椭圆曲线加密
椭圆曲线密码学
椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种利用椭圆曲线来加密和解密数字信息的密码学方法。
它的出现，激发了一场研究热潮，并被认为是算法加密的未来。
椭圆曲线密码学是约1985年由Neal Koblitz和Victor Miller 首次提出的。
它利用以数学椭圆曲线为基础的算法，将输入的密码转换成未知的结果，从而保护输入数据的安全。
椭圆曲线加密算法在保持较强安全性的同时，还具有较少的计算量和更小的公钥长度，能将一个不可能被破解的秘密转换为非常可靠的秘密。
椭圆曲线密码学无处不在地应用于信息安全领域。
例如，在数据加密领域，它可用于加密传输、数据存储、访问控制、完整性认证、网络会话认证等信息安全场景；在计算机安全领域，它可用于系统的模块加载、可信平台技术、数字签名等。
此外，椭圆曲线密码学也可用于网络支付、政府机构和企业的数据保护、军事/政治决策、智能合约等密码学应用场景，是现今网络安全解决方案中不可或缺的重要组成部分。
椭圆曲线密码学的发展也给其他对称加密算法和非对称加密算法带来了新的机遇和挑战，揭示了一种新的安全选择。
因此，椭圆曲线密码学的研究会给我们的信息安全研究带来新的突破，并可望在未来具有更大的发展潜力。
相比较传统的加密算法，椭圆曲线密码学更具有安全性。
它不仅能够更有效地保护我们的数据和信息，还能大大缩短一些特定类型的计算时间，从而改进安全性和性能。
针对椭圆曲线密码学的研究，可以在研究密码学的安全性、实用性、效率性等方面取得重大突破，这也是我们向前推进的重要方向。
综上所述，椭圆曲线密码学是现今网络安全解决方案的重要组成部分，同时也带来了新的挑战和机遇，为我们的信息安全研究提供了新的可能性。
椭圆曲线密码学的发展将持续影响我们新时代密码学解决方案的发展，相信它将为我们带来更安全和高效的加密环境。
椭圆曲线加密 类型
椭圆曲线加密类型椭圆曲线加密算法是一种基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。
它的优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA等其他非对称加密算法相当或更高的安全性。
椭圆曲线加密算法的类型主要有以下几种：- 椭圆曲线迪菲-赫尔曼密钥交换（ECDH）：这是一种用于建立共享秘密的密钥交换协议，它利用了椭圆曲线上的离散对数问题的困难性，使得第三方很难从公开的椭圆曲线点中推导出私钥。
- 椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）：这是一种用于生成和验证数字签名的算法，它基于ElGamal签名算法，使用了椭圆曲线上的点乘运算和模逆运算。
它可以保证签名的完整性、真实性和不可否认性。
- 椭圆曲线ElGamal加密算法（ECElGamal）：这是一种用于加密和解密消息的算法，它基于ElGamal加密算法，使用了椭圆曲线上的点加运算和点乘运算。
它可以保证消息的机密性和不可篡改性。
- 椭圆曲线Menezes-Qu-Vanstone密钥交换（ECMQV）：这是一种用于建立共享秘密的密钥交换协议，它是对ECDH的改进，使用了两次椭圆曲线点乘运算，增加了安全性和效率。
它是美国国家安全局推荐的一种算法。
椭圆曲线加密算法的历史可以概括为以下几个阶段：- 1985年，Neal Koblitz和Victor Miller分别独立地提出了利用椭圆曲线数学理论实现公钥加密的思想，开创了椭圆曲线密码学的研究领域。
- 1994年，Daniel J. Bernstein提出了椭圆曲线的速度记录挑战，激励了许多密码学家对椭圆曲线加密算法的优化和实现。
- 1997年，David Kohel首次将椭圆曲线同源应用到密码学中，提出了一种基于同源的公钥加密方案。
- 2004年至2005年，椭圆曲线密码学的算法开始广泛应用于各种领域，如移动通信、智能卡、电子签名等。
- 2005年，美国国家安全局（NSA）宣布采用椭圆曲线密码的战略作为美国政府标准的一部分，推荐了一组包括椭圆曲线迪菲-赫尔曼密钥交换（ECDH）、椭圆曲线Menezes-Qu-Vanstone密钥交换（ECMQV）和椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）等算法的套件。
ecc椭圆曲线加密算法原理
ecc椭圆曲线加密算法原理宝子们！今天咱们来唠唠一个超酷的加密算法——ECC椭圆曲线加密算法。
这玩意儿听起来就很神秘，对不对？咱先从基础概念说起哈。
椭圆曲线呢，可不是咱平常看到的椭圆哦。
在数学的奇妙世界里，它是由一个方程定义的曲线。
这个方程大概是这个样子的：y² = x³ + ax + b（这里的a和b是一些常数啦）。
不过呢，这个曲线不是随便画在平面上就行的，还有一些特殊的规则。
比如说，这个曲线得是光滑的，不能有尖尖的角或者奇怪的断点。
那这个椭圆曲线和加密有啥关系呢？这就很有趣啦。
想象一下，在这个椭圆曲线上有好多好多的点。
这些点就像是一个个小秘密的藏身之处。
我们在这个曲线上定义一种特殊的运算，叫做“点加”运算。
这个“点加”可不是简单的把两个点加起来哦。
它有一套自己独特的计算方法。
比如说，我们有两个点P和Q在椭圆曲线上。
要计算P + Q呢，我们得先画一条直线穿过P和Q（如果P和Q是同一个点的话，那这条直线就是曲线在这个点的切线哦，是不是很神奇？）。
这条直线会和椭圆曲线相交于另一个点，我们把这个点叫做R'。
然后呢，我们把R'关于x轴对称的点就是P + Q啦。
这个运算规则虽然有点复杂，但是很有规律呢。
好啦，现在我们来看看怎么用这个椭圆曲线来加密。
我们有一个发送者，比如说小明，和一个接收者，比如说小红。
首先呢，小红要在椭圆曲线上选一个秘密的点，这个点就像是她的小钥匙，只有她自己知道。
然后呢，她把椭圆曲线的一些公开信息，比如曲线的方程、一个公开的基点（这个基点就是曲线上一个大家都知道的点啦）发给小明。
小明要发送一个消息给小红。
他把这个消息变成一个椭圆曲线上的点M（这个转换过程也有一些小技巧哦）。
然后呢，小明随便选一个整数k，这个k就像是他临时想出来的一个小密码。
他计算C1 = k * 基点（这里的*就是我们前面说的点加运算，不过是重复k次啦），C2 = M + k * 小红的秘密点。
椭圆曲线密码
椭圆曲线密码椭圆曲线加密（ECC）是一种最新的高级数字加密技术，它可以提供高安全性、更低的计算能力要求以及更短的密钥，相比于之前常用的RSA算法，ECC算法有着显著的优势。
与RSA算法相比，椭圆曲线加密算法（ECC）拥有更高的安全性。
给定同样的安全性级别，ECC算法需要比RSA更短的密钥长度。
