椭圆曲线公钥密码加密方法的C语言实现

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椭圆曲线密码(ECC)加解密算法的实现

毕业论文论文题目椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现学生姓名学号院别数学与信息科学学院专业信息与计算科学班级指导教师完成时间 2011 年 04 月椭圆曲线密码（ECC）加解密算法的实现摘要本文首先介绍椭圆曲线密码体制(ECC)；并简明地给出了椭圆曲线的定义；接着以ElGamal公钥体制的ECC加解密的实现为例具体说明了其实现流程；最后分析了实现结果，安全性能和概述了ECC的发展现状，并对其未来的发展作了展望.关键词椭圆曲线密码；公钥密码，数字签名1引言随着政府部门和行业对网络环境和网络资源依赖程度的增强,涉及国家安全和社会公共安全的所有重大问题都在网络上表现出来. 为了确保信息的保密性，完整性，可用性，可控性，避免国家或个人的信息受到非法获取，破坏，篡改等形式的威胁，人们便提出了用密码技术来保障以电子形式保存或传送的数据. 1985年，N. Koblitz和V. Miller分别独立提出了椭圆曲线密码体制 (ECC)，这是一种高安全性，高效率的公钥密码体系，它在密钥强度，加解密的处理速度和存储开销上都有着明显的优势. 采用椭圆曲线密码技术使密钥协商协议可充分利用椭圆曲线密码的优势，在更小密钥量下提供了更大的安全性，所需带宽明显减少，而且还大大降低了用户端的计算负担和存储要求.2椭圆曲线密码体制2.1密码体制的含义密码体制分为对称密码体制和非对称密码体制．非对称密码体制是指在加密过程中，密钥被分为一对．这对密钥中的任何一个密钥都可以作为公开密钥通过非保密方式向他人公开, 而另一把作为私有密钥加以保存. 这对密钥具有这样一个特点: 当知道密钥对中的一个密钥时, 要检测出另一个密钥, 在计算上是不可能的. 公开密钥用来对信息进行加密, 则私有密钥用来对信息进行解密, 反之亦然. 在这个系统中, 每个通信实体都有一个加密密钥和一个紧密相关的解密密钥．通信的双方只要知道对方的公钥，就可以进行安全的通信．2.2 椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制，即基于椭圆曲线离散对数问题的各种公钥密码体制. 最早由Miller和Koblitz [1] 于1985年分别独立地提出. 它是利用有限域上椭圆曲线的有限点群代替基于离散对数问题密码体制中的有限循环群所得到的一类密码体制. 对于椭圆曲线密码系统（ECC）的安全性，其数学基础是计算椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难解性[2] . 一般来说，ECC没有亚指数攻击，所以它的密钥长度大大地减少，256bit的ECC密码体制成为目前已知公钥密码体制中每位提供加密强度最高的一种体制.3.椭圆曲线的定义所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯 (Weierstrass)方程:所确定的平面曲线[1]．若F是一个域,满足方程的数偶称为域F上的椭圆曲线 E的点. F域可以是有理数域, 也可以是复数域, 还可以是有限域. 椭圆曲线通常用 E 表示.4.ECC算法的设计思想设, 称为Weierstrass多项式. 当在任意点P成立, 则椭圆曲线称为光滑的或非奇异的. 若E是定义在有限域Fq上的椭圆曲线且其(p为素数), 这样的p称为有限域Fq的特征值. E中恰好有一个Z坐标为0的点(0, 1, 0), 我们称它为椭圆曲线的无穷远点, 用O表示. 椭圆曲线上有理点的个数称为该椭圆曲线的阶, 若亦表示椭圆曲线的阶, 则由(其中), 即Hasse定理. 如果椭圆曲线E定义在域Fq上, 其特征值不等于2和3, 则E 的Weierstrass等式可以简化, 做变换, 进而Weierstrass等式变换为, 其中, 判别式, 此式为椭圆曲线的一般形式. 若令, 则等式变为.根据椭圆曲线进行加密通信的过程：1) 用户A选定一条椭圆曲线，并取椭圆曲线上一点, 作为基点G.2) 用户A选择一个私有密钥k, 并生成公开密钥.3) 用户A将和点K, G传给用户B.4) 用户B接到信息后, 将待传输的明文编码到上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r ( r < n ).5) 用户B计算点.6) 用户B将C1、C2传给用户A.7) 用户A接到信息后，计算, 结果就是点M, 即明文.因为再对点M进行解码就可以得到明文. 密码学中，描述一条上的椭圆曲线，常用到六个参量：,其中p、a、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分[3].5. 椭圆曲线参数的选取和基点的确定5.1 选取参数和确定基点的理论分析在基于椭圆曲线的加解密和数字签名的实现方案中，首先要给出椭圆曲线域的参数来确定一条椭圆曲线. 但并不是所有的椭圆曲线都适合加密，是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类. 下面我们就选用作为我们的加密曲线. 这条曲线定义在Fq上: 两个满足下列条件的小于p (p为素数) 的非负整数a、b:则满足下列方程的所有点，再加上无穷远点∞，构成一条椭圆曲线.其中 x, y属于0到p - 1间的整数，并将这条椭圆曲线记为.参数p的选取：p当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求，我们将p取为200比特位的素数.参数a、b的选取: 先随机产生小于p - 1的正整数作为参数a, 然后依据条件，判断随机产生的小于p - 1的正整数是否适合作为参数b.基点的确定：随着参数a, b, p确定，这条曲线就定下来了. 先随机产生0到p - 1间的整数作为基点x坐标，计算的结果再开方就得出基点y坐标.5.2 选取参数和确定基点的具体程序实现具体程序实现如下：……{//GetPrime(b,40); //先随机产生一个参数Bmp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break; //满足条件跳出循环}}//, 随机产生X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30); // 随机产生30比特长的X坐标mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1); // 得到Y坐标……私钥的确定：随机选取1到P - 1之间的素数作为私钥d.公钥的确定：由d 乘我们所确定的基点得到公钥K，即.6. 椭圆曲线密码的算法6.1 椭圆曲线密码算法的特点6.1.1 离散性密码算法需要的是离散值的定点运算，而不是连续值的浮点运算，在密码算法中不允许舍入.6.1.2 大数运算密码算法往往是大数运算，椭圆曲线密码体制要求160位的大数运算，但现有微机的CPU最多只支持64位的运算.1) 要求大容量的数据存储.密码运算通常都要利用大容量的数据表，即用空间来换取时间上的加速. 这就要求运算部件具有大容量的存储.2) 包含大量的并行性.6.2 椭圆曲线密码体制中的有关计算6.2.1 椭圆曲线密码体制中的运算类型作为公开密钥算法的一种，椭圆曲线密码体制要用到点乘、点加、模乘、模加、模逆、模幂这些基本运算，它们的执行速度直接决定着椭圆曲线的加密速度. 为了提高它们的速度，可从以下两方面考虑：(1) 采用高速的算法.(2) 实现算法的并行性(以便在硬件设计中利用多处理器进行并行运算):1) 大数乘、大数取模属于整数域上的运算;2) 模加、模乘、模逆、模幂属于有限域上的运算;3) 点加和点乘属于椭圆曲线的点加群上的运算.6.2.2 简述椭圆曲线的点加和纯量乘法由于本人能力有限，短时间内很难做出一些深层次的研究和探讨，因此只能在这里做一点表面文章. 所以本文在这一部分就结合前面对有关大数计算算法进行的阐述，做一些力所能及的事情. 对于一般的椭圆曲线方程,设点,和的坐标.的计算公式如下:,,其中.当P ≠ Q时，.当P = Q时, 对于椭圆曲线方程, 上述的公式变为:,,其中当P ≠ Q时,.当P=Q时, 由上述运算公式, 可以得出点积mP的运算, 即mP = P + P + … + P, 共m个P相加, 这里m∈N.6.3椭圆曲线的点积的具体程序算法设m的二进制表示为，其中, Q = P, 从左到右依次计算:for( i = n - 2 to 0){ Q = 2Q;if(==1) Q=Q+P；}则Q=mP.Return;函数原形为：bool Ecc_points_mul(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px, mp_int*py, mp_int*d, mp_int *a,mp_int *p)成功返回true.int Two_points_add(mp_int*x1, mp_int*y1, mp_int*x2, mp_int*y2, mp_int*x3, mp_int *y3, mp_int *a, bool zero, mp_int*p)成功返回1.7.加密文件的读入与输出7.1椭圆曲线的加密体制在Diffe-Hellman公钥系统体制中,具体的椭圆曲线、曲线上点P及P的周期大素数N都是公开信息.A和B要进行通讯,首先得到椭圆曲线E、点P及素数N. 然后用户A将[1, N-1]中随机选取的整数a作为私钥, A将作为自己的公钥传送给用户B, 与此同时B将 [1, N-1]中随机选取的整数b作为私钥, 并将作为自己的公钥传送给A. A、B各自将自己的私钥点乘于对方传过来的公钥得到, 这样就完成了密钥的交换过程．当用户A需要将待传数据m传送给用户B时, A 利用m和生成, 当用户B得到后, 利用密钥交换过程自己生成的和从用户A处得到的加密数据生成数据m.见下图[5]：7.2加密文件的读入与输出的具体程序实现mp_digit只用28比特，因此一个单元最多可存放三个半字节. 为充分利用存取空间，采用一个单元放三个半字节.7.2.1函数putin()的实现函数putin()的实现的作用: 将明文的二进制比特串赋给mp_int数a. 主要循环部分及说明如下：// chlong为要存入的字符数组长for(j=0; j<<="(mp_digit)CHAR_BIT;" *temp 存入字符 255); 左移8位存入高8位并向左移8位，以便放入下一个字符 temp跳过前一个单元，先存入后一单元 *++temp 每次跳七个字符 i + ="7"; 的两个单元中以7个字符为单元循环，把七个字符放入的mp_int 7; j++){(>> 4); //存放被切分的字符的高四位，temp跳回前一个单元//存入第一单元*temp |= (mp_digit) (ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位yy=(mp_digit)15;*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //向左移8位，以便放入下一个字符*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);//存放被切分的字符的低四位，temp跳到后一个单元temp++; //再向后跳一单元，这样和下次的++temp实现每次循环跳两个单元}函数原型为：int putin(mp_int*a, char*ch, int chlong)成功返回0．7.2.2函数chdraw( )的实现函数chdraw()实现将mp_int数a中的比特串还原为字符串并赋给字符串ch： chdraw和putin是相反过程，将putin存入字符的过程反过来取出字符.函数原型为：int chdraw(mp_int* a, char*ch)成功返回0．8.密文的存取和读入此过程难点是如何保证存入文件后，再从文件中读取密文并存入mp_int型数后，和原存放密文的mp_int型数不能有一个比特位的改变.存取时先存 *mp->dp的最高8位，再依次往下存后面3个8位. 依据 *mp->dp的特点，最高8位为0000xxxx，因此，可将255作为一个密文段的结束标志，把前一密文段和后一密文段区分开. 这样在密文文件中，密文的存取结构为：0000xxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|0000xxxx|……|11111111|0000xxxx|xxxxxxxx|…..0字节 1字节 2字节 3字节 4字节 4x字节下一加密段 x为1或0利用fgetc每次读取一个字符，并赋值给一个字符数组. 当a[i]=255，且i%4=0时截止.读出之后赋值就简单了.存密文：int chmistore(mp_int*a, FILE*fp) 成功返回0把密文赋给mp_int型数a: int miwendraw(mp_int*a, char*ch, int chlong) 成功返回0.9. ECC加密的实现9.1 ECC加密实现的理论依据加密时因P长度取值为200比特，所以所取明文长度应在0到199比特之间，另外需要一个附加的标志字节char(255)，所以一次取明文最大长为191比特. 在本程序中一次取20字节. 和RSA不同，ECC运算是基于点的运算. 一个点有两个参数，一个X坐标，一个Y坐标. 所以取明文时需一次取两段，前一段做X坐标，后一段做Y坐标. 因此，一次加密明文为40字节. 由于每次加密要取两段，引发了另外一个问题：当加密文件末尾所剩明文长度小于20字节时的处理. 在本程序中，我们的解决是将剩余明文取作X，而将Y取作0，且不加标志字节char(255)，这样解密时，程序在Y中找不到标志字节char(255)，就不会往解密文中存任何东西.取得明文后，产生一个随机整数r, 计算点；. 将点、坐标,,,依次存入密文文件[6].9.2 ECC加密的具体程序实现for(i=0; i 0) // Residue为剩余字符数{if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1, Residue, fp); //读入字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1); //文件存入mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp); //读入字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp); //读入字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1); //文件存入putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1); //文件存入}//加密Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p); //C2=rGEcc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p); // rKTwo_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p); // C1=M+rK//保存密文chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}函数原型为：void Ecc_encipher(mp_int*qx, mp_int*qy, mp_int*px,mp_int*py, mp_int*a, mp_int*p);10.ECC解密的实现10.1ECC解密实现的理论依据解密时，依据存密文时放入的结束标志255，读入密文. 依次取4段, 调用miwendraw将密文存入mp_int型数中，还原为加密时存入的点C1和C2坐标c1x, c1y, c2x, c2y. 依据. 计算(d为私钥)，得到明文点坐标,. 其中两点减的计算可如下：；计算完毕后调用chdraw取出mp_int中的明文比特串，依次存入解密文件中，完成解密[6].10.2 ECC解密的具体程序实现while(!feof(fp)){//取C1点X坐标i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;}i++;}L1: miwendraw(&, stemp, i); //取其他坐标Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &, &, k, a, p); // 计算mp_neg(&tempy, &temp); // -Q=（X，-Y）Two_points_add(&,&, &tempx, &temp, &, &, a, zero, p);int chtem;chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(int kk=0;kk < chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}chtem=chdraw(&,stemp); //从ming中取出字符串//保存解密结果for(kk=0; kk < chtem; kk++){fprintf(fq, "%c", stemp[kk]);}}函数原型为：void Ecc_decipher(mp_int*k, mp_int*a, mp_int*p);11. 测试结果及分析为验证系统的加密解密功能,对系统进行了如下测试:测试环境Intel p4; CPU 1.5G; 256M RAM; Windows XP DEV - C++测试结果利用系统对文本文件、BMP、WORD、EXCEL、EXE等文件进行加密，然后解密. 验证结果表明,给定的明文经系统加密后再解密的结果完全一致, 没有一个比特的偏差，较好的实现了ECC的功能.12．结束语目前，国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是 1985年 Koblitz和Miller分别独立提出的建立在椭圆曲线上的离散对数难题基础上的椭圆曲线密码体制（ECC）. 经过长期的理论研究和科学实践，ECC得到了迅猛的发展. 现在椭圆曲线密码体制不仅是一个重要的理论研究领域，而且已经从理论研究转化为实际可用的密码算法，促使民用安全技术走向产业化. 当前，国内外很多生产密码产品的公司都在致力于ECC产品的开发. 椭圆曲线加密算法ECC的安全性，是基于计算有限域上椭圆曲线点集所构成的可交换群上定义的离散对数的困难性. 该算法具有安全性能高，计算量小，处理速度快，存储空间占用小和带宽要求低等特点，已在强调速度的领域如PDA，手机，智能卡等方面得到应用.参考文献：[1] 杨超, 高海燕. 椭圆曲线密码体制理论与其安全性研究[J]电脑知识与技术, 2006,(17).[2] 孙跃刚. 椭圆曲线密码体制中若干问题的研究[D]. 吉林大学 2009. [3] 于彬. 椭圆曲线密码算法的研究与实现[D]. 沈阳工业大学.[4] 王庆先. 有限域运算和椭圆曲线数乘运算研究[D]. 电子科技大学2006.[5] 李学俊. 基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码及其算法研究[D].[6] 杨君辉, 戴宗铎, 杨栋毅, 刘宏伟. 关于椭圆曲线密码的实现[J]通信技术,2001(06).On the Realization of the Elliptic Curve Encryption Algorit hmYan MeitingAbstract: In this paper, we first introduce the elliptic curve encryption algorithm, then give the definition of the elliptic curve briefly. The ElGamal public encryption system is based on the elliptic curve theory, and we analyze the process and the security of this encryption system. At last we realize it in c++ and offer the source code.Keywords: elliptic curve encryption algorithm; public-key password, digital signatures。

