椭圆曲线密码的C语言设计与实现

计算机研究生开放研究《椭圆曲线密码的C语言设计与实现》美国GeneChiu基金资助基于TOM算法库的ECC加密算法的C语言设计与实现研究生徐立均内容:一、源代码下载二、ECC算法的设计思想三、椭圆曲线参数的选取和基点的确定四、椭圆曲线的点加和纯量乘法五、加密文件的读入与输出六、密文的存取和读入七、ECC加密的实现八、ECC解密的实现九、测试结果及分析一、源代码下载本文使用了TOM算法库实现了椭圆曲线公钥密码体制，能对各类不同的磁盘文件进行加密和解密。

1 请下载可执行程序MY_ECC.exe，此程序无需任何额外的LIB或DLL，可在Windows下独立运行，运行情况如下：2 请下载源代码source.rar：编译此源代码需要使用TOM的高精度算法库MathLib.lib和相关的头文件tommath.htommath_class.htommath_superclass.h一并打包在source.rar中，请下载3 对于TOM的高精度算法库的详细说明，请看本站C语言：二、 ECC算法的设计思想根据椭圆曲线进行加密通信的过程，首先选定一个适合加密的椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。

选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。

加密时，将明文编码到Ep(a,b)上一点M，并产生一个随机整数r（r < n）。

计算点C1=M+rK；C2=rG。

将C1、C2存入密文。

解密时，从密文中读出C1、C2，计算C1-kC2，根据：C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M，解得的结果就是点M，即明文。

三、椭圆曲线参数的选取和基点的确定并不是所有的椭圆曲线都适合加密，y^2=x^3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。

下面我们就选用y^2=x^3+ax+b作为我们的加密曲线。

这条曲线定义在Fp上：两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b：4a3+27b2≠0 (mod p) 则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上无穷远点∞ ，构成一条椭圆曲线。

y^2=x^3+ax+b(mod p) 其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

参数P的选取：p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；我们将p取为200比特位的素数。

参数a、b的选取：先随机产生小于P-1的正整数作为参数a，依据条件4a3+27b2≠0 (mod p)判断随机产生的小于P-1的正整数是否适合作为参数b.基点的确定：随着参数a,b,p确定，这条曲线y^2=x^3+ax+b就定下来了。

先随机产生0到p-1间的整数作为基点x坐标，计算x^3+ax+b 的结果再开方就得出基点y坐标。

上述具体程序实现如下：……while(1){//4a3+27b2≠0 (mod p)GetPrime(b,40);//先随机产生一个参数Bmp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break; //满足条件跳出循环}}//y2=x3+ax+b,随机产生X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30);// 随机产生30比特长的X坐标mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1);//得到Y坐标……..私钥的确定：随机选取1到P-1之间的素数作为私钥d.公钥的确定：由d乘我们所确定的基点得到公钥K，即K=dG。

四、椭圆曲线的点加和纯量乘法对于一般的椭圆曲线方程y^2+a1xy+a3y=x^3+a2x^2+a4x+a6, 设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的和R(x3,y3)的坐标。

R(x3,y3)的计算公式如下:x3=k^2+ka1+a2+x1+x2;y3=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;其中k= (y1-y2)/(x1-x2)当P≠Q时k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)当P=Q时,对于椭圆曲线方程Y^2=X^3+aX+b,上述的公式变为:x3=θ2- x1-x2;y3=θ(x1-x3)-y1其中θ=(y1-y2)/(x1-x2) 当P≠Q时;θ=(3x1^2-a)/2y1 当P=Q时由上述运算公式,可以得出点积mP的运算,即mP=P+P+…+P,共m个P相加,这里m∈N.具体算法为:设m的二进制表示为m=(m_n-1m_n-2…m1m0)，其中m_n-1=1,Q=P,从左到右依次计算:for(I=n-2 to 0){ Q=2Q;if(mi ==1) Q=Q+P；}则Q=mP.Return ;函数原形为：bool Ecc_points_mul(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *d,mp_int*a,mp_int *p)成功返回true。

int Two_points_add(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *x2,mp_int*y2,mp_int *x3,mp_int*y3,mp_int *a,bool zero,mp_int *p)成功返回1。