这意味着流量更少，传输更快，速度更快，因此可以提高加密的性能。
此外，ECC算法具有更小的计算负担，可以在更少的资源上实现同样的安全性水平。
椭圆曲线算法已经被广泛应用于商业中。
许多国家和行业都在使用ECC算法来实现基于互联网的安全传输。
例如，欧洲央行团体（EBCG）已经将ECC算法作为基础的SEPA互联网支付系统中的加密技术。
另一方面，美国和日本金融机构也正在将ECC算法用于交易系统的安全传输，以及网上和移动银行的安全建设。
ECC算法的另一个优点是，它可以与其他加密算法一起使用。
这样，用户可以根据自己的需求选择最合适的加密技术，并将其与ECC 算法结合起来，以提供更高层次的安全性。
例如，ECC算法可以用于AES加密，以提供更强的安全性。
此外，ECC算法也可用于与RSA算法结合的双重加密，以提高安全性。
椭圆曲线算法已经被许多行业和技术领域采用，并且在加密中发挥着重要作用。
它的最大优势是，它可以在不增加安全保护等级的情况下实现更短的密钥，更小的计算负担，更快的传输，更强的安全性和更高的性能优势。
但是，椭圆曲线算法也存在一些缺点。
它的最大缺点是，该算法比RSA算法更难实现，其安全性可能受到影响，但研究表明，ECC算法更安全。
另外，椭圆曲线加密算法相对于RSA算法要求更高，而且它更复杂，需要更多的时间来实现。
总之，椭圆曲线算法是一种新的加密算法，它的优势在于可以提供更高的安全性、更低的计算能力要求以及更短的密钥，相比于之前常见的RSA算法，ECC算法有着显著的优势。
它已经被广泛应用于商业领域，不仅能够处理更复杂的加密问题，而且还可以更有效地实现安全传输。
椭圆曲线加密算法（一）
椭圆曲线加密算法（⼀）椭圆曲线加密和签名算法简述椭圆曲线密码学，简称ECC。
是⼀种建⽴公开加密的算法，也就是⾮对称加密。
和RSA类似。
被公认在给定密钥长度下最安全的加密算法。
应⽤范围很⼴，主要的三个技术TLS、PGP、SSH都在使⽤它，特别是以BTC为代表的数字货币。
椭圆曲线椭圆曲线并不是我们⾼中时学习的椭圆形状，其名字的由来是应为椭圆曲线的描述⽅程，类似于计算⼀个椭圆周长的⽅程。
这⾥⽤来加密的椭圆曲线的定义是⼀个特殊情况。
椭圆曲线暂时可以简单的理解为：其中：a和b决定了曲线在坐标系的不同形状。
举个例⼦：当b=1,a的取值从2到-3时，曲线的形状如下：特殊曲线：当a=b=0时(左)，或a=-3,b=2时(右)，这两条都不是符合标准的曲线。
阿贝尔群数学上，群是指定义了⼆元操作运算并且⽤符号“+”表⽰的⼀个集合。
则必须满⾜以下要求：封闭性：如果a和b都是群成员，那么a+b也是群成员。
组合性：(a+b)+c=a+(b+c)单位元：存在确切的⼀个值可以保证 a+0=0+a=a成⽴，我们称之为单位元逆元：每个成员都有⼀个相反数：对于任意值a必定存在b使得a+b=0这样的群我们称之为阿贝尔群。
另外阿贝尔群还应该满⾜交换律a+b=b+a我们所熟知的在整数范围内的加法运算(Z,+)就是阿贝尔群封闭性：a、b属于整数，a+b也属于整数组合性：(a+b)+c=a+(b+c)单位元：0值就是单位元逆元：a的逆元就是-a所以(Z,+)是⼀个阿贝尔群。
椭圆曲线的加法假设我们有这样⼀条椭圆曲线y2=x3-x,曲线上有两点P、Q，过P和Q做⼀条直线，交椭圆曲线于R'点，再过R'点做垂直于X轴的直线，交椭圆曲线于另⼀点R，我们定义P+Q=R。
当P=Q时候，则是过P点的切线交于椭圆曲线于R'，此时R=2P，如图所⽰：当有k个相同的点P相加时，记做kP，如：P+P+P=2P+P=3P，如图：椭圆曲线密码利⽤上述“运算”中的“椭圆曲线上的离散多数问题”，就像RSA利⽤“⼤数质因数分解”⼀样。
椭圆曲线加密(有二进制域上的)
下面我们将通过一例来理解单位元。设椭圆曲线方程为
y 2 = x 3 + ax + b
令： x=X/Z，y=Y/Z 代入以上椭圆曲线方程得 (Y/Z)2=(X/Z)3+a(X/Z)+b
两边同乘Z3得到 Y2Z=X3+aXZ2+BZ3 显然点(x，y)和点(X，Y，Z)是相对应的，并且对于任意 常数λ≠0时，以点（0，1，0）为例，该点等效于（0，1， ε）当ε→0是等效的点。 从而此时y坐标1要除以0，我们此时可以理解为y坐标趋于 无穷大，相应的定义无穷远点为零点。 可见，在实数域下，椭圆曲线上的所有点，再加上一个无 穷远点—零点，就构成一个加法群。 （2）实数域上的加法运算
m
其中F表示为域，2m表示为二进制。构成 F2 的一种方法是采用多项式基的表示法。 在这种表示中，域 F2
m
m
的元素是次数最多为m-1次二进制多项式（多项式的系 数取自F2=(0,1)）：
F 2 m = a m −1 g m −1 + a m − 2 g m − 2 + ⋯ + a 2 g 2 + a 1 g + a 0 ( a i ∈ {0 ,1})
∆≠0
确保椭圆曲线E是“光滑”的，即曲线的所有点都没 有两个或两个以上不同的切线。 下面对分别考虑域K的特征值等于2或3或域不等于2或3 两种情况对椭圆曲线E进行映射，使方程简化，在实际应 用中也只考虑简化的方程。
1.若与K的特征值不等于2或3须对以下映射
x − 3a12 − 12a 2 y − 3a1 x a12 + 4a1 a 2 − 12a3 ( x, y ) → ( , − ) 36 216 24
d 2 = a12 + a 2 d 4 = a 4 − a1 a 3 其中
椭圆曲线密码学的基本原理
椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线的密码算法，它在计算复杂度和安全性方面具有很大的优势，因此在现代密码学中得到了广泛应用。
这篇文章将介绍椭圆曲线密码学的基本原理。
椭圆曲线密码学的基本原理是基于椭圆曲线离散对数问题。
在传统的密码学中，我们经常使用大素数作为加密算法的基础。
但是，使用大素数进行计算的复杂性很大，尤其是在移动设备等资源受限的环境中。
椭圆曲线密码学利用椭圆曲线上的离散对数问题，可以以更小的密钥长度实现相同的安全性。
因此，在现代密码学中得到了广泛的应用。
在椭圆曲线密码学中，加密算法的基础是一个椭圆曲线和一个在该曲线上的基点。
椭圆曲线可以用一个方程表示：y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是曲线的参数。
基点是曲线上的一个特定点，我们可以用它和曲线上的其他点进行相加操作。
相加操作遵循一些特定的规则，能够实现对点的加密和解密操作。
椭圆曲线密码学的基本原理是基于椭圆曲线上的离散对数问题。
离散对数问题是指在一个群（椭圆曲线上的点构成的群）中，给定一点P和一个整数k，求解使得kP = Pk = Q成立的整数k的问题。