ECC算法详解及硬件实现

ECC算法详解及硬件实现ECC（Elliptic Curve Cryptography，椭圆曲线密码学）是一种基于椭圆曲线上的点运算实现的公钥加密算法。

相对于传统的RSA和DSA等算法，ECC具有更高的安全性和更小的密钥长度，使得它成为当前广泛应用于各种加密场景的密码学算法之一椭圆曲线上的加法是一种封闭和交换的运算，如果点P和点Q在椭圆曲线上，它们的和点（P+Q）也在曲线上。

椭圆曲线上的乘法是一种重复添加点自身的运算，即kP=P+P+...+P。

通过选择合适的曲线方程和基点G，椭圆曲线群的运算可以实现很多复杂的密码学操作。

在实际应用中，ECC算法通常涉及到大整数运算和有限域上的数学运算。

为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器。

这些硬件加速器通常采用并行运算的方式，利用硬件并行性，加快椭圆曲线上点运算的速度。

硬件加速器通常包括椭圆曲线点坐标转换模块、点加法模块和点乘法模块等功能模块。

椭圆曲线点坐标转换模块用于将输入的坐标转换为内部表示形式，点加法模块用于执行点的加法运算，而点乘法模块用于执行点的乘法运算。

在点乘法模块中，通常采用加法链和蒙哥马利算法对点乘法进行优化。

加法链是一种预先计算并存储在查找表中的点的序列，可以在计算中减少加法操作的次数。

蒙哥马利算法利用模n的同态性质，通过对曲线上的点进行映射，将大整数运算转化为模n的小整数运算，大大加快了点乘法的速度。

除了基本的功能模块，硬件加速器还需要处理输入输出数据和控制信号的接口。

通常采用高速串行接口来与主机进行数据传输，并配备统一的控制器进行流程管理。

总之，ECC算法是一种基于椭圆曲线点运算的公钥加密算法，具有较高的安全性和较小的密钥长度。

为了提高ECC算法的执行效率，需要设计和实现专门的硬件加速器，利用并行运算和优化算法来加快点运算速度。

随着技术的发展和硬件性能的提升，ECC算法在各种加密场景中得到了广泛应用。

椭圆曲线加密算法的研究与实现

椭圆曲线加密算法的研究与实现椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于数论的加密算法，可用于保护数据的机密性和完整性。

