曲线密码算法只需要32个字节密钥长度，远远低于传统算法的384位以上。

2. 速度较快相对于RSA或者Diffie-Hellman，椭圆曲线密码算法是一种更快速的密码算法，因为它不需要执行复杂且昂贵的模操作，而是直接在椭圆曲线上进行数学运算。

椭圆曲线加密算法java实现

椭圆曲线加密算法Java实现椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种公钥加密算法，基于椭圆曲线的数学性质。

ECC的安全性基于解决椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难度，该问题被认为是难以解决的。

ECC具有密钥长度短、计算效率高、安全性强等优点，因此被广泛应用于各种密码学应用中，如电子商务、数字签名、密钥交换等。

Java实现Java中有多种ECC库可供使用，其中最受欢迎的库之一是Bouncy Castle。

Bouncy Castle是一个开源的密码学库，提供了各种加密算法的实现，包括ECC。

要使用Bouncy Castle实现ECC，首先需要将Bouncy Castle库添加到项目的依赖项中。

可以在项目的pom.xml文件中添加如下依赖项：xml<dependency><groupId>org.bouncycastle</groupId><artifactId>bcprov-jdk15on</artifactId><version>1.70</version></dependency>添加依赖项后，就可以在Java代码中使用Bouncy Castle库实现ECC了。

下面是一个简单的Java程序，演示如何使用Bouncy Castle库生成ECC密钥对：javaimport org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider;import org.bouncycastle.math.ec.ECCurve;import org.bouncycastle.math.ec.ECPoint;import java.security.;public class EccKeyGeneration {public static void main(String[] args) throws Exception {// 添加Bouncy Castle提供者Security.addProvider(new BouncyCastleProvider());// 创建椭圆曲线ECCurve curve = ECCurve.Fp.getByName("secp256k1");// 生成密钥对KeyPairGenerator keyPairGenerator = KeyPairGenerator.getInstance("EC", "BC");keyPairGenerator.initialize(curve, new SecureRandom());KeyPair keyPair = keyPairGenerator.generateKeyPair();// 获取公钥PublicKey publicKey = keyPair.getPublic();// 获取私钥PrivateKey privateKey = keyPair.getPrivate();// 打印公钥和私钥System.out.println("Public Key: " + publicKey);System.out.println("Private Key: " + privateKey);}}运行该程序，将会输出生成的ECC密钥对。

椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用

椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用随着信息技术的发展，信息安全变得尤为重要。

而密码学是信息安全的基础，它研究的是如何让信息安全地传输。

椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非常重要的密码算法，它的安全强度高、运算速度快，因此受到了广泛的关注和应用。

本文将介绍椭圆曲线密码算法的原理、特点和应用。

一、椭圆曲线密码的基本概念1. 椭圆曲线椭圆曲线是一个在平面上由一组满足特定条件的点构成的集合，这个集合会构成一个曲线。

在密码学中，我们通常会使用表示为y² = x³ + ax + b（其中a、b是常数）的椭圆曲线。

椭圆曲线的基本操作是点的加法、点的乘法和点的倍乘。

点的加法可以定义为一种在椭圆曲线上的几何运算，而点的乘法和点的倍乘则是将点进行反复加法的运算。

2. 椭圆曲线密码算法的原理椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学理论的密码算法。

其基本思想是利用曲线上的点作为加密密钥和解密密钥，通过运用多点基数倍算法来实现加密和解密，同时短密码可以提供与RSA算法相同的安全强度。

椭圆曲线密码算法相较其他现代密码算法来说，其密钥长度更短，在加密过程中的运算速度更快。

同时，椭圆曲线密码算法可以保证密钥交换的安全性和绝对保密性，应用于电子商务、移动通信、数字证书等领域。

二、椭圆曲线密码算法的特点1. 安全强度高椭圆曲线密码算法的安全强度比传统的对称加密算法和公钥加密算法要高，即需要更长的密钥才能破解，而使用同长度密钥的情况下，破解椭圆曲线密码算法所需的时间比其他密码算法长得多，同时由于椭圆曲线算法的数学基础更加复杂，因此更难被破解。

2. 运算速度快椭圆曲线密码算法的解密运算速度也比较快，大约只有RSA算法的1/10，这也是它受到广泛应用的原因之一。

因为随着网络带宽和数据通信量的不断增大，加密和解密的运算量也对算法的速度提出了更高的要求。

3. 密钥长度短椭圆曲线密码算法在同样的安全强度下，所需的密钥长度比RSA算法和DH算法要短，这也使得椭圆曲线密码算法可以减少密钥的存储空间和传输开销，同时也有助于减少算法运算的时间，提高其运算速度。

椭圆曲线密码算法的设计与分析

椭圆曲线密码算法的设计与分析椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一种基于椭圆曲线数学问题的公钥密码体制。