在传统的密码学算法中，求解离散对数问题是非常困难的，因为其计算复杂性是指数级的。
椭圆曲线密码学利用这个困难性质，构建起了一种安全的加密算法。
椭圆曲线密码学的加密过程包括三个步骤：密钥生成、加密和解密。
在密钥生成过程中，生成一个私钥和一个公钥。
私钥是一个随机生成的整数，用于解密过程；公钥是通过私钥和椭圆曲线上的基点计算得到的点，用于加密过程。
加密过程中，首先选择一个随机数作为加密因子，然后将明文信息乘以加密因子，加上公钥，并对结果进行一次相加运算。
解密过程中，使用私钥和加密结果进行计算，得到解密后的明文信息。
椭圆曲线密码学具有较高的安全性和计算效率。
其安全性主要源于离散对数问题的困难性质，即使在现代计算机的计算能力下，也无法在合理的时间内求解离散对数问题。
与传统的RSA算法相比，椭圆曲线密码学可以使用更短的密钥长度实现相同的安全性，减小了计算和存储的开销。
segamath 椭圆曲线
segamath 椭圆曲线
椭圆曲线加密（Elliptic Curve Cryptography，简称ECC）是一种非对称加密算法，它基于椭圆曲线上的点运算来实现安全的加密和解密。
在ECC中，椭圆曲线被定义为一个代数方程，通常表示为y^2 = x^3 + ax + b。
这个方程描述了一个平面上的曲线，其中所有满足方程的点构成了一个有限群。
通过选择适当的曲线参数和定义运算规则，可以实现加法和乘法运算。
椭圆曲线上的点加法操作具有结合律、交换律和逆元等性质，使得它成为密码学中的重要工具。
椭圆曲线加密算法通过利用椭圆曲线上的离散对数难题来保证加密的安全性。
该问题指的是找到满足某个条件的整数k，使得给定的点P能够通过点乘法运算得到。
对于大部分情况而言，计算离散对数是一项非常困难的任务，因此基于椭圆曲线的加密算法具有较高的安全性和效率。
椭圆曲线加密广泛应用于现代密码学领域，包括数字签名、密钥交换和加密通信等方面。
它相比传统的RSA算法，具有更高的安全性和更小的密钥长度，可以在保证安全性的
同时降低计算和存储的成本。
基于椭圆曲线加密的方案
基于椭圆曲线加密的方案
椭圆曲线加密是一种基于数学原理的加密方案。
它利用椭圆曲线
上的点运算和离散对数难题，实现了高效且安全的加密算法。
该方案使用公钥加密和私钥解密的方式进行通信。
每个用户拥有
一对密钥，包括一个公钥和一个私钥。
公钥可以公开给其他人使用，
而私钥则必须保密。
在加密过程中，发送方使用接收方的公钥对明文进行加密。
密文
可通过公开渠道传输。
接收方收到密文后，使用自己的私钥进行解密，得到明文。
椭圆曲线加密方案具有许多优点。
首先，它具有较高的安全性。
通过选取适当的椭圆曲线和参数，可以使得破解密文的难度非常大。
其次，该方案具有较小的密钥和计算量，适用于资源受限的设备。
此外，椭圆曲线加密还能实现数字签名、密钥交换等功能。
然而，椭圆曲线加密也存在一些挑战和限制。
首先，选择合适的
椭圆曲线和参数需要一定的数学知识和经验。
其次，对大型数据进行
加密时，计算量相对较大。
最后，由于椭圆曲线加密算法的相对较新，可能存在一些未知的安全风险。
总的来说，椭圆曲线加密是一种高效且安全的加密方案。
它广泛
应用于各种领域，包括支付系统、电子邮件等，保护了大量敏感信息
的安全传输和存储。
ecc公钥算法 常用参数
ecc公钥算法常用参数
ECC（椭圆曲线加密）公钥算法是一种基于椭圆曲线离散对数问题的加密算法，它在信息安全领域中被广泛应用。
常用的ECC公钥算法参数包括以下几个方面：
1. 椭圆曲线方程参数，ECC算法的关键在于选择合适的椭圆曲线方程，常见的方程形式为y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是定义曲线的参数。
选取合适的椭圆曲线参数对于算法的安全性至关重要。
2. 椭圆曲线的基点，在ECC算法中，基点（也称为生成元）是一个确定的曲线上的点，它被用来生成密钥对和执行加密操作。
基点的选择需要满足一定的数学性质，常用的基点通常是事先定义好的。
3. 椭圆曲线的阶，椭圆曲线上点的阶是指通过基点不断相加得到的点的个数。
椭圆曲线的阶对于算法的安全性和性能都有重要影响，通常会选择一个大素数作为椭圆曲线的阶。
4. 字段参数，ECC算法中的运算是在有限域上进行的，因此需
要选择合适的字段参数来定义椭圆曲线方程中的系数。
常见的字段参数包括素数域和二元扩域等。
总的来说，ECC公钥算法的常用参数包括椭圆曲线方程参数、椭圆曲线的基点、椭圆曲线的阶和字段参数等。
这些参数的选择对于算法的安全性和性能都有重要影响，需要根据具体的应用场景和安全需求进行合理的选择。
椭圆曲线加密的算法
椭圆曲线加密的算法是一种基于椭圆曲线数学理论的公钥加密技术。
椭圆曲线加密的算法主要依赖于椭圆曲线离散对数问题的困难性。
其加密过程主要包括以下几个步骤：
1.选择一条椭圆曲线E和椭圆曲线上的一个点P，以及一
个整数n，n大于1且n是椭圆曲线E上的阶（即E上的点的个数）。
2.选择一个随机数d，d在1到n-1之间，d作为私钥。
3.计算椭圆曲线E上的点Q=dP，Q作为公钥。
4.发送方将明文编码到椭圆曲线E上的点M上，然后选
择一个随机数k，计算椭圆曲线E上的点C1=kM和C2=kP。
5.发送方将C1和C2发送给接收方。
6.接收方收到C1和C2后，使用自己的公钥Q和接收到
的C1计算椭圆曲线E上的点S=QC1。
7.接收方再使用自己的私钥d和计算得到的点S计算椭圆
曲线E上的点M'=dS。
8.接收方将M'解码为明文，得到发送方发送的原始信息。
椭圆曲线加密算法
椭圆曲线加密算法椭圆曲线加密算法是一种具有重要意义的密码技术，它是一种近年来发展快速，认可度高的密码技术，被广泛应用于信息安全领域，并用于加密流量中的敏感信息，如电子钱包、金融信息以及其他应用。
椭圆曲线加密算法是一种基于椭圆曲线群（ECC）的公钥加密技术。
具体来说，它通过使用椭圆曲线函数，在椭圆曲线的结构方面具有不可破解的特性，给数据传输和信息加密带来安全保障。
该技术最初由Neil Koblitz和Victor Miller分别于1985年和1986年提出，当时它们研究的椭圆曲线函数的参数是固定的。
与其他公钥加密技术相比，椭圆曲线加密算法具有很多优势，它可以提供高效的信息加密，以及不可破解的信息保护。
首先，椭圆曲线加密算法具有高效性，它可以提供极高的安全性，同时不会损失消息发送者和接收者之间的传输效率。
椭圆曲线加密算法的非对称加密性能优于其他公钥加密算法，由此可以显著减少加密计算的复杂度，提高加密和解密的效率，显著减少计算时间和存储空间。
其次，椭圆曲线加密算法也具有不可破解的安全保护性能。
在基于椭圆曲线加密算法中，传输的消息和数据是，通过强大的无法破解的密钥保护和加密，从而极大地提升了信息的安全性。