相较于传统的RSA和DSA等加密算法，ECC在提供相同的安全性的情况下，使用更短的密钥长度，计算速度更快，适用于资源受限的环境，如移动设备和物联网。

1.参数选择：选择一条合适的椭圆曲线，确定椭圆曲线上的基点以及有限域的大小。

2.密钥生成：随机选择一个私钥，计算公钥。

3.加密：选择一个随机数作为加密密钥，将原始数据转换成椭圆曲线上的点，使用公钥和随机数进行数乘运算得到加密后的点，并将其转换为密文。

4.解密：使用私钥对密文进行解密，即进行数乘运算得到明文点，并将其转换为原始数据。

5.密钥交换：两个通信方通过交换公钥来协商密钥。

在实际应用中，ECC已被广泛应用于数字签名、密钥交换、公钥加密等方面。

比如，ECC在TLS/SSL协议中的使用可以提供安全的通信。

以及在密码芯片等硬件设备中，也广泛使用ECC算法来提供安全的数据存储和通信。

对于椭圆曲线加密算法的实现，需要考虑如下几个方面：1.参数选择：选择合适的椭圆曲线参数，如曲线方程、取模素数、基点等。

2.有限域运算：实现有限域上的点加法和数乘运算，包括点相加的算法、点相乘的算法。

3.密钥生成：实现私钥的生成以及公钥的计算。

4.加密和解密：实现明文数据到椭圆曲线上的点的转换，以及椭圆曲线上的点到密文数据的转换，同时实现数乘运算。

5.密钥交换：实现公钥的传递和协商密钥的过程。

对于实现椭圆曲线加密算法，可以选择使用编程语言提供的大数运算库来处理大整数运算，这样可以方便地进行椭圆曲线上的运算。

常用的编程语言，如C++、Java、Python等都有相应的大数运算库可供使用。

总结而言，椭圆曲线加密算法是一种高效且安全的加密算法，其在多个领域具有广泛的应用前景。

实现椭圆曲线加密算法需要对椭圆曲线的数学原理有深入理解，同时需要实现各种运算和参数选择的算法。

大素数域上椭圆曲线密码体制的软件实现

ＷＡＮＧｉ，ＺＨｕＨＡＮＧｎｇｏ，ＷＡＧｕｍ／Ｆａｇ－ｕＮＹ— ｎ
（ａｏａＫｙＬｂＩｅｒｔｅｖｒｅｏｓｉａｎ．Ｘｌ７０７，ＣｉａＮｔｎｌｅａ．ｎｇａｄＳｒｔｒ，ＸｄｎＵｉ，ｉｌ１０１ｈｎ）ｉｔｅｅＮｗｋｉｖａ
大素数域上椭圆曲线密码体制的软件实现
王晖，张方国，王育民
（西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室，陕西西安７０７）１０１
摘要：椭圆曲线密码体制已成为公钥密码研究的主流．讨论了大素数域上椭圆曲线密码体制的软件实现问题，以寻找的安全椭圆曲线为基础，Ｐｎｕ１３０】微处理器上，用标准Ｃ语言和汇编语并在ｅｔｍ１５ Ⅷ ｉ利言实现了椭圆曲线密码体制．时间结果显示。２ｂｔ２４ｉ的椭圆曲线数字签名需要１６ｎ，．Ｉ验证需要５６Ｉ．ｓ．—ｓＩ关键词：椭圆曲线密码体制；素数域；大实现中图分类号：Ｎ１．Ｔ９８２文献标识码：Ａ文章编号：０１４０２０）３０２－３１０．０（０２０ —４６０２
用于计算能力和集成电路空间受限（Ｓａｔ卡、宽受限（无线通信和某些计算机网络）要求高速实现如ｍｒ）带如、
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２Ｏ０２年６月（自然科学版）
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Ｊｎ．０２ｕ２０
Ｖ１２Ｎ３０．９ｏ．

实现椭圆曲线密码算法

实现椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography, ECC）涉及到椭圆曲线数学理论以及相关的加密技术。

这是一种公钥加密系统，与传统的 RSA 算法相比，它具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，因此在安全通信和数据保护领域得到了广泛应用。

下面是一个简单的示例，展示了如何使用 Python 实现椭圆曲线密码算法：from cryptography.hazmat.backends import default_backendfrom cryptography.hazmat.primitives import serializationfrom cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import ec# 生成椭圆曲线密钥对private_key = ec.generate_private_key(ec.SECP256R1(), default_backend()) public_key = private_key.public_key()# 将密钥序列化为字节串private_key_bytes = private_key.private_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PrivateFormat.TraditionalOpenSSL,encryption_algorithm=serialization.NoEncryption())public_key_bytes = public_key.public_bytes(encoding=serialization.Encoding.PEM,format=serialization.PublicFormat.SubjectPublicKeyInfo)# 打印密钥print("Private key:")print(private_key_bytes.decode('utf-8'))print("\nPublic key:")print(public_key_bytes.decode('utf-8'))在这个示例中，我们使用 Python 的cryptography库生成椭圆曲线密钥对，并将密钥序列化为字节串。

椭圆曲线密码学算法原理与实现

椭圆曲线密码学算法原理与实现椭圆曲线密码学算法是当前计算机安全领域中广泛使用的一种加密算法。

与传统的RSA算法相比，椭圆曲线密码学算法具有较高的安全性和更短的密钥长度，同时也更加适用于小型设备和无线通信领域。

本文将对椭圆曲线密码学算法的原理、优势以及实现进行介绍。

一、椭圆曲线密码学算法原理椭圆曲线密码学算法是基于椭圆曲线运算的一种加密算法。

在椭圆曲线上，可以定义加法和乘法等运算操作，从而构建出密钥系统。

具体来讲，椭圆曲线密码学算法使用的是离散对数问题，即找到一个整数k，使得G=kP，其中G和P是椭圆曲线上的点，k是密钥。

在使用椭圆曲线密码学算法时，有两个关键要素，分别是公钥和私钥。

公钥是任何人都可以获得的，而私钥只有信息发送者才能获得。

当信息发送者需要发送加密信息时，会使用接收者的公钥对信息进行加密，接收者收到信息后再使用自己的私钥进行解密。

这种方法可以保证信息在传输过程中不被他人窃取。

二、椭圆曲线密码学算法的优势椭圆曲线密码学算法相对于传统的RSA算法，有以下的优势：1. 更高的安全性。

使用椭圆曲线密码学算法时，需要使用的密钥长度较短，但是却具有比较高的安全性。

这是因为椭圆曲线操作比传统的大数因子分解更难以破解。

2. 适用于小型设备和无线通信领域。

使用传统的RSA算法时，需要较长的密钥，这在小型设备和无线通信领域会造成很大的问题。

而椭圆曲线密码学算法可以使用更短的密钥长度，可以在小尺寸的设备上使用，如智能卡和移动设备等。

3. 更高的运算速度。

相比传统的RSA算法，使用椭圆曲线密码学算法进行加密和解密的运算速度更快，可以更加高效地完成加密解密操作。

三、椭圆曲线密码学算法的实现椭圆曲线密码学算法的实现涉及到一系列的数学运算，包括椭圆曲线上的点的加法、乘法、求逆以及扩域操作等。

下面简单介绍一下椭圆曲线密码学算法的实现过程。

1. 密钥的生成。

在使用椭圆曲线密码学算法时，需要生成一对公钥和私钥。

生成公钥时，需要选择一个椭圆曲线和基点，然后随机选取一个整数作为私钥。

椭圆曲线公钥密码的理论与实现

研究的热点。以椭圆曲线加密系统为研究对象．对椭圆曲线公钥密码（ｌｐｉｒｅＥｌｔＣｕｖｒｉｃＣｒｐｏｒｐｙＥｙｔｇａｈ，ＣＣ）￣理论和椭圆曲线及参数的选择进行深入分析．并对椭圆曲线的选择算法和倍点运算算法加以研究，最后给出实现过程。关键词：公钥密码体制；椭圆曲线加密；加密算法
．
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研ｓ受究拜
解：为ｔ１０＝３３＂２因此ｔ１＋１１＋因＝０５１＋１３．一３３＝２
／
机选取椭圆曲线，再确定其阶。阶没有大的素数因若子，舍弃该曲线，重新选择椭圆曲线；则并否则，确定阶为大素数的点。后一种算法具有较好的随机性．因而得到了广泛的应用．它的算法如下：
的余数，从而得到最后的结果。除法的速度一般比较
没有亚指数时间的求解算法．以椭圆曲线公钥密码体所制有着其他公钥密码体制所无法比拟的优点．如在相同
慢，因此对于一般的素数Ｐ来说．限域中乘法的速有
度比较慢。但是这可以通过选择特殊形式的素数Ｐ来
择而造成的安全性隐患。此，实际应用中．往选因在往
择适合于软件实现的素数ｐ。一般来说有两种选择，
如２± ．。
即Ｐ形如２± ．Ｐ形如２± ｌ和２。本文主要研究Ｐ形 ±
程：０，ｎ产，＋２＋￣ａ所确定的平面曲线。其＋ａｘ６ｘａ＋