相比传统的RSA和DSA等公钥密码体制，ECC具有更短的密钥长度和更高的安全性，因此在现代密码学中被广泛应用。

本文将从椭圆曲线密码算法的基本原理、设计思想、应用领域以及安全性等方面进行分析和讨论。

一、基本原理1. 椭圆曲线椭圆曲线是由一组满足特定数学方程的点构成的曲线，其数学方程一般形式为：y^2 = x^3 + ax + b。

椭圆曲线上的点可以进行加法和乘法运算，构成一个代数结构。

椭圆曲线的加法运算有闭合性、交换律、结合律等性质，使得其成为构建密码体制的基础。

2. 椭圆曲线上的离散对数问题椭圆曲线上的离散对数问题（Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem, ECDLP）是指找到满足P = kG的整数k，其中P和G分别为椭圆曲线上的点。

ECDLP是一种困难问题，即使在现代计算机条件下，也需要消耗大量的计算资源才能解决。

二、设计思想1. 基于硬问题的安全性与RSA和DSA等公钥密码体制不同，椭圆曲线密码算法是基于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性而安全的。

目前来看，对于给定的椭圆曲线参数，没有已知的高效算法可以有效解决ECDLP问题。

因此，ECC可以提供较高的安全性，同时使用更短的密钥长度，减少了计算、存储和传输的开销。

2. 允许更短的密钥长度相比传统的RSA和DSA等公钥密码体制，ECC可以使用更短的密钥长度来达到相同的安全性。

例如，一个256位的椭圆曲线密钥可以提供与一个2048位RSA密钥相当的安全性。

这使得ECC在资源受限的环境下更加实用。

3. 高效的加密和解密运算椭圆曲线上的加法和乘法运算可以通过一些高效的算法来进行，使得密钥生成、加密和解密等运算更快速和高效。

这对于移动设备和无线网络等资源受限的环境来说，具有重要意义。

椭圆曲线加密算法（ECC）原理和C++实现源码（摘录）

椭圆曲线加密算法（ECC）原理和C++实现源码（摘录）/*　1、⽤户A选定⼀条适合加密的椭圆曲线Ep(a,b)(如:y2=x3+ax+b)，并取椭圆曲线上⼀点，作为基点G。

2、⽤户A选择⼀个私有密钥k，并⽣成公开密钥K=kG。

3、⽤户A将Ep(a,b)和点K，G传给⽤户B。

4、⽤户B接到信息后，将待传输的明⽂编码到Ep(a,b)上⼀点M，并产⽣⼀个随机整数r（r<n）。

5、⽤户B计算点C1=M+rK；C2=rG。

6、⽤户B将C1、C2传给⽤户A。

7、⽤户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。

因为C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M 再对点M进⾏解码就可以得到明⽂。

密码学中，描述⼀条Fp上的椭圆曲线，常⽤到六个参量：T=(p,a,b,G,n,h)。

（p 、a 、b ⽤来确定⼀条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分）这⼏个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。

参量值⼀般要求满⾜以下⼏个条件： 1、p 当然越⼤越安全，但越⼤，计算速度会变慢，200位左右可以满⾜⼀般安全要求； 2、p≠n×h； 3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20； 4、4a3+27b2≠0 (mod p)； 5、n 为素数； 6、h≤4。