因此，由于其具有良好的数据加密性能，椭圆曲线加密算法被用于各种数据加密领域，如互联网金融、移动支付、区块链等重要的应用领域。
再者，椭圆曲线加密算法也可以用于其他安全领域，如数字签名，它可以保证消息发送者和接收者之间的可靠性，以及保护发送者和接收者双方的信息安全。
总之，椭圆曲线加密算法是一种先进的密码技术，它具有高效性、不可破解的安全保护性能和无可比拟的安全性，可以有效地提升信息安全。
椭圆曲线加密算法因其在金融、移动支付、区块链等公共领域的应用而被认可，在未来，它将继续发挥关键作用，促进信息安全的发展。
椭圆曲线加密算法（ECC）原理和C++实现源码（摘录）
椭圆曲线加密算法（ECC）原理和C++实现源码（摘录）/* 1、⽤户A选定⼀条适合加密的椭圆曲线Ep(a,b)(如:y2=x3+ax+b)，并取椭圆曲线上⼀点，作为基点G。
2、⽤户A选择⼀个私有密钥k，并⽣成公开密钥K=kG。
3、⽤户A将Ep(a,b)和点K，G传给⽤户B。
4、⽤户B接到信息后，将待传输的明⽂编码到Ep(a,b)上⼀点M，并产⽣⼀个随机整数r（r<n）。
5、⽤户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
6、⽤户B将C1、C2传给⽤户A。
7、⽤户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。
因为C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M 再对点M进⾏解码就可以得到明⽂。
密码学中，描述⼀条Fp上的椭圆曲线，常⽤到六个参量：T=(p,a,b,G,n,h)。
（p 、a 、b ⽤来确定⼀条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分） 这⼏个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。
参量值⼀般要求满⾜以下⼏个条件： 1、p 当然越⼤越安全，但越⼤，计算速度会变慢，200位左右可以满⾜⼀般安全要求； 2、p≠n×h； 3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20； 4、4a3+27b2≠0 (mod p)； 5、n 为素数； 6、h≤4。
*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <iostream.h>#include "tommath.h"#include <time.h>#define BIT_LEN 800#define KEY_LONG 128 //私钥⽐特长#define P_LONG 200 //有限域P⽐特长#define EN_LONG 40 //⼀次取明⽂字节数(x,20)(y,20)//得到lon⽐特长素数int GetPrime(mp_int *m,int lon);//得到B和G点X坐标G点Y坐标void Get_B_X_Y(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *b, mp_int *a, mp_int *p);//点乘bool Ecc_points_mul(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *d,mp_int *a,mp_int *p);//点加int Two_points_add(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *x2,mp_int *y2,mp_int *x3,mp_int *y3,mp_int *a,bool zero,mp_int *p);//⼆进制存储密⽂int chmistore(mp_int *a,FILE *fp);//把读取的字符存⼊mp_int型数int putin(mp_int *a,char *ch,int chlong);//ECC加密void Ecc_encipher(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *a,mp_int *p);//ECC解密void Ecc_decipher(mp_int *k, mp_int *a,mp_int *p);//实现将mp_int数a中的⽐特串还原为字符串并赋给字符串ch：int chdraw(mp_int *a,char *ch);//取密⽂int miwendraw(mp_int *a,char *ch,int chlong);int myrng(unsigned char *dst, int len, void *dat){int x;for (x = 0; x < len; x++) dst[x] = rand() & 0xFF;return len;}void main(){cout<<"\n 本程序实现椭圆曲线的加密解密"<<endl;cout<<"\n------------------------------------------------------------------------\n"<<endl;mp_int GX;mp_int GY;mp_int K;//私有密钥mp_int A;mp_int QX;mp_int QY;mp_int P;//Fp中的p(有限域P)mp_init(&GX);mp_init(&GY);mp_init(&K);mp_init(&A);mp_init(&B);mp_init(&QX);mp_init(&QY);mp_init(&P);time_t t;srand( (unsigned) time( &t ) );printf("椭圆曲线的参数如下(以⼗进制显⽰):\n");GetPrime(&P,P_LONG);printf("有限域 P 是:\n");char temp[800]={0};mp_toradix(&P,temp,10);printf("%s\n",temp);GetPrime(&A,30);char tempA[800]={0};printf("曲线参数 A 是:\n");mp_toradix(&A,tempA,10);printf("%s\n",tempA);Get_B_X_Y(&GX,&GY,&B,&A,&P);char tempB[800]={0};printf("曲线参数 B 是:\n");mp_toradix(&B,tempB,10);printf("%s\n",tempB);char