ECC底层算法的C语言位级并行实现

（ｏｅｅｏａｈｍｔｎｏｕｅ，ＤｌＵｎｅｓｙＤｌ６１０Ｃｌｇｆｔｅａｉａｄｃｍｐｔｌｍｃｒａｉｒｉ，ａｉ７０３，Ｃｉａｉｖｔｈｎ）
Ａｓｒｃ：ｈｓａｅａｚｓｈａｉａｏｉｍｆｌｐｉＣｒｅｒｔｙｔ（Ｃ）ａｄｄｓｎａａｓｕｔｒｐｅｅｔｂｔａｔＴｉｐｐｒｎｌｅｅｂｓｌｒｓｏｌｔｕｖｓＣｙｅｓｍＥＣｎｅｉｓｄｔｔｃｅｔｉｌｍｎａｙｔｃｇｔｈＥｉｃｐｓｅｇａｒｕｏｍ
ｔｅａｇｒｔｍｓｔｏｕｅｎｔｅｄｆｃｌｅｄｋｙｐｉｔｏｇｒｈｄｐｅｅｔｒｇａｈｏｈ．ＩｆｃｓｓｏｈｉｕｔｓａｅｏｎｓｆａｏｔｍａｒｓｎｓｐｏｒｍｍｉｇａｐｏｃｅｔａｉｕｒｌｉｉｉｎｌｉｓｎｎｐｒａｈｓＩｖｒｓｗｏｄ— ｌｏｗｄｈａｄｌｇａｅｃｄｓｂｉｉｌｍｅｔｔａｓｅｔｈｕｎｎｍｅｏｔｅｐｏｒｍｈｎｔｅｗｒｉｔａｕｇｏｅｙ８ｂｔｍｐｅｎ．Ｉｌｏｔｓｔｅｒｎｉｇｔｈｒｇａｗｅｏｄ—ｗｄｈｉ．ｎｎｓｉｆｈｉｔｓ８ＫｅｒｓｌｐｉＵＶｒｐｏｙｔｍ；ｂｉｇｒｍｍｐｅｎ；ｔｓｏｅｒｎｉｇｔｒｇａ；ｂｔａａｌｌｙｗｏｄ￣ｅｌｔＣｒｅｅｙｔｓｓｉｃｓｅｓａｃａｏｔｓｉｌｍｅｔｅｔｆｔｕｎｎｍｅｏｐｏｒｍｌｉｈｈｉｆｉ —ｐｒｌｅ

ecc算法c语言实现

ecc算法c语言实现一、介绍ECC（Elliptic Curve Cryptography）椭圆曲线加密算法是一种公钥密码学，它利用椭圆曲线上的数学原理，实现了比传统RSA算法更高的安全性和更小的密钥长度。

ECC算法已经被广泛应用于移动设备、物联网等领域。

二、椭圆曲线基础知识1. 椭圆曲线方程椭圆曲线可以用如下的方程表示：y² = x³ + ax + b其中a和b是常数，x和y是变量。

这个方程描述了一个平面上的点集合，这个点集合形成了一个封闭的曲线。

2. 椭圆曲线上的运算在椭圆曲线上有两种运算：加法和乘法。

加法：两个不同点P(x1, y1)和Q(x2, y2)相加得到R(x3, y3)，其中x3 = λ² - x1 - x2，y3 = λ(x1 - x3) - y1，λ = (y2 - y1) / (x2 - x1)乘法：将点P与一个整数k相乘得到另一个点Q，即Q = kP。

三、ECC算法实现步骤1. 寻找合适的椭圆曲线选择一个合适的椭圆曲线是ECC算法的第一步。

通常情况下，我们会选择一条已经被广泛使用并且被认为是安全的椭圆曲线。

2. 生成公私钥对在ECC算法中，公钥由椭圆曲线上的一个点P和一个整数n组成，私钥由一个整数d组成。

其中n是P点的阶（即nP = O），d是一个随机数。

3. 加密和解密加密：将明文M转换为椭圆曲线上的点P，然后选择一个随机数k，并计算C1 = kP和C2 = kQ + M，其中Q是接收者的公钥。

最终加密结果为(C1, C2)。

解密：接收到加密数据(C1, C2)后，用私钥d计算出Q = dP，并将C1乘以d得到C1' = dC1。

然后用C1'减去C2得到明文M。

四、ECC算法C语言实现以下是ECC算法在C语言中的实现代码：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <openssl/ec.h>#include <openssl/ecdsa.h>#include <openssl/obj_mac.h>int main(){// 生成公私钥对EC_KEY *key;key = EC_KEY_new_by_curve_name(NID_secp256k1);EC_KEY_generate_key(key);const EC_GROUP *group = EC_KEY_get0_group(key);const BIGNUM *priv_key = EC_KEY_get0_private_key(key); const EC_POINT *pub_key = EC_KEY_get0_public_key(key);// 显示公私钥char *priv_hex = BN_bn2hex(priv_key);printf("Private key: %s\n", priv_hex);char *pub_hex = EC_POINT_point2hex(group, pub_key, POINT_CONVERSION_UNCOMPRESSED, NULL);printf("Public key: %s\n", pub_hex);// 加密和解密unsigned char plaintext[] = "Hello world";size_t plaintext_len = strlen(plaintext);// 加密unsigned char ciphertext[128];size_t ciphertext_len;ECDSA_SIG *sig;do {sig = ECDSA_do_sign(plaintext, plaintext_len, key); if (sig == NULL) {printf("Error signing message\n");break;}int r_len = BN_num_bytes(sig->r);int s_len = BN_num_bytes(sig->s);if (r_len + s_len > 127) {printf("Error: signature too long\n");break;}memset(ciphertext, 0, sizeof(ciphertext));memcpy(ciphertext, sig->r, r_len);memcpy(ciphertext + r_len, sig->s, s_len);ciphertext_len = r_len + s_len;printf("Encrypted data: ");for (int i=0; i<ciphertext_len; i++) {printf("%02x", ciphertext[i]);}printf("\n");// 解密sig->r = BN_bin2bn(ciphertext, r_len, sig->r);sig->s = BN_bin2bn(ciphertext + r_len, s_len, sig->s);int verify_result = ECDSA_do_verify(plaintext, plaintext_len, sig, key);if (verify_result == 1) {printf("Decrypted data: %s\n", plaintext);} else {printf("Error decrypting data\n");}} while(0);// 释放资源EC_KEY_free(key);free(priv_hex);free(pub_hex);return 0;}以上代码使用了OpenSSL库中的ECDSA函数来实现ECC算法。

椭圆曲线加密算法实现

椭圆曲线加密算法实现椭圆曲线加密算法(ECDSA)的实现涉及到椭圆曲线的参数选择、密钥生成、签名和验证等过程。

1. 参数选择：要实现椭圆曲线加密算法，首先需要选择合适的椭圆曲线参数。

常用的椭圆曲线参数有两种类型：素数域曲线和二进制域曲线。

参数选择需要考虑安全性和效率。

常见的参数选择有NIST提供的曲线参数。

2. 密钥生成：椭圆曲线加密算法使用椭圆曲线上的点作为密钥。

生成密钥的步骤如下：- 随机选择一个私钥k，私钥范围在[1, n-1]之间，n为椭圆曲线的阶。

- 计算公钥P = kG，其中G为椭圆曲线上的基点。

- 公钥P和私钥k即为加密算法的密钥对。

3. 签名：签名的过程包括选择消息的哈希算法、生成签名的随机数、计算签名值等步骤。

- 随机选择一个正整数r，使得1<=r<n。

- 计算椭圆曲线上的点R = rG。

- 计算r对于素数n的模反元素s，即s = r^(-1) (mod n)。

- 计算签名值sig = (R, s)，其中R为点，s为整数。

4. 验证：验证签名的过程包括计算验证签名的哈希值、计算验证点和比较验证点与签名值中的点的情况。

- 计算消息的哈希值。

- 计算签名值sig中的s的模反元素w，即w = s^(-1) (mod n)。

- 计算u1 = hash(m)w (mod n)和u2 = Rw (mod n)。

- 计算验证点X = u1G + u2P。

- 如果X的x坐标和签名的R的x坐标相等，验证成功；否则，验证失败。

上述是椭圆曲线加密算法(ECDSA)的基本实现步骤，具体实现过程需要参考具体的编程语言和密码学库的文档和示例代码。

sm2 C语言实现加密算法详解教程

SM2算法1、公钥密码算法介绍消息鉴别：是一个证实收到的消息来自可信的源点并且未被篡改的过程。

它的目的是信源识别，保证信息完整性。

数字签名：是一种确保数据完整性和非否认的手段，通过给消息附加一段数据来实现。

公钥密码学与其他密码学完全不同, 使用这种方法的加密系统，不仅公开加密算法本身，也公开了加密用的密钥。

公钥密码系统与只使用一个密钥的对称传统密码不同，算法是基于数学函数而不是基于替换和置换。

公钥密码学是非对称的，它使用两个独立的密钥，即密钥分为公钥和私钥，因此称双密钥体制。

双钥体制的公钥可以公开，因此称为公钥算法。

公钥算法的出现，给密码的发展开辟了新的方向。

公钥算法虽然已经历了20多年的发展，但仍具有强劲的发展势头，在鉴别系统和密钥交换等安全技术领域起着关键的作用公钥算法的加密与解密由不同的密钥完成，并且从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的。