*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <iostream.h>#include "tommath.h"#include <time.h>#define BIT_LEN 800#define KEY_LONG 128 //私钥⽐特长#define P_LONG 200 //有限域P⽐特长#define EN_LONG 40 //⼀次取明⽂字节数(x,20)(y,20)//得到lon⽐特长素数int GetPrime(mp_int *m,int lon);//得到B和G点X坐标G点Y坐标void Get_B_X_Y(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *b, mp_int *a, mp_int *p);//点乘bool Ecc_points_mul(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *d,mp_int *a,mp_int *p);//点加int Two_points_add(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *x2,mp_int *y2,mp_int *x3,mp_int *y3,mp_int *a,bool zero,mp_int *p);//⼆进制存储密⽂int chmistore(mp_int *a,FILE *fp);//把读取的字符存⼊mp_int型数int putin(mp_int *a,char *ch,int chlong);//ECC加密void Ecc_encipher(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *a,mp_int *p);//ECC解密void Ecc_decipher(mp_int *k, mp_int *a,mp_int *p);//实现将mp_int数a中的⽐特串还原为字符串并赋给字符串ch：int chdraw(mp_int *a,char *ch);//取密⽂int miwendraw(mp_int *a,char *ch,int chlong);int myrng(unsigned char *dst, int len, void *dat){int x;for (x = 0; x < len; x++) dst[x] = rand() & 0xFF;return len;}void main(){cout<<"\n 本程序实现椭圆曲线的加密解密"<<endl;cout<<"\n------------------------------------------------------------------------\n"<<endl;mp_int GX;mp_int GY;mp_int K;//私有密钥mp_int A;mp_int QX;mp_int QY;mp_int P;//Fp中的p(有限域P)mp_init(&GX);mp_init(&GY);mp_init(&K);mp_init(&A);mp_init(&B);mp_init(&QX);mp_init(&QY);mp_init(&P);time_t t;srand( (unsigned) time( &t ) );printf("椭圆曲线的参数如下(以⼗进制显⽰):\n");GetPrime(&P,P_LONG);printf("有限域 P 是:\n");char temp[800]={0};mp_toradix(&P,temp,10);printf("%s\n",temp);GetPrime(&A,30);char tempA[800]={0};printf("曲线参数 A 是:\n");mp_toradix(&A,tempA,10);printf("%s\n",tempA);Get_B_X_Y(&GX,&GY,&B,&A,&P);char tempB[800]={0};printf("曲线参数 B 是:\n");mp_toradix(&B,tempB,10);printf("%s\n",tempB);char tempGX[800]={0};printf("曲线G点X坐标是:\n");mp_toradix(&GX,tempGX,10);printf("%s\n",tempGX);char tempGY[800]={0};printf("曲线G点Y坐标是:\n");mp_toradix(&GY,tempGY,10);printf("%s\n",tempGY);//------------------------------------------------------------------GetPrime(&K,KEY_LONG);char tempK[800]={0};printf("私钥 K 是:\n");mp_toradix(&K,tempK,10);printf("%s\n",tempK);Ecc_points_mul(&QX,&QY,&GX,&GY,&K,&A,&P);char tempQX[800]={0};printf("公钥X坐标是:\n");mp_toradix(&QX,tempQX,10);printf("%s\n",tempQX);char tempQY[800]={0};printf("公钥Y坐标是:\n");mp_toradix(&QY,tempQY,10);printf("%s\n",tempQY);printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); Ecc_encipher(&QX,&QY,&GX,&GY,&A,&P);//加密printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); Ecc_decipher(&K,&A,&P);//解密printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); char cc;cout<<"\n\n请击⼀键退出!\n";mp_clear(&GX);mp_clear(&GY);mp_clear(&K);//私有密钥mp_clear(&A);mp_clear(&B);mp_clear(&QX);mp_clear(&QY);mp_clear(&P);//Fp中的p(有限域P)}int GetPrime(mp_int *m,int lon){mp_prime_random_ex(m, 10, lon,(rand()&1)?LTM_PRIME_2MSB_OFF:LTM_PRIME_2MSB_ON, myrng, NULL); return MP_OKAY;}void Get_B_X_Y(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *b, mp_int *a, mp_int *p){mp_int tempx,tempy;mp_int temp;mp_int compare;mp_int temp1;mp_int temp2;mp_int temp3;mp_int temp4;mp_int temp5;mp_int temp6;mp_int temp7;mp_int temp8;mp_init_set_int (&compare, 0);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);mp_init(&temp);mp_init(&temp1);mp_init(&temp2);mp_init(&temp3);mp_init(&temp4);mp_init(&temp5);mp_init(&temp6);mp_init(&temp7);mp_init(&temp8);while(1){//4a3+27b2≠0 (mod