五、加密文件的读入与输出mp_digit只用28比特，因此一个单元最多可存放三个半字节。

为充分利用存取空间，采用一个单元放三个半字节。

1．函数putin()实现将明文的二进制比特串赋给mp_int数a：主要循环部分及说明如下：//chlong为要存入的字符数组长for(j=0;j<<="(mp_digit)CHAR_BIT;" *temp 存入字符 255); 左移8位存入高8位并向左移8位，以便放入下一个字符 temp跳过前一个单元，先存入后一单元 *++temp 每次跳七个字符 i+="7;" 的两个单元中以7个字符为单元循环，把七个字符放入的mp_int 7;j++){>> 4); //存放被切分的字符的高四位，temp跳回前一个单元//存入第一单元*temp |= (mp_digit)(ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位，yy=(mp_digit)15*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //向左移8位，以便放入下一个字符*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位 *temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255); //存入字符*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT; //左移8位 *temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255); //存放被切分的字符的低四位，temp跳到后一个单元temp++; //再向后跳一单元，这样和下次的++temp实现每次循环跳两个单元}函数原型为：int putin(mp_int *a,char *ch,int chlong)成功返回02．函数chdraw()实现将mp_int数a中的比特串还原为字符串并赋给字符串ch：chdraw和putin是相反过程，将putin存入字符的过程反过来取出字符。

函数原型为：int chdraw(mp_int *a,char *ch)成功返回0六、密文的存取和读入此过程难点是如何保证存入文件后，再从文件中读取密文并存入mp_int型数后，和原存放密文的mp_int型数不能有一个比特位的改变。

存取时先存*mp->dp的最高8位，再依次往下存后面3个8位。

依据*mp->dp的特点，最高8位为0000xxxx，因此，可将255作为一个密文段的结束标志，把前一密文段和后一密文段区分开。

这样在密文文件中，密文的存取结构为：0000xxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|xxxxxxxx|0000xxxx|……|11111111|00 00xxxx|xxxxxxxx|…..0字节 1字节 2字节 3字节 4字节 4x字节下一加密段x为1或0利用fgetc每次读取一个字符，并赋值给一个字符数组。

当a[i]=255，且i%4=0时截止。

读出之后赋值就简单了。

存密文：int chmistore(mp_int *a,FILE *fp) 成功返回0把密文赋给mp_int型数a：int miwendraw(mp_int *a,char *ch,int chlong) 成功返回0七、ECC加密的实现加密时因P长度取值为200比特，所以所取明文长度应在0到199比特之间，另外需要一个附加的标志字节char(255)，所以一次取明文最大长为191比特。

在本程序中一次取20字节。

和RSA不同，ECC运算是基于点的运算。

一个点有两个参数，一个X坐标，一个Y坐标。

所以取明文时需一次取两段，前一段做X坐标，后一段做Y坐标。

因此，一次加密明文为40字节。

由于每次加密要取两段，引发了另外一个问题：当加密文件末尾所剩明文长度小于20字节时的处理。

在本程序中，我们的解决是将剩余明文取作X，而将Y取作0，且不加标志字节char(255)，这样解密时，程序在Y中找不到标志字节char(255)，就不会往解密文中存任何东西。

取得明文后，产生一个随机整数r（r<有限域p）,计算点C1=M+rK；C2=rG。

将点C1、C2坐标c1x,c1y,c2x,c2y依次存入密文文件。

for(i=0; i 0)// Residue为剩余字符数{if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1,Residue,fp);//读入字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1);//文件存入mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp);//读入字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp);//读入字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1);//文件存入putin(&my,miweny,Residue-enlongtemp+1);//文件存入}//加密Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p); //C2=rG Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p); // rKTwo_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero, p);// C1=M+rK//保存密文chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}函数原型为：void Ecc_encipher(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int*a,mp_int *p);八、ECC解密的实现解密时，依据存密文时放入的结束标志255，读入密文。