通常，公钥算法的两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密，但不是所有的公钥算法都是如此。

2. SM2椭圆曲线公钥密码算法SM2算法就是ECC椭圆曲线密码机制，但在签名、密钥交换方面不同于ECDSA、ECDH等国际标准，而是采取了更为安全的机制。

另外，SM2推荐了一条256位的曲线作为标准曲线。

SM2标准包括总则，数字签名算法，密钥交换协议，公钥加密算法四个部分，并在每个部分的附录详细说明了实现的相关细节及示例。

SM2算法主要考虑素域Fp和F2m上的椭圆曲线，分别介绍了这两类域的表示，运算，以及域上的椭圆曲线的点的表示，运算和多倍点计算算法。

然后介绍了编程语言中的数据转换，包括整数和字节串，字节串和比特串，域元素和比特串，域元素和整数，点和字节串之间的数据转换规则。

详细说明了有限域上椭圆曲线的参数生成以及验证，椭圆曲线的参数包括有限域的选取，椭圆曲线方程参数，椭圆曲线群基点的选取等，并给出了选取的标准以便于验证。

最后给椭圆曲线上密钥对的生成以及公钥的验证，用户的密钥对为（s，sP），其中s为用户的私钥，sP为用户的公钥，由于离散对数问题从sP难以得到s，并针对素域和二元扩域给出了密钥对生成细节和验证方式。

c语言实现ECC算法的探索

c语言实现ECC算法的探索C语言实现ECC算法的探索1. 引言椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography, ECC)是一种基于数论的公钥密码学算法，其安全性与传统的RSA、DSA等算法相当，但具有更高的效率和较短的密钥长度。

在现代密码学中，ECC已成为一种重要而广泛应用的加密技术。

本文将探讨如何使用C语言实现ECC 算法，并展示其在信息安全领域的应用前景。

2. ECC算法概述ECC算法是基于椭圆曲线上点的加法和倍乘运算实现的。

其中，曲线上的点是由一组满足特定数学方程的椭圆曲线上的点集合构成的。

ECC算法通过利用这些点的数学性质，实现了一种安全可靠的加密方法。

3. C语言实现ECC算法的步骤3.1 ECC加密算法ECC加密算法的步骤包括密钥生成、加密和解密。

在C语言中实现ECC加密算法时，我们需要注意以下几个方面：- 随机数生成：ECC算法的密钥生成过程依赖于随机数，C语言提供了伪随机数生成函数，如rand()，可以使用这些函数生成所需的随机数。

- 椭圆曲线参数选择：ECC算法中使用的椭圆曲线参数需要进行合理的选择，C语言可以通过定义结构体来表示椭圆曲线，在程序中使用这些参数进行运算。

- 点的加法和倍乘运算：C语言可以通过定义结构体来表示椭圆曲线上的点，并实现对这些点的加法和倍乘运算。

- 密钥的管理：在实现ECC加密算法时，需要设计合理的数据结构来管理公钥和私钥，并提供相应的函数进行生成和存储。

3.2 ECC解密算法ECC解密算法的步骤与加密算法相反，主要包括密钥生成、加密和解密。

当接收到密文后，使用私钥进行解密，获取原始明文数据。

4. ECC算法的应用前景ECC算法具有较高的安全性和较短的密钥长度，在信息安全领域有着广泛的应用前景。

以下是几个常见应用领域：- 数字签名：ECC算法可以实现数字签名，用于验证消息的来源和完整性，常用于保护电子文档的安全性。

- 数据加密：ECC算法可以用于对重要数据进行加密，在数据传输和存储过程中提供保护。

C语言加密与解密算法详解

C语言加密与解密算法详解1. 引言在信息时代，数据的保密性至关重要。

加密与解密算法是一种重要的保护数据安全性的技术手段。

本文将详细介绍C语言中的加密与解密算法，包括常用的对称加密算法和非对称加密算法。

2. 对称加密算法2.1 Caesar密码Caesar密码是一种简单的替换密码算法，通过将每个字母向后移动固定的位数来加密消息。

解密操作是将每个字母向前移动相同的位数。

2.2 DES算法数据加密标准（DES）是一种对称加密算法，使用56位的密钥对64位的数据进行加密。

DES算法通过多轮迭代和复杂的置换与代换操作来实现高强度的加密。

3. 非对称加密算法3.1 RSA算法RSA算法是一种常用的非对称加密算法。

它通过使用两个密钥：一个公钥和一个私钥，来实现加密和解密操作。

发送方使用接收方的公钥进行加密，而接收方使用自己的私钥进行解密。

3.2 椭圆曲线加密算法椭圆曲线加密算法（ECC）是一种基于椭圆曲线数学原理的非对称加密算法。

它具有较小的密钥长度和高安全性的特点，适用于资源受限的设备。

4. 加密与解密实例4.1 使用Caesar密码加密与解密字符串下面是使用C语言实现Caesar密码算法的示例代码： ```// Caesar密码加密函数void caesarEncrypt(char* text, int key) {int i = 0;while (text[i] != '\0') {if (isalpha(text[i])) {if (islower(text[i])) {text[i] = (text[i] - 'a' + key) % 26 + 'a';} else {text[i] = (text[i] - 'A' + key) % 26 + 'A';}}i++;}}// Caesar密码解密函数void caesarDecrypt(char* text, int key) {caesarEncrypt(text, 26 - key);}```4.2 使用RSA算法加密与解密数据下面是使用C语言中的openssl库实现RSA算法的示例代码：```// RSA加密函数int rsaEncrypt(unsigned char* plainText, int plainTextLen, unsigned char* encryptedText) {// 使用公钥进行加密操作// ...}// RSA解密函数int rsaDecrypt(unsigned char* encryptedText, int encryptedTextLen, unsigned char* decryptedText) {// 使用私钥进行解密操作// ...}```5. 总结加密与解密算法在数据保密性方面发挥着重要的作用。

椭圆曲线数字签名系统的模块设计与实现

ＣＨＥＮａｇ，ＹＬｉｎＯＵｉＬｎ
（ｃｏｌｆＣｍｍｎｃｔｎＥｇｎｅｉＨｎｚｏｉｎｉｎｖｒｔ，ｎｚｏ１０８ＣｉＳｈｏｏｕｉｉｎｉｅｒｇ，ａｇｈｕＤａｚＵｉｓｙＨａｇｈｕ３０１，ｈｎｏａｏｎｅｉａ）
上的加与倍加运算模块、有理点群的阶的计算模块、有理点群上的标量乘计算模块、名模块和加密模签
还没有找到解决次问题的次（）数时间算法。亚指ＥＣ与其它密码体制相比有着超强的优点：同安Ｃ在相
全系数下系统参数和密钥比特选择较短，如：Ｃ例ＥＣ
Ｌｎｕａｅｆｌａｇｇｉｌｎａｙ，ｗｈｃｉｅｒｅｐｆｒＥＣＤＳｔｏｉｓ’ｒｓａｃｎｒｃｉａｐｌｃｔｏｉｈｇｖｓｍｏｅｈｌｏＡｈｅｒｅｅｅｒｈａｄｐａｔｌａｐｉａｉｎ．ｃＫｅｒｓ：ｅｌｐｉｕｖｙｗｏｄｌｔｃｃｒｅ；ＥＣＤＳｉＡ；ｍｏｕｅ；ｓｍｕａｉｎｄｌｉｌｔｏ
有限域Ｆ上定义椭圆曲线Ｅ，。规定Ｅ的Ｙ轴方向上的无穷远点的记作Ｏ点，ｉｒｒｓ程（）有Ｗｅｓａｓ方ｅｔ１所解组成的集合是（Ｙ，）∈Ｆ ×Ｆ，里表示有限ｑｑ这域，的代数闭包。
ｙ＋ａｌｙ＋ａ３ｘＹ＝戈＋ａ＋ａ＋０２４６ｒ，２，，４，ｚａａ３。ａ６∈ Ｆｌ

ecc椭圆曲线加密算法源码

ecc椭圆曲线加密算法源码一、概述本文档详细介绍了椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）的源代码实现，包括算法原理、代码实现、测试用例等内容。