p)GetPrime(b,40);mp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break;}}//y2=x3+ax+b,随机产⽣X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30);mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);mp_clear(&temp);mp_clear(&temp1);mp_clear(&temp2);mp_clear(&temp3);mp_clear(&temp4);mp_clear(&temp5);mp_clear(&temp8);}bool Ecc_points_mul(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *d,mp_int *a,mp_int *p){mp_int X1, Y1;mp_int X2, Y2;mp_int X3, Y3;mp_int XX1, YY1;mp_int A,P;int i;bool zero=false;char Bt_array[800]={0};char cm='1';mp_toradix(d,Bt_array,2);mp_init_set_int(&X3, 0);mp_init_set_int(&Y3, 0);mp_init_copy(&X1, px);mp_init_copy(&X2, px);mp_init_copy(&XX1, px);mp_init_copy(&Y1, py);mp_init_copy(&Y2, py);mp_init_copy(&YY1, py);mp_init_copy(&A, a);mp_init_copy(&P, p);for(i=1;i<=KEY_LONG-1;i++){mp_copy(&X2, &X1);mp_copy(&Y2, &Y1);Two_points_add(&X1,&Y1,&X2,&Y2,&X3,&Y3,&A,zero,&P);mp_copy(&X3, &X2);mp_copy(&Y3, &Y2);if(Bt_array[i]==cm){mp_copy(&XX1, &X1);mp_copy(&YY1, &Y1);Two_points_add(&X1,&Y1,&X2,&Y2,&X3,&Y3,&A,zero,&P);mp_copy(&X3, &X2);mp_copy(&Y3, &Y2);}}if(zero){cout<<"It is Zero_Unit!";return false;//如果Q为零从新产⽣D}mp_copy(&X3, qx);mp_copy(&Y3, qy);mp_clear(&X1);mp_clear(&Y1);mp_clear(&X2);mp_clear(&Y2);mp_clear(&X3);mp_clear(&Y3);mp_clear(&XX1);mp_clear(&YY1);mp_clear(&A);mp_clear(&P);return true;}//两点加int Two_points_add(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *x2,mp_int *y2,mp_int *x3,mp_int *y3,mp_int *a,bool zero,mp_int *p) {mp_int x2x1;mp_int y2y1;mp_int tempk;mp_int tempy;mp_int temp1;mp_int temp2;mp_int temp3;mp_int temp4;mp_int temp5;mp_int temp6;mp_int temp7;mp_int temp8;mp_int temp9;mp_int temp10;mp_init(&x2x1);mp_init(&y2y1);mp_init(&tempk);mp_init(&tempy);mp_init(&tempzero);mp_init(&k);mp_init(&temp1);mp_init(&temp2);mp_init_set(&temp3,2);mp_init(&temp4);mp_init(&temp5);mp_init(&temp6);mp_init(&temp7);mp_init(&temp8);mp_init(&temp9);mp_init(&temp10);if(zero){mp_copy(x1, x3);mp_copy(y1, y3);zero=false;goto L;}mp_zero(&tempzero);mp_sub(x2, x1, &x2x1);if(mp_cmp(&x2x1,&tempzero)==-1){mp_add(&x2x1, p, &temp1);mp_zero(&x2x1);mp_copy(&temp1, &x2x1);}mp_sub(y2, y1, &y2y1);if(mp_cmp(&y2y1,&tempzero)==-1){mp_add(&y2y1, p, &temp2);mp_zero(&y2y1);mp_copy(&temp2, &y2y1);}if(mp_cmp(&x2x1, &tempzero)!=0){mp_invmod(&x2x1,p,&tempk);mp_mulmod(&y2y1, &tempk, p, &k);}else{if(mp_cmp(&y2y1, &tempzero)==0){mp_mulmod(&temp3,y1,p,&tempy); mp_invmod(&tempy,p,&tempk);mp_sqr(x1, &temp4);mp_mul_d(&temp4, 3, &temp5);mp_add(&temp5, a, &temp6);mp_mulmod(&temp6, &tempk, p, &k); }else{zero=true;goto L;}}mp_sqr(&k, &temp7);mp_sub(x1, x3, &temp9);mp_mul(&temp9, &k, &temp10);mp_submod(&temp10, y1, p, y3);L:mp_clear(&x2x1);mp_clear(&y2y1);mp_clear(&tempk);mp_clear(&tempy);mp_clear(&tempzero);mp_clear(&k);mp_clear(&temp1);mp_clear(&temp2);mp_clear(&temp3);mp_clear(&temp4);mp_clear(&temp5);mp_clear(&temp6);mp_clear(&temp7);mp_clear(&temp8);mp_clear(&temp9);mp_clear(&temp10);return1;}//⼆进制存储密⽂int chmistore(mp_int *a,FILE *fp){int i,j;char ch;char chtem[4];mp_digit yy=(mp_digit)255;for (i=0; i <= a->used - 1; i++) {chtem[3]=(char)(a->dp[i] & yy);chtem[2]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)8) & yy); chtem[1]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)16) & yy); chtem[0]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)24) & yy);for(j=0;j<4;j++){fprintf(fp,"%c",chtem[j]);}}ch=char(255);fprintf(fp, "%c", ch);return MP_OKAY;}//把读取的字符存⼊mp_int型数int putin(mp_int *a,char *ch,int chlong){mp_digit *temp,yy;int i,j,res;if(a->alloc<chlong*2/7+2){if((res=mp_grow(a,chlong*2/7+2))!