tempGX[800]={0};printf("曲线G点X坐标是:\n");mp_toradix(&GX,tempGX,10);printf("%s\n",tempGX);char tempGY[800]={0};printf("曲线G点Y坐标是:\n");mp_toradix(&GY,tempGY,10);printf("%s\n",tempGY);//------------------------------------------------------------------GetPrime(&K,KEY_LONG);char tempK[800]={0};printf("私钥 K 是:\n");mp_toradix(&K,tempK,10);printf("%s\n",tempK);Ecc_points_mul(&QX,&QY,&GX,&GY,&K,&A,&P);char tempQX[800]={0};printf("公钥X坐标是:\n");mp_toradix(&QX,tempQX,10);printf("%s\n",tempQX);char tempQY[800]={0};printf("公钥Y坐标是:\n");mp_toradix(&QY,tempQY,10);printf("%s\n",tempQY);printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); Ecc_encipher(&QX,&QY,&GX,&GY,&A,&P);//加密printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); Ecc_decipher(&K,&A,&P);//解密printf("\n------------------------------------------------------------------------\n"); char cc;cout<<"\n\n请击⼀键退出!\n";mp_clear(&GX);mp_clear(&GY);mp_clear(&K);//私有密钥mp_clear(&A);mp_clear(&B);mp_clear(&QX);mp_clear(&QY);mp_clear(&P);//Fp中的p(有限域P)}int GetPrime(mp_int *m,int lon){mp_prime_random_ex(m, 10, lon,(rand()&1)?LTM_PRIME_2MSB_OFF:LTM_PRIME_2MSB_ON, myrng, NULL); return MP_OKAY;}void Get_B_X_Y(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *b, mp_int *a, mp_int *p){mp_int tempx,tempy;mp_int temp;mp_int compare;mp_int temp1;mp_int temp2;mp_int temp3;mp_int temp4;mp_int temp5;mp_int temp6;mp_int temp7;mp_int temp8;mp_init_set_int (&compare, 0);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);mp_init(&temp);mp_init(&temp1);mp_init(&temp2);mp_init(&temp3);mp_init(&temp4);mp_init(&temp5);mp_init(&temp6);mp_init(&temp7);mp_init(&temp8);while(1){//4a3+27b2≠0 (mod p)GetPrime(b,40);mp_expt_d(a, 3, &temp1);mp_sqr(b, &temp2);mp_mul_d(&temp1, 4, &temp3);mp_mul_d(&temp2, 27, &temp4);mp_add(&temp3, &temp4, &temp5);mp_mod(&temp5,p,&temp);if(mp_cmp(&temp, &compare)!=0 ){break;}}//y2=x3+ax+b,随机产⽣X坐标,根据X坐标计算Y坐标GetPrime(x1,30);mp_expt_d(x1, 3, &temp6);mp_mul(a, x1, &temp7);mp_add(&temp6, &temp7, &temp8);mp_add(&temp8, b, &tempx);mp_sqrt(&tempx, y1);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);mp_clear(&temp);mp_clear(&temp1);mp_clear(&temp2);mp_clear(&temp3);mp_clear(&temp4);mp_clear(&temp5);mp_clear(&temp8);}bool Ecc_points_mul(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *d,mp_int *a,mp_int *p){mp_int X1, Y1;mp_int X2, Y2;mp_int X3, Y3;mp_int XX1, YY1;mp_int A,P;int i;bool zero=false;char Bt_array[800]={0};char cm='1';mp_toradix(d,Bt_array,2);mp_init_set_int(&X3, 0);mp_init_set_int(&Y3, 0);mp_init_copy(&X1, px);mp_init_copy(&X2, px);mp_init_copy(&XX1, px);mp_init_copy(&Y1, py);mp_init_copy(&Y2, py);mp_init_copy(&YY1, py);mp_init_copy(&A, a);mp_init_copy(&P, p);for(i=1;i<=KEY_LONG-1;i++){mp_copy(&X2, &X1);mp_copy(&Y2, &Y1);Two_points_add(&X1,&Y1,&X2,&Y2,&X3,&Y3,&A,zero,&P);mp_copy(&X3, &X2);mp_copy(&Y3, &Y2);if(Bt_array[i]==cm){mp_copy(&XX1, &X1);mp_copy(&YY1, &Y1);Two_points_add(&X1,&Y1,&X2,&Y2,&X3,&Y3,&A,zero,&P);mp_copy(&X3, &X2);mp_copy(&Y3, &Y2);}}if(zero){cout<<"It