该算法广泛应用于现代密码学中，具有高安全性、低计算复杂度等优点。

二、算法原理椭圆曲线加密算法基于椭圆曲线数学理论，利用椭圆曲线上的点加法、标量乘法等运算实现加密和解密过程。

在该算法中，密钥由一对椭圆曲线参数生成，分为私钥和公钥，分别用于加密和解密操作。

私钥用于生成签名，公钥用于解密和验证签名。

三、代码实现本代码实现使用C语言编写，基于OpenSSL库。

以下是主要代码模块：1. 椭圆曲线参数定义2. 密钥生成与存储3. 加密和解密操作4. 签名和验证操作5. 测试用例四、源代码展示以下是部分关键代码的展示，以供参考：1. 椭圆曲线参数定义：```c#include <openssl/ec.h>// 定义椭圆曲线参数EC_GROUP *group = EC_GROUP_new_by_curve_name(NID_X9_62_prime_field);// ...```2. 密钥生成与存储：```c// 生成私钥和公钥EC_POINT *point = EC_POINT_new(group);BN_set_word(privKey, rand()); // 生成随机私钥EC_POINT_mul(group, point, privKey, NULL, NULL, NULL); // 计算公钥// ...```3. 加密和解密操作：```c// 加密数据unsigned char *ciphertext = malloc(ENCRYPT_LENGTH); // 假设加密长度为ENCRYPT_LENGTHEC_POINT_point_mul(group, point, privKey, data, NULL,EC_GROUP_get_degree(group)); // 加法运算加密数据// ...// 解密数据unsigned char decrypted[DECRYPT_LENGTH]; // 解密长度与加密长度相同EC_POINT_free(point); // 释放临时生成的点对象point = EC_POINT_new(group); // 重新生成点对象BN_new(); // 重新生成随机数对象EC_POINT_mul(group, point, pubKey, NULL, NULL, NULL); // 加法运算解密数据，得到原始数据memcpy(decrypted, point->data, DECRYPT_LENGTH); // 将解密结果保存到数组中free(point); // 释放点对象```4. 签名和验证操作：使用OpenSSL库提供的相关函数进行操作，这里不再展示。

椭圆曲线密码算法

安全协议的发展
标准化进程
推动椭圆曲线密码算法的标准化进程，制定相关的安全标准和规范，促进其在安全协议中的应用。
混合加密方案
将椭圆曲线密码算法与其他加密算法相结合，形成更为强大的混合加密方案，提高安全协议的整体安全性。
安全协议的演进
随着网络威胁的不断变化，椭圆曲线密码算法将在安全协议的发展中发挥重要作用，助力安全协议的不断演进和升级。
THANKS
感谢观看
椭圆曲线密码算法的优势
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安全性高
由于椭圆曲线离散对数问题的难解性，椭圆曲线密码算法被认为是目前最安全的公钥密码算法之一。
密钥长度短
相对于其他公钥密码算法，椭圆曲线密码算法使用的密钥长度更短，提高了加密和解密的效率。
适用于多种应用
椭圆曲线密码算法适用于多种安全应用，如数字签名、密钥协商和数据加密等。
对称加密算法
与对称加密算法相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，因为它们基于更复杂的数学问题。然而，对称加密算法的加密和解密速度更快。
哈希函数
与哈希函数相比，椭圆曲线密码算法具有更高的安全性，并且可以用于数字签名和身份验证等场景。然而，哈希函数是不可逆的，不能用于加密和解密。
公钥基础设施（PKI）
与PKI相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，并且具有更小的密钥长度。然而，PKI已经得到了广泛的应用和标准化，具有更高的兼容性和互操作性。
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CATALOGUE
椭圆曲线密码算法的实际应用案例
数字签名
01 02 03
数字签名
椭圆曲线密码算法可用于生成数字签名，确保数据完整性和来源可追溯性。通过使用私钥对数据进行加密，生成数字签名，接收者可以使用公钥进行验证，确认数据是否被篡改或伪造。

椭圆曲线数字签名软件设计与实现

（）５对消息的签名为（，）最后签名者把消息ｒＳ，ｍ和签名（，）送给接收者。ｒＳ发
线可以分为三类：特征为２的二元扩域上的椭圆曲线，征为３的最佳扩域上的椭圆曲线和特征为非２特和３的素数域上的椭圆曲线，本文讨论特征为非２和３的素数域（为）的椭圆曲线。记上素数域Ｆ上的椭圆曲线（为Ｅ）式（）记，１可简化为：
பைடு நூலகம்
张
荣（９５，，１７一）男陕西西安人，西安邮电学院计算机科学与技术系助教。
维普资讯
・
９・４
西
安
邮
电
学
院
学
报
２００８年９月
Ｐ＋Ｑ＝（３Ｙ）ＸＸ，３３＝
一ｚ１；；一－１７２
维普资讯
２００８年９月
西
安
邮
电
学
院
学
报
Ｓｐ２０ｅ．０８
Ｖｏ．３Ｎｏ５１１．
第１３卷第５期
ＪＯＵＲＮＡＬ ’ ＯＦＸＩＡＮＵＮＩＶＥＲＳＴＹＰＴＩＯＦＯＳＡＮＤＴＥＬＯＭＭＵＮＩＡＴＩＥＣＣＯＮＳ
若ｚｌｚ且Ｙ＝一Ｙ，Ｐ＋Ｑ＝ ∞ ，＝２ｌ２则否则
基金项目：西安市科技计划项目：高强度非对称加密智能安全芯片技术研究（编号Ｚ０１）Ｘ５９。
作者简介：孙家泽（９０，，１８一）男河南南阳人，西安邮电学院计算机科学与技术系硕士，助教；

ecc算法的代码实现

ecc算法的代码实现ecc算法的代码实现什么是ecc算法Elliptic curve cryptography，椭圆曲线密码学，即ECC。

是⼀种建⽴公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。

椭圆曲线在密码学中的使⽤是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独⽴提出的。

详情链接。

如果你能够坚持看完上⾯的博客，并且能够看懂⾥⾯的内容，我⼗分佩服，因为我实在是没看下去。

不过或多或少了解了⼀些基本的概念⽐如椭圆曲线函数并不是说真的就是⼀个函数来⽣成椭圆上的两个点这么简单，函数的⼏何形状也并不真的是⼀个椭圆。

(真的就看懂了这么点东西..)所以有机会还是希望多多阅读⼀下⼤神的博客。

有关与go语⾔的ecc包在go语⾔中crypto/elliptic包是声明椭圆曲线模型的包注意：对于go语⾔⾃带的ECC函数来说，数字越⼤对应的ECC的公私钥的长度就越长，对应的加密等级就越⾼，当然也就越安全，那么对应的执⾏效率也就会相对降低。