=MP_OKAY)return res;}a->sign=0;mp_zero(a);temp=a->dp;i=0;yy=(mp_digit)15;if(chlong<4){for(j=chlong-1;j>=0;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}return MP_OKAY;}if(chlong<7){i+=4;*++temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & yy);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp-- |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255); //存放被切分的字符的低四位for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)4;*temp |= (mp_digit)((ch[i-1] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位 a->used=2;return MP_OKAY;}//以7个字符为单元循环，把七个字符放⼊的mp_int 的两个单元中for(j=0;j<chlong/7;j++){i+=7;*++temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)4;*temp-- |= (mp_digit)((ch[i-4] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位 *temp |= (mp_digit)(ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);temp++;}if((chlong>=7)&&(chlong%7!=0)) //剩余字符的存放{if(chlong%7 < 4) //剩余字符少余4个时，只需⼀个mp_digit单元存放 {for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)8;a->used=chlong*2/7+1;}else{ //剩余字符不⼩于4个时，需两个mp_digit单元存放i+=4;*temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & yy);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255); //存放被切分的字符的低四位for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)4;*temp |= (mp_digit)((ch[i-1] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位}}else{a->used=chlong*2/7;}return MP_OKAY;}void Ecc_encipher(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *a,mp_int *p){ //公钥X、Y坐标，曲线G点X、Y坐标，曲线参数A，有限域P mp_int mx, my;mp_int c1x, c1y;mp_int c2x, c2y;mp_int r;mp_int tempx, tempy;bool zero=false;FILE *fp,*fq;int i;char miwenx[280]={0};char miweny[280]={0};char stemp[650]={0};mp_init(&mx);mp_init(&my);mp_init(&c1x);mp_init(&c1y);mp_init(&c2x);mp_init(&c2y);mp_init(&r);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);GetPrime(&r, 100);char filehead[60],filefoot[20],filename[85]={0};cout<<"请输⼊您要加密⽂件的存放路径和⽂件名(如: c:\\000\\⼤整数运算 ):"<<endl;cin>>filehead;cout<<"请输⼊您要加密⽂件的扩展名(如: .doc ):"<<endl;cin>>filefoot;strcpy(filename,filehead);strcat(filename,filefoot);//打开要加密⽂件if((fp=fopen(filename,"rb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}unsigned int FileLong=0;//⽂件字符长度char ChTem;//临时字符变int Frequency=0;int Residue=0;while( !feof(fp) )//找⽂件字符长度{ChTem = fgetc( fp );FileLong++;}--FileLong;Frequency = FileLong/EN_LONG;Residue = FileLong%EN_LONG;int enlongtemp=EN_LONG/2;//printf("%d\n",Frequency);//printf("%d\n",Residue);char filemi[85];strcpy(filemi,filehead);strcat(filemi,"密⽂");strcat(filemi,filefoot);//打开保存密⽂⽂件if((fq=fopen(filemi,"wb"))==NULL)exit(1);}printf("\n开始加密...\n");rewind(fp);for(i=0; i<Frequency; i++){fread(miwenx,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miweny[enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1);//⽂件存⼊putin(&my, miweny,enlongtemp+1);//⽂件存⼊Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p);//加密Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p);Two_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p);//保存密⽂chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}//剩余字符处理if ( Residue > 0){if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1,Residue,fp);//读⼊字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1);//⽂件存⼊mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp);//读⼊字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1);//⽂件存⼊putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1);//⽂件存⼊}Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p);//加密Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p);Two_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p);//保存密⽂chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}cout<<"\nok!