is Zero_Unit!";return false;//如果Q为零从新产⽣D}mp_copy(&X3, qx);mp_copy(&Y3, qy);mp_clear(&X1);mp_clear(&Y1);mp_clear(&X2);mp_clear(&Y2);mp_clear(&X3);mp_clear(&Y3);mp_clear(&XX1);mp_clear(&YY1);mp_clear(&A);mp_clear(&P);return true;}//两点加int Two_points_add(mp_int *x1,mp_int *y1,mp_int *x2,mp_int *y2,mp_int *x3,mp_int *y3,mp_int *a,bool zero,mp_int *p) {mp_int x2x1;mp_int y2y1;mp_int tempk;mp_int tempy;mp_int temp1;mp_int temp2;mp_int temp3;mp_int temp4;mp_int temp5;mp_int temp6;mp_int temp7;mp_int temp8;mp_int temp9;mp_int temp10;mp_init(&x2x1);mp_init(&y2y1);mp_init(&tempk);mp_init(&tempy);mp_init(&tempzero);mp_init(&k);mp_init(&temp1);mp_init(&temp2);mp_init_set(&temp3,2);mp_init(&temp4);mp_init(&temp5);mp_init(&temp6);mp_init(&temp7);mp_init(&temp8);mp_init(&temp9);mp_init(&temp10);if(zero){mp_copy(x1, x3);mp_copy(y1, y3);zero=false;goto L;}mp_zero(&tempzero);mp_sub(x2, x1, &x2x1);if(mp_cmp(&x2x1,&tempzero)==-1){mp_add(&x2x1, p, &temp1);mp_zero(&x2x1);mp_copy(&temp1, &x2x1);}mp_sub(y2, y1, &y2y1);if(mp_cmp(&y2y1,&tempzero)==-1){mp_add(&y2y1, p, &temp2);mp_zero(&y2y1);mp_copy(&temp2, &y2y1);}if(mp_cmp(&x2x1, &tempzero)!=0){mp_invmod(&x2x1,p,&tempk);mp_mulmod(&y2y1, &tempk, p, &k);}else{if(mp_cmp(&y2y1, &tempzero)==0){mp_mulmod(&temp3,y1,p,&tempy); mp_invmod(&tempy,p,&tempk);mp_sqr(x1, &temp4);mp_mul_d(&temp4, 3, &temp5);mp_add(&temp5, a, &temp6);mp_mulmod(&temp6, &tempk, p, &k); }else{zero=true;goto L;}}mp_sqr(&k, &temp7);mp_sub(x1, x3, &temp9);mp_mul(&temp9, &k, &temp10);mp_submod(&temp10, y1, p, y3);L:mp_clear(&x2x1);mp_clear(&y2y1);mp_clear(&tempk);mp_clear(&tempy);mp_clear(&tempzero);mp_clear(&k);mp_clear(&temp1);mp_clear(&temp2);mp_clear(&temp3);mp_clear(&temp4);mp_clear(&temp5);mp_clear(&temp6);mp_clear(&temp7);mp_clear(&temp8);mp_clear(&temp9);mp_clear(&temp10);return1;}//⼆进制存储密⽂int chmistore(mp_int *a,FILE *fp){int i,j;char ch;char chtem[4];mp_digit yy=(mp_digit)255;for (i=0; i <= a->used - 1; i++) {chtem[3]=(char)(a->dp[i] & yy);chtem[2]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)8) & yy); chtem[1]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)16) & yy); chtem[0]=(char)((a->dp[i] >> (mp_digit)24) & yy);for(j=0;j<4;j++){fprintf(fp,"%c",chtem[j]);}}ch=char(255);fprintf(fp, "%c", ch);return MP_OKAY;}//把读取的字符存⼊mp_int型数int putin(mp_int *a,char *ch,int chlong){mp_digit *temp,yy;int i,j,res;if(a->alloc<chlong*2/7+2){if((res=mp_grow(a,chlong*2/7+2))!