在这⾥插⼊图⽚描述crypto/ecdsa包则是go中⽤于椭圆曲线数字签名的包。

在这⾥插⼊图⽚描述具体实现流程⼀、⽣成公私钥⽣成密钥-->将⽣成的私钥进⾏x509序列化为ASN.1标准的DER⼆进制编码--> 构建pem.Block数据块-->pem编码【公钥同理】⼆、ecdsa私钥⽣成数字签名读取本地私钥pem⽂件-->pem解析pem数据块-->x509解析der字符串，获得私钥-->计算hash-->ecdsa签名三、ecdsa签名验证读取本地公钥pem⽂件-->pem解析pem数据块-->x509解析der字符串，获得公钥-->计算hash-->ecdsa签名验证代码实现package mainimport ("crypto/ecdsa""crypto/elliptic""crypto/rand""crypto/sha256""crypto/x509""encoding/pem""fmt""math/big""os")// 初始化创建ecc密钥func generateECDSAKey() {// ⽣成ecc算法的密钥privateKey, err := ecdsa.GenerateKey(elliptic.P521(), rand.Reader)if err != nil {panic(err)}// 将私钥本地化,使⽤x509进⾏序列化privateDerBytes, err := x509.MarshalECPrivateKey(privateKey)if err != nil {panic(err)}// 再将它转换成pem的格式编码privatePemBlock := pem.Block{Type: "Ecc PrivateKey", // 简介使⽤算法类型rsa/eccBytes: privateDerBytes,}// 在本地创建pem⽂件privateFile, err := os.Create("ECDSAPrivateKey.pem")if err != nil {panic(err)}defer privateFile.Close()// 进⾏pem编码err = pem.Encode(privateFile, &privatePemBlock)if err != nil {panic(err)}// 公钥同理publicKey := privateKey.PublicKeypublicDerBytes, err := x509.MarshalPKIXPublicKey(&publicKey)if err != nil {panic(err)}publicPemBlock := pem.Block{Type: "Ecc PublicKey",Bytes: publicDerBytes,}publicFile, err := os.Create("ECDSAPublicKey.pem")if err != nil {panic(err)}defer publicFile.Close()pem.Encode(publicFile, &publicPemBlock)}// 私钥签名func privateKeySignature(data []byte, privateKeyPemFileName string) (rText, sText []byte) { // 读取私钥privateFile, err := os.Open(privateKeyPemFileName)if err != nil {panic(err)}defer privateFile.Close()// 读取⽂件源信息fileInfo, err := privateFile.Stat()if err != nil {panic(err)}buffer := make([]byte, fileInfo.Size())privateFile.Read(buffer)// pem解码block, _ := pem.Decode(buffer)// x509 DER解码privateKey, err := x509.ParseECPrivateKey(block.Bytes)if err != nil {panic(err)}// 进⾏签名r, s, err := ecdsa.Sign(rand.Reader, privateKey, getHash(data))// 将big的数据转换成[]byterText, _ = r.MarshalText()sText, _ = s.MarshalText()return}// 获取哈希func getHash(data []byte) []byte {hash256 := sha256.New()hash256.Write(data)return hash256.Sum(nil)}// 公钥验证func publicKeyVerify(data, rText, sText []byte, publicKeyPemFileName string) bool {// 读取公钥publicFile, err := os.Open(publicKeyPemFileName)if err != nil {panic(err)}defer publicFile.Close()fileInfo, err := publicFile.Stat()if err != nil {panic(err)}buffer := make([]byte, fileInfo.Size())publicFile.Read(buffer)block, _ := pem.Decode(buffer)publicKeyType, err := x509.ParsePKIXPublicKey(block.Bytes)if err != nil {panic(err)}// 获取到publicKey的类型，要进⾏断⾔判断rsa/eccpublicKey := publicKeyType.(*ecdsa.PublicKey)// 对[]byte签名数据转换成big数据var r, s big.Intr.UnmarshalJSON(rText)s.UnmarshalJSON(sText)if !ecdsa.Verify(publicKey, getHash(data), &r, &s) {return false} else {return true}}func main() {data := []byte("我向某⽤户转账10元")generateECDSAKey()rText, sText := privateKeySignature(data, "ECDSAPrivateKey.pem")fmt.Println(publicKeyVerify(data, rText, sText, "ECDSAPublicKey.pem"))}使⽤以太坊的ecc加密算法实现以太坊的crypto模块该模块分为两个部分⼀个是实现sha3,⼀个是实现secp256k1(这也是⽐特币中使⽤的签名算法). 需要说明的是secp256k1有两种实现⽅式,⼀种是依赖libsecp256k1,需要cgo,另外⼀种是依赖这是⼀个使⽤go语⾔实现的⽐特币的客户端.sha3模块这个模块实际上可以认为就是⼀个功能计算sha3-256,⽤法也很简单,就是调⽤crypto中的Keccak256,输出是⼀个32字节的hash结果hash := crypto.Keccak256Hash([]byte("hello"))//hash值:4e03657aea45a94fc7d47ba826c8d667c0d1e6e33a64a036ec44f58fa12d6c45secp256k1模块这个模块⽐较复杂,如果要细度源码,需要对密码学有⽐较深⼊的理解,但是使⽤起来其实⽐较简单.主要就是签名,验证,以及公钥与以太坊地址转换1.签名secp256k1的私钥地址长度是32字节256位,公钥地址长度是65字节,⽽以太坊的地址长度是20字节.2.验证验证签名是否正确,需要公钥,hash(对message进⾏hash的结果),以及签名. 这⾥⾯真正校验的是第三步,也就是公钥是否和我的相同,⽽不像普通⼯RSA签名验证⼀样.当然我们可以封装成和RSA签名验证⼀样形式的func VerifySignature(pubKey,msg,sig []byte) error3.公钥与地址的转换以太坊中并没有直接拿公钥当做账户地址,⽽是进⾏了⼀个简单的转换,具体来说就是hash(公钥)的后20位,这⾥的hash算法是sha3-256,可以⽤⼀⾏代码来表⽰crypto.Keccak256(pubKey)[12:]以太坊ecc的简单模式实现package mainimport ("bytes""crypto/ecdsa""crypto/rand""crypto/sha256""encoding/hex""fmt""/ethereum/go-ethereum/crypto""/ethereum/go-ethereum/crypto/ecies""strconv")// 获取私钥func getKey() (*ecdsa.PrivateKey, error) {privateKey, err := ecdsa.GenerateKey(crypto.S256(), rand.Reader)if err != nil {return privateKey, err}return privateKey, nil}// 加密func ECCEncrypt(publicKey ecies.PublicKey, data []byte) ([]byte, error) {ct, err := ecies.Encrypt(rand.Reader, &publicKey, data, nil, nil)return ct, err}// 解密func ECCDecrypt(privateKey ecies.PrivateKey, ct []byte) ([]byte, error) {m, err := privateKey.Decrypt(ct, nil, nil)return m, err}// 获取哈希func getHash2(data []byte, nonce int) string {hashBytes := sha256.Sum256([]byte(string(data) + strconv.Itoa(nonce)))return hex.EncodeToString(hashBytes[:])}// 获取挖矿等级需求来进⾏判断hash是否满⾜func getMineDiff(diff int) (str string) {for i := 0; i < diff; i++ {str = str + "0"}return}// 开始挖矿[链的挖矿难度]func calculationHash(diff int, data []byte) string {strDiff := getMineDiff(diff)var nonce intfor {if getHash2(data, nonce)[:diff] == strDiff {return getHash2(data, nonce)}nonce++}}// 签名func signature(hash []byte, privateKey *ecdsa.PrivateKey) ([]byte, error) {signature, err := crypto.Sign(hash, privateKey)if err != nil {return signature, err}return signature, nil}// 验证func validate(recoveredPub, recoveredPubBytes []byte) bool {if !bytes.Equal(recoveredPubBytes, recoveredPub) {return false}return true}func main() {privateKeyECDSA, _ := getKey()// 将ecdsa的私钥转换成以太坊的私钥privateKey := ecies.ImportECDSA(privateKeyECDSA)publicKey := privateKey.PublicKey// 公钥加密data := []byte("我向某⽤户转账10元")hash := calculationHash(4, data)fmt.Println("哈希散列为", hash)encryptData, err := ECCEncrypt(publicKey, []byte(hash))if err != nil {panic(err)}fmt.Println("公钥加密后为", hex.EncodeToString(encryptData))// 私钥解密decryptData, err := ECCDecrypt(*privateKey, encryptData)if err != nil {panic(err)}fmt.Println("私钥解密后为", string(decryptData))// 进⾏签名signData, _ := signature(crypto.Keccak256([]byte(hash)), privateKey.ExportECDSA()) fmt.Println("签名为", hex.EncodeToString(signData))// 验证recoveredPub, _ := crypto.Ecrecover(crypto.Keccak256([]byte(hash)), signData) recoveredPubBytes := crypto.FromECDSAPub(&privateKeyECDSA.PublicKey) fmt.Println(validate(recoveredPub, recoveredPubBytes))}ecc密钥对与[]byte类型转换借鉴参考：密码学07--数字签名之go中的椭圆曲线数字签名以太坊系列之三: 以太坊的crypto模块--以太坊源码学习golang实现ecc加密解密。

c语言定义椭圆函数

c语言定义椭圆函数椭圆是一种常见的数学曲线，它在几何学和数学分析中具有重要的应用。

在计算机科学中，椭圆函数也是一个重要的概念，它在密码学、图像处理和通信等领域发挥着重要的作用。

本文将以C语言为基础，介绍椭圆函数的定义及其在计算机科学中的应用。

我们来定义椭圆函数。

椭圆函数是一类特殊的函数，它们与椭圆曲线的性质密切相关。

在数学上，椭圆曲线可以用一个二次方程表示，形式为y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是常数。