加密完毕!"<<endl;cout<<"密⽂以⼆进制保存"<<endl;cout<<"密⽂存放路径为 "<<filemi<<endl ;mp_clear(&mx);mp_clear(&my);mp_clear(&c1x);mp_clear(&c1y);mp_clear(&c2x);mp_clear(&c2y);mp_clear(&r);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);}//取密⽂int miwendraw(mp_int *a,char *ch,int chlong){mp_digit *temp;int i,j,res;if(a->alloc<chlong/4){if((res=mp_grow(a,chlong/4))!=MP_OKAY)return res;}a->alloc=chlong/4;a->sign=0;mp_zero(a);temp=a->dp;i=0;for(j=0;j<chlong/4;j++){i+=4;*temp |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-1] & 255);}a->used=chlong/4;return MP_OKAY;}//实现将mp_int数a中的⽐特串还原为字符串并赋给字符串ch：int chdraw(mp_int *a,char *ch){int i,j;mp_digit *temp,xx,yy;temp=a->dp;i=0;yy=(mp_digit)255; //⽤于位与运算，取⼋位⽐特串xx=(mp_digit)15; //⽤于位与运算，取四位⽐特串for(j=0;j<a->used/2;j++) //以两个单元为循环，把两个单元的⽐特串赋给7个字符 {i+=7;ch[i-4]=(char)(*++temp & xx);ch[i-3]=(char)((*temp >> (mp_digit)4) & yy);ch[i-2]=(char)((*temp >> (mp_digit)12) & yy);ch[i-1]=(char)((*temp-- >> (mp_digit)20) & yy);ch[i-7]=(char)(*temp & yy);ch[i-6]=(char)((*temp >> (mp_digit)8) & yy);ch[i-5]=(char)((*temp >> (mp_digit)16) & yy);ch[i-4] <<= 4;ch[i-4]+=(char)((*temp++ >> (mp_digit)24) & xx);temp++;}if(a->used%2!=0) //剩于⼀个单元的处理{ch[i++] = (char)(*temp & yy);ch[i++] = (char)((*temp >> (mp_digit)8) & yy);ch[i++] = (char)((*temp >> (mp_digit)16) & yy);}--i;while(int(ch[i]&0xFF) != 255 && i>0) i--;return i;void Ecc_decipher(mp_int *k, mp_int *a,mp_int *p){mp_int c1x, c1y;mp_int c2x, c2y;mp_int tempx, tempy;mp_int mx, my;mp_int temp;mp_init(&temp);mp_init(&c1x);mp_init(&c1y);mp_init(&c2x);mp_init(&c2y);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);mp_init(&mx);mp_init(&my);mp_int tempzero;mp_init(&tempzero);int i;char stemp[700]={0};FILE *fp,*fq;bool zero=false;char filehead[60],filefoot[20],filename[85]={0};cout<<"请输⼊您要解密的⽂件的存放路径和⽂件名(如: c:\\000\\⼤整数运算 ):"<<endl; cin>>filehead;cout<<"请输⼊您要解密的⽂件的扩展名(如: .doc ):"<<endl;cin>>filefoot;strcpy(filename,filehead);strcat(filename,filefoot);printf("\n开始解密\n");if((fp=fopen(filename,"rb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}//打开保存解密结果⽂件char filemi[80];strcpy(filemi, filehead);strcat(filemi, "解密");strcat(filemi, filefoot);if((fq=fopen(filemi,"wb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}rewind(fp);while(!feof(fp)){i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;}i++;}L1: miwendraw(&c1x, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L2;}i++;}L2: miwendraw(&c1y, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L3;}i++;}L3: miwendraw(&c2x, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L4;}i++;}L4: miwendraw(&c2y, stemp, i);mp_zero(&tempzero);if(mp_cmp(&c1x, &tempzero)==0) break;Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &c2x, &c2y, k, a, p);mp_neg(&tempy, &temp);Two_points_add(&c1x,&c1y,&tempx,&temp,&mx,&my,a,zero,p);int chtem;chtem=chdraw(&mx,stemp);//从ming中取出字符串//保存解密结果for(int kk=0;kk<chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}chtem=chdraw(&my,stemp);//从ming中取出字符串//保存解密结果for(kk=0;kk<chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}}cout<<"\nok!解密完毕!"<<endl;cout<<"解密后的⽂字存放路径为 "<<filemi<<endl;fclose(fq);fclose(fp);mp_clear(&c1x);mp_clear(&c1y);mp_clear(&c2x);mp_clear(&c2y);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);mp_clear(&mx);mp_clear(&my);mp_clear(&temp);}。