椭圆函数是这个二次方程的解析解，即通过椭圆曲线方程可以得到对应的函数关系。

在C语言中，我们可以使用结构体来表示椭圆曲线。

首先，我们定义一个结构体ECC（Elliptic Curve Cryptography），它包含两个成员变量a和b，分别表示椭圆曲线方程中的常数。

然后，我们可以定义一个函数ecc_function，它接受一个参数x，返回对应的y 值。

```ctypedef struct {int a;int b;} ECC;int ecc_function(ECC curve, int x) {int y;// 计算椭圆曲线方程的解析解y = sqrt(x*x*x + curve.a*x + curve.b);return y;}```上述代码中，我们使用了数学库中的sqrt函数来计算平方根。

在实际应用中，可以根据需要选择合适的数学库或自行实现平方根函数。

椭圆函数在计算机科学中有着广泛的应用。

其中一个重要的应用领域是密码学。

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线的公钥密码体系，它具有与其他公钥密码体系相比更高的安全性和更小的密钥长度。

椭圆函数在ECC中扮演着关键的角色，它用于实现加密、解密、签名和验证等操作。

通过椭圆函数的运算，可以实现安全的数据传输和身份验证。

另一个重要的应用领域是图像处理。

椭圆函数可以用于图像的形状分析和边缘检测。

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三是现代教育技术教学观念不仅仅是教学设备现代化，更重要的是教学观念的现代化，教师素质的现代化。所以必须不断学习新概念、新知识，不断提高自身素质，积极推进现代教育技术的发展和应用。
四是认真研究如何高效的组织课堂教学，把优秀课件与传统教学手段相互整合，有效地进行课后答疑，研究多媒体条件下改善考试考核方式等，从而提高教学水平。
拒的相对于ＲＳＡ的优越性，将会成为未来采用的潮流。基于这种情
况，本文在简单论述了椭圆曲线的加密算法的原理的基础上，用Ｃ语
言编程实现了该加密方法。本设计是以ＴｕｒｂｏＣ３．０为编译系统的。程
序运行时，从键盘输入一段字符，由程序进行加密与解密，输出的结果
是加密后的密文和解密后的明文。多次实验结果验证了程序的正确
关键词：信息安全；加密；椭圆曲线密码；Ｃ语言Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓｔｈｅｒａｐｉｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒｎｅｔｗｏｒｋａｎｄｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｅｃｕｒｉｔｙｈａｓｂｅｃｏｍｅｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔ，ｗｈｉｃｈｉｓｎｅｅｄｅｄｔｏｂｅｓｏｌｖｅｄｕｒｇｅｎｔｌｙ．Ａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｉｓｔｏｅｎｃｒｙｐｔ．ＴｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｓｔｕｄｉｅｄｏｎＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＣｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍ（ＥＣＣ）ｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗ．ＷｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｂａｃｋｇｒｏｕｎｄａｂｏｕｔｔｈｅａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＣｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍａｎｄｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｔｈｅＥＣＣａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＭｙｍａｉｎｊｏｂｉｓｕｓｉｎｇＣｌａｎｇｕａｇｅｔｏｄｅｓｉｇｎａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｅｃｕｒｉｔｙ，ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ，ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＣｒｙｐｔｏｓｙｓ
首先是选取一个有限域Ｆｐ，在设计过程中，我选取ｐ＝１２７（此处未
定义一个大素数），确定了有限域后就是选取合适的曲线。由于椭圆曲
线公钥密码的安全性基于椭圆曲线上离散对数问题的难解性，所以一
条曲线应满足下列条件［３］：１．曲线的阶ｕ＝＃Ｅ（Ｆｐ）应该被一个大素数ｒ整除。
一是现代教育技术教学应遵循 “学生为主体，教师为主导 ”的原则。应用现代教育技术教学其目的就是提高教学效率，提高学生学习效果，所以应以学生理解和掌握知识为目的。
二是现代教育技术的应用主体是软件，建议广大教师认真学习，结合自己所教学科和学生实际努力提高软件的开发与应用水平。但同时应该注意课件的制作和使用应以实现最终教学目的为宗旨，应避免出现重形式轻内容的不良现象。
主导国民经济和社会发展的过程。但是随着信息化、网络化的迅速推
进，信息安全问题已成为急需解决的重大问题。如何对网络中传输的
数据进行保密、保密性高不高关系到个人隐私和利益、商业秘密、国家
机密等。在与日俱增的网络活动中，人们越来越关心信息安全这个问
图５曲线选取
２．ｕ＝＃Ｅ（Ｆｐ）≠Ｐ，保证Ｅ不是“反常曲线”。３．对ｖ＝１，２，３， …，１０，Ｐｖ－１不能够被大素数ｒ整除。我是采取随机法选取的，该算法的流程图如下图５。３．３密钥的生成系统生成后，每个使用者（包括Ａ和Ｂ）都要执行下列步骤计算：（１）在区间［１，ｎ－１］随机选取一个整数ｄ，这个随机数作为私有密钥，不公开。（２）计算点Ｑ＝ｄＰ，Ｑ点是公开密钥，连同Ｐ点及其阶ｎ一起公开。完成了求解曲线的阶（曲线的点数），基点的阶，椭圆点的加法、加倍和ｎ倍以后，下面就是利用椭圆曲线来加密的过程了。３．４加密过程：用户要发送的信息存储在一个字符数组中，加密过
性。
２．椭圆曲线公钥密码体制
椭圆曲线公钥密码的安全性［２］基于椭圆曲线离散对数问题的难解
性。这是因为椭圆曲线Ｅ（Ｆｐ）中所有点按点的加法规则组成一个有限
Ａｂｅｌ群，因此，在椭圆曲线点群上存在下面的离散对数问题：Ｐ是Ｅ
（Ｆｐ）上一个点，假设点Ｑ是Ｅ（Ｆｐ）上为Ｐ的倍数的点，即存在整数ｘ＞０，
ｍｗ１．ｃ＝（ｍ１＊ｐ２２．ｘ）％ｆｑ；ｍｗ１．ｘ＝ｐ１１．ｘ；ｍｗ１．ｙ＝ｐ１１．ｙ；ｒｅｔｕｒｎｍｗ１；｝３．５解密过程：Ｂ接收到Ａ发过来的密文后执行解密。用Ｃ语言实现解密的过程如下函数ｄｅｃｏｄｅｃ（）实现逐个字符的解密，参数是密文和密钥，返回值是字符。ｃｈａｒｄｅｃｏｄｅｃ（ｓｔｒｕｃｔｃｏｄｅｍｗ１，ｉｎｔｄ１）｛ｓｔｒｕｃｔｐｏｉｎｔｐ１，ｐ２；ｃｈａｒｍ；ｉｎｔｉ；ｐ１．ｘ＝ｍｗ１．ｘ；ｐ１．ｙ＝ｍｗ１．ｙ；ｐ２＝ｍｕｌ＿ｐ（ｐ１，ｄ１）；ｍ＝（ｍｗ１．ｃ／ｐ２．ｘ）％ｆｑ；ｉｆ（（ｍｗ１．ｃ％ｐ２．ｘ）！＝０）
｛ｋ＝ｒａｎｄ（）％ｎ１；
ｐ１１＝ｍｕｌ＿ｐ（ｐ，ｋ）；
ｐ２２＝ｍｕｌ＿ｐ（ｑ，ｋ）；
（下转第１１页）
５４
科技信息
○科教视野○
ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７年第１０期
础和严谨的板书，凭借着扎实的教学功底在课堂上传授着知识，学生在台下聚精会神的听着、看着，积极地思维着，可以将一些概念记得更牢固，也时常能从上中得到启示。
题。信息安全中最核心的技术是密码技术，基本上可分为三类［１］：（１）序
列密码。（２）对称密码（又称分组密码），如ＤＥＳ，ＡＥＳ。（３）非对称密码（又
称公钥密码），如ＲＳＡ，椭圆曲线密码（ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＣｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍ）
ＥＣＣ。ＲＳＡ是目前较为流行的公钥算法，但ＥＣＣ有着许多让人无法抗
用Ｃ语言实现加密的过程如下
函数ｃｏｄｅｃ（）实现逐个字符的加密，参数是明文字符和基点的阶
ｎ。
ｓｔｒｕｃｔｃｏｄｅｃｏｄｅｃ（ｃｈａｒｍ１，ｉｎｔｎ１）
｛ｓｔｒｕｃｔｃｏｄｅｍｗ１；
ｓｔｒｕｃｔｐｏｉｎｔｐ１１，ｐ２２；
ｉｎｔｋ；
ｗｈｉｌｅ（１）
现代教育技术与传统教学的运用应注意：多媒体教学不是万能的，不可以取代一切传统的手段。教学方法和手段是为教学服务的，达到教学目标是最重要的。有些可以用传统的手段解决的问题，就不必要为用而用，这样反而有哗众取宠之嫌。在运用现代教育技术手段教学的过程中，传统的手段亦非常重要，比如板书就有一定总结价值。即使没有在黑板上留下痕迹，也必须留下电子板书。在一些多媒体课件中，忽视了老师的主导作用和学生的主体作用。有的老师可能只是充当一个放映员，有的课件则不适合常规课堂教学。有些软件，教师无法根据课堂情况及时调控，从而限制了教师的主观能动性的发挥。
参考文献［１］尹俊华．教育技术导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９６．［２］钟启泉．现代教育学基础［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２００３．［３］袁振国．现代教育学［Ｍ］．北京：教育出版社，２０００．
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（上接第５４页）ｉｆ（ｐ２２．ｘ！＝０）ｂｒｅａｋ；｝
｛ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜ｆｑ＆＆（ｍｗ１．ｃ！＝（ｐ２．ｘ＊ｉ）％ｆｑ）；ｉ＋＋）；ｍ＝ｉ；｝ｒｅｔｕｒｎｍ；｝３．６结果分析：在程序调试是添加主函数ｍａｉｎ（）即可。例１：从键盘输入“Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ”，基点是（３，４４），加密得到的密文是：（２９，１７，Ω）（２９，１７，!）（２９，１７，!）（２９，１７，"）（２９，１７，!）（８８，９８，Ｓ）（８８，９８， ▲）（２９，１７，￠）（２９，１７，∑）（２９，１７， █ ）（２９，１７，Ｊ）（８８，９８，７）（８８，９８，ｗ）（２９，１７， ∑）解密后输出的结果是：Ｉａｍａａｔｕｄｅｎｔ。结果证明，本程序是正确的，可以用于加密和解密。４．结论本设计达到了预期的基本功能，但在程序设计中依然存在不少问题。以下是本程序需要改进的地方。（１）程序设计时的有限域的选取并未按要求取大素数，而是小素数。（２）求椭圆点的倍数及计算曲线的阶的实现不理想，因为若是选取大素数时，使用该程序需要较长的计算时间，在算法的时间度上需要改进。（３）随机数的选取是直接利用标准Ｃ中的库函数ｒａｎｄ（）。该函数产生的是有规律的伪随机数，不是真正的随机。若要随机选取一个数，则需用户写一个随机数产生函数。科
使得Ｑ＝ｘＰ，则椭圆曲线离散对数问题就是由给定的Ｐ和Ｑ确定出ｘ。
这是非常困难的。
３．椭圆曲线加密算法的Ｃ语言实现
３．１准备工作
用Ｃ语言实现椭圆曲线密码时应包括如下的基本运算：求曲线的
阶（曲线的点数加上无穷远点），基点的阶，椭圆点的加法，椭圆点的加