椭圆曲线加密算法代码

椭圆曲线加密算法代码及解析在椭圆曲线加密中，利用了某种特殊形式的椭圆曲线，即定义在有限域上的椭圆曲线。

其方程如下：y2=x3+ax+b(mod p)这里p是素数，a和b为两个小于p的非负整数，它们满足：4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b ∈Fp,则满足式（2）的点（x,y）和一个无穷点O就组成了椭圆曲线E。

椭圆曲线离散对数问题ECDLP定义如下：给定素数p和椭圆曲线E，对 Q=kP,在已知P,Q的情况下求出小于p的正整数k。

现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。

2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。

3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。

4、用户B接到信息后，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（将M转化为十进制整数m，然后令椭圆曲线中点的横坐标为m，根据曲线方程计算出纵坐标，便得到了一个点。

），并产生一个随机整数r（r<n）。

5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。

6、用户B将C1、C2传给用户A。

7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。

因为C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就可以得到明文。

过程分析：1、将给出的椭圆上的两点G,K相加求得第三点M。

P跟Q有两种情况。

分P=Q 和P不等于Q时。

2、求M的过程中进行求模运算。

第一，将分数利用最小公倍数求模。

第二，负数求模，先将负号拿出来，求完再将负号加上。

根据公式将λ解出。

3、将X3Y3求出。

循环算出nG，求出C1C2（密文）。

C1=rG，C2=M+rK。

M为明文，公开密钥K=kG代码部分：#include <iostream>using namespace std;//求两数的最小公倍数int f1(int a, int b){int c=a;while( c%a!=0 || c%b!=0)c++;return c;}//求modint mod (int a, int b){int c;if(a>0)c=a%b;else{while(a<b)a=a+b;c=a%b;}return c;}//求λint f2(int x1,int y1,int x2,int y2,int a,int p) {int b,b1,b2,q;//b1为分子，b2为分母if( x1==x2 && y1==y2)//如果λ两点相等{b1=3*x1*x1+a;b2=2*y1;if(b1<0)b1=-mod(-b1,p);elseb1=mod(b1,p);if(b2<0){b2=mod(-b2,p);q=-f1(b2,p+1)/b2;}else{b2=mod(b2,p);q=f1(b2,p+1)/b2;}b2=f1(b2,p+1)/b2;b=b1*b2;b=mod(b,p);}else{b1=y2-y1;b2=x2-x1;if(b1<0)b1=-mod(-b1,p);elseb1=mod(b1,p);if(b2<0){b2=mod(-b2,p);q=-f1(b2,p+1)/b2;}else{b2=mod(b2,p);q=f1(b2,p+1)/b2;}b=b1*q;b=mod(b,p);}return b;}//求两点横坐标的和int sumx(int x1,int y1,int x2,int y2,int k,int a,int p){int x3,y3,i;if(k==1){x3=(f2(x1,y1,x2,y2,a,p))*(f2(x1,y1,x2,y2,a,p))-x1-x2;x3=mod(x3,p);}else{for(i=1;i<=k-1;i++){x3=(f2(x1,y1,x2,y2,a,p))*(f2(x1,y1,x2,y2,a,p))-x1-x2;x3=mod(x3,p);y3=(f2(x1,y1,x2,y2,a,p)*(x1-x3))-y1;y3=mod(y3,p);x2=x1;x1=x3;y2=y1;y1=y3;}}return x3;}//求两点纵坐标的和int sumy(int x1,int y1,int x2,int y2,int k,int a,int p){int x3,y3,i,u=x1,v=y1,m=x2,n=y2;if(k==1){x3=f2(u,v,m,n,a,p)*f2(u,v,m,n,a,p)-u-m;x3=mod(x3,p);y3=f2(u,v,m,n,a,p)*(u-x3)-v;y3=mod(y3,p);}else{for(i=1;i<=k-1;i++){x3=f2(u,v,m,n,a,p)*f2(u,v,m,n,a,p)-u-m;x3=mod(x3,p);y3=f2(u,v,m,n,a,p)*(u-x3)-v;y3=mod(y3,p);m=x1;u=x3;n=y1;v=y3;}}return y3;}//加密过程void encry(int x1,int y1,int x2,int y2,int k, int a, int p,int r) {int c1x,c1y,bx,by,bx1,by1,mbx,mby;c1x=sumx(x1,y1,x1,y1,r,a,p);c1y=sumy(x1,y1,x1,y1,r,a,p);bx1=sumx(x1,y1,x1,y1,k,a,p);by1=sumy(x1,y1,x1,y1,k,a,p);bx=sumx(sumx(x1,y1,x1,y1,k,a,p),sumy(x1,y1,x1,y1,k,a,p),sumx(x1,y 1,x1,y1,k,a,p),sumy(x1,y1,x1,y1,k,a,p),r,a,p);by=sumy(sumx(x1,y1,x1,y1,k,a,p),sumy(x1,y1,x1,y1,k,a,p),sumx(x1,y 1,x1,y1,k,a,p),sumy(x1,y1,x1,y1,k,a,p),r,a,p);mbx=sumx(x2,y2,bx,by,1,a,p);mby=sumy(x2,y2,bx,by,1,a,p);cout<<"(C1,C2)="<<"(("<<c1x<<","<<c1y<<"),("<<mbx<<","<<mby<<"))" ;}void main(){cout<<"令曲线方程格式为y^2=x^3+ax+b"<<endl;int a,b,c,d,m,n,x,y,r;cout<<"请输入a的值：";cin>>a;cout<<"请输入b的值：";cin>>b;cout<<"请给定一个素数P:";cin>>c;cout<<"请给定一个秘密正数k:";cin>>d;cout<<"令曲线上点的格式为（x1,y1)："<<endl;cout<<"请输入x1的值：";cin>>m;cout<<"请输入y1的值：";cin>>n;cout<<"令消息的格式为（x2,y2)"<<endl;cout<<"请输入x2的值：";cin>>x;cout<<"请输入y2的值：";cin>>y;cout<<"请任选一个整数r：";cin>>r;cout<<"加密消息为:";encry(m,n,x,y,d,a,c,r);cout<<endl;}程序开始运行的界面：。

椭圆曲率密码算法

椭圆曲率密码算法
椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非对称加密算法，与RSA、D-H等加密算法相比，它需要的密钥短得多，同时安全性更高。

ECC最早由Koblitz和Miller独立发明，又因为它用到了椭圆曲线而得名。

椭圆曲线是在x和y坐标中定义的一类特殊的曲线，其数学定义形式为y²=x³+ax+b，其中a和b是曲线中特定的常数。

图像上看，这一曲线形状像一个传统的“椭圆”，但实际上它无论是长轴还是短轴，都是由某一个常数a和b所决定的。

而密钥生成的过程，可以如下所述：
1. 随机选择一条椭圆曲线E: y²=x³+ax+b
2. 随机选择一个基点G（记为P）作为公钥，其纵标在曲线上
3. 选择一个私钥d，计算Q=dP
4. 将P和Q作为公钥和私钥
在此基础上，可以执行加密和解密操作
加密：将明文m转换为一点P(x,y)，随机选择一个数k，计算C1=kP，C2=kQ+P，加密结果为(C1,C2)
解密：首先计算kP，然后计算C2-k(dC1)，得到明文m。

而安全性取决于曲线的选择和私钥的长度，在相同的密钥长度条件下，ECC的安全性比RSA高得多。

具体来说，当需要相同的密钥长度时，ECC提供了比RSA更高的安全性，并且它使用的密钥长度要短得多。

总的来说，ECC不仅适用于移动设备、物联网等对计算资源有限的场景，而且也是一种在普遍应用中的加密技术。

当前，它已被大量应用于银行、电子商务和安全应用领域。

因此，对椭圆曲线加密算法有更深的了解，对我们理解加密算法和信息安全有重要的意义。

椭圆曲线密码算法

安全协议的发展
标准化进程
推动椭圆曲线密码算法的标准化进程，制定相关的安全标准和规范，促进其在安全协议中的应用。
混合加密方案
将椭圆曲线密码算法与其他加密算法相结合，形成更为强大的混合加密方案，提高安全协议的整体安全性。
安全协议的演进
随着网络威胁的不断变化，椭圆曲线密码算法将在安全协议的发展中发挥重要作用，助力安全协议的不断演进和升级。
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椭圆曲线密码算法的优势
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安全性高
由于椭圆曲线离散对数问题的难解性，椭圆曲线密码算法被认为是目前最安全的公钥密码算法之一。
密钥长度短
相对于其他公钥密码算法，椭圆曲线密码算法使用的密钥长度更短，提高了加密和解密的效率。
适用于多种应用
椭圆曲线密码算法适用于多种安全应用，如数字签名、密钥协商和数据加密等。
对称加密算法
与对称加密算法相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，因为它们基于更复杂的数学问题。然而，对称加密算法的加密和解密速度更快。
哈希函数
与哈希函数相比，椭圆曲线密码算法具有更高的安全性，并且可以用于数字签名和身份验证等场景。然而，哈希函数是不可逆的，不能用于加密和解密。
公钥基础设施（PKI）
与PKI相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，并且具有更小的密钥长度。然而，PKI已经得到了广泛的应用和标准化，具有更高的兼容性和互操作性。
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CATALOGUE
椭圆曲线密码算法的实际应用案例
数字签名
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数字签名
椭圆曲线密码算法可用于生成数字签名，确保数据完整性和来源可追溯性。通过使用私钥对数据进行加密，生成数字签名，接收者可以使用公钥进行验证，确认数据是否被篡改或伪造。

ecc椭圆曲线加密算法原理

ecc椭圆曲线加密算法原理宝子们！今天咱们来唠唠一个超酷的加密算法——ECC椭圆曲线加密算法。

这玩意儿听起来就很神秘，对不对？咱先从基础概念说起哈。

椭圆曲线呢，可不是咱平常看到的椭圆哦。

在数学的奇妙世界里，它是由一个方程定义的曲线。

这个方程大概是这个样子的：y² = x³ + ax + b（这里的a和b是一些常数啦）。

不过呢，这个曲线不是随便画在平面上就行的，还有一些特殊的规则。

比如说，这个曲线得是光滑的，不能有尖尖的角或者奇怪的断点。

那这个椭圆曲线和加密有啥关系呢？这就很有趣啦。

想象一下，在这个椭圆曲线上有好多好多的点。

这些点就像是一个个小秘密的藏身之处。

我们在这个曲线上定义一种特殊的运算，叫做“点加”运算。

这个“点加”可不是简单的把两个点加起来哦。

它有一套自己独特的计算方法。

比如说，我们有两个点P和Q在椭圆曲线上。

要计算P + Q呢，我们得先画一条直线穿过P和Q（如果P和Q是同一个点的话，那这条直线就是曲线在这个点的切线哦，是不是很神奇？）。

这条直线会和椭圆曲线相交于另一个点，我们把这个点叫做R'。

然后呢，我们把R'关于x轴对称的点就是P + Q啦。

这个运算规则虽然有点复杂，但是很有规律呢。

好啦，现在我们来看看怎么用这个椭圆曲线来加密。

我们有一个发送者，比如说小明，和一个接收者，比如说小红。

首先呢，小红要在椭圆曲线上选一个秘密的点，这个点就像是她的小钥匙，只有她自己知道。

然后呢，她把椭圆曲线的一些公开信息，比如曲线的方程、一个公开的基点（这个基点就是曲线上一个大家都知道的点啦）发给小明。

小明要发送一个消息给小红。

他把这个消息变成一个椭圆曲线上的点M（这个转换过程也有一些小技巧哦）。

然后呢，小明随便选一个整数k，这个k就像是他临时想出来的一个小密码。

他计算C1 = k * 基点（这里的*就是我们前面说的点加运算，不过是重复k次啦），C2 = M + k * 小红的秘密点。