=MP_OKAY)return res;}a->sign=0;mp_zero(a);temp=a->dp;i=0;yy=(mp_digit)15;if(chlong<4){for(j=chlong-1;j>=0;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}return MP_OKAY;}if(chlong<7){i+=4;*++temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & yy);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp-- |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255); //存放被切分的字符的低四位for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)4;*temp |= (mp_digit)((ch[i-1] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位 a->used=2;return MP_OKAY;}//以7个字符为单元循环，把七个字符放⼊的mp_int 的两个单元中for(j=0;j<chlong/7;j++){i+=7;*++temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)4;*temp-- |= (mp_digit)((ch[i-4] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位 *temp |= (mp_digit)(ch[i-4] & yy); //存放被切分的字符的低四位*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-5] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-6] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-7] & 255);temp++;}if((chlong>=7)&&(chlong%7!=0)) //剩余字符的存放{if(chlong%7 < 4) //剩余字符少余4个时，只需⼀个mp_digit单元存放 {for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)8;a->used=chlong*2/7+1;}else{ //剩余字符不⼩于4个时，需两个mp_digit单元存放i+=4;*temp |= (mp_digit)(ch[i-1] & yy);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255); //存放被切分的字符的低四位for(j=chlong-1;j>=i;j--){*temp |= (mp_digit)(ch[j] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;}*temp >>= (mp_digit)4;*temp |= (mp_digit)((ch[i-1] & 255) >> 4); //存放被切分的字符的⾼四位}}else{a->used=chlong*2/7;}return MP_OKAY;}void Ecc_encipher(mp_int *qx,mp_int *qy, mp_int *px, mp_int *py,mp_int *a,mp_int *p){ //公钥X、Y坐标，曲线G点X、Y坐标，曲线参数A，有限域P mp_int mx, my;mp_int c1x, c1y;mp_int c2x, c2y;mp_int r;mp_int tempx, tempy;bool zero=false;FILE *fp,*fq;int i;char miwenx[280]={0};char miweny[280]={0};char stemp[650]={0};mp_init(&mx);mp_init(&my);mp_init(&c1x);mp_init(&c1y);mp_init(&c2x);mp_init(&c2y);mp_init(&r);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);GetPrime(&r, 100);char filehead[60],filefoot[20],filename[85]={0};cout<<"请输⼊您要加密⽂件的存放路径和⽂件名(如: c:\\000\\⼤整数运算 ):"<<endl;cin>>filehead;cout<<"请输⼊您要加密⽂件的扩展名(如: .doc ):"<<endl;cin>>filefoot;strcpy(filename,filehead);strcat(filename,filefoot);//打开要加密⽂件if((fp=fopen(filename,"rb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}unsigned int FileLong=0;//⽂件字符长度char ChTem;//临时字符变int Frequency=0;int Residue=0;while( !feof(fp) )//找⽂件字符长度{ChTem = fgetc( fp );FileLong++;}--FileLong;Frequency = FileLong/EN_LONG;Residue = FileLong%EN_LONG;int enlongtemp=EN_LONG/2;//printf("%d\n",Frequency);//printf("%d\n",Residue);char filemi[85];strcpy(filemi,filehead);strcat(filemi,"密⽂");strcat(filemi,filefoot);//打开保存密⽂⽂件if((fq=fopen(filemi,"wb"))==NULL)exit(1);}printf("\n开始加密...\n");rewind(fp);for(i=0; i<Frequency; i++){fread(miwenx,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miweny[enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1);//⽂件存⼊putin(&my, miweny,enlongtemp+1);//⽂件存⼊Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p);//加密Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p);Two_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p);//保存密⽂chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}//剩余字符处理if ( Residue > 0){if (Residue <= enlongtemp ){fread(miwenx,1,Residue,fp);//读⼊字符串miwenx[Residue]=char(255);putin(&mx, miwenx,Residue+1);//⽂件存⼊mp_zero(&my);}else{fread(miwenx,1,enlongtemp,fp);//读⼊字符串miwenx[enlongtemp]=char(255);fread(miweny,1,Residue-enlongtemp,fp);//读⼊字符串miweny[Residue-enlongtemp]=char(255);putin(&mx, miwenx,enlongtemp+1);//⽂件存⼊putin(&my, miweny,Residue-enlongtemp+1);//⽂件存⼊}Ecc_points_mul(&c2x,&c2y,px,py,&r,a,p);//加密Ecc_points_mul(&tempx,&tempy,qx,qy,&r,a,p);Two_points_add(&mx,&my,&tempx,&tempy,&c1x,&c1y,a,zero,p);//保存密⽂chmistore(&c1x,fq);chmistore(&c1y,fq);chmistore(&c2x,fq);chmistore(&c2y,fq);}cout<<"\nok!加密完毕!"<<endl;cout<<"密⽂以⼆进制保存"<<endl;cout<<"密⽂存放路径为 "<<filemi<<endl ;mp_clear(&mx);mp_clear(&my);mp_clear(&c1x);mp_clear(&c1y);mp_clear(&c2x);mp_clear(&c2y);mp_clear(&r);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);}//取密⽂int miwendraw(mp_int *a,char *ch,int chlong){mp_digit *temp;int i,j,res;if(a->alloc<chlong/4){if((res=mp_grow(a,chlong/4))!=MP_OKAY)return res;}a->alloc=chlong/4;a->sign=0;mp_zero(a);temp=a->dp;i=0;for(j=0;j<chlong/4;j++){i+=4;*temp |= (mp_digit)(ch[i-4] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-3] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp |= (mp_digit)(ch[i-2] & 255);*temp <<= (mp_digit)CHAR_BIT;*temp++ |= (mp_digit)(ch[i-1] & 255);}a->used=chlong/4;return MP_OKAY;}//实现将mp_int数a中的⽐特串还原为字符串并赋给字符串ch：int chdraw(mp_int *a,char *ch){int i,j;mp_digit *temp,xx,yy;temp=a->dp;i=0;yy=(mp_digit)255; //⽤于位与运算，取⼋位⽐特串xx=(mp_digit)15; //⽤于位与运算，取四位⽐特串for(j=0;j<a->used/2;j++) //以两个单元为循环，把两个单元的⽐特串赋给7个字符 {i+=7;ch[i-4]=(char)(*++temp & xx);ch[i-3]=(char)((*temp >> (mp_digit)4) & yy);ch[i-2]=(char)((*temp >> (mp_digit)12) & yy);ch[i-1]=(char)((*temp-- >> (mp_digit)20) & yy);ch[i-7]=(char)(*temp & yy);ch[i-6]=(char)((*temp >> (mp_digit)8) & yy);ch[i-5]=(char)((*temp >> (mp_digit)16) & yy);ch[i-4] <<= 4;ch[i-4]+=(char)((*temp++ >> (mp_digit)24) & xx);temp++;}if(a->used%2!=0) //剩于⼀个单元的处理{ch[i++] = (char)(*temp & yy);ch[i++] = (char)((*temp >> (mp_digit)8) & yy);ch[i++] = (char)((*temp >> (mp_digit)16) & yy);}--i;while(int(ch[i]&0xFF) != 255 && i>0) i--;return i;void Ecc_decipher(mp_int *k, mp_int *a,mp_int *p){mp_int c1x, c1y;mp_int c2x, c2y;mp_int tempx, tempy;mp_int mx, my;mp_int temp;mp_init(&temp);mp_init(&c1x);mp_init(&c1y);mp_init(&c2x);mp_init(&c2y);mp_init(&tempx);mp_init(&tempy);mp_init(&mx);mp_init(&my);mp_int tempzero;mp_init(&tempzero);int i;char stemp[700]={0};FILE *fp,*fq;bool zero=false;char filehead[60],filefoot[20],filename[85]={0};cout<<"请输⼊您要解密的⽂件的存放路径和⽂件名(如: c:\\000\\⼤整数运算 ):"<<endl; cin>>filehead;cout<<"请输⼊您要解密的⽂件的扩展名(如: .doc ):"<<endl;cin>>filefoot;strcpy(filename,filehead);strcat(filename,filefoot);printf("\n开始解密\n");if((fp=fopen(filename,"rb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}//打开保存解密结果⽂件char filemi[80];strcpy(filemi, filehead);strcat(filemi, "解密");strcat(filemi, filefoot);if((fq=fopen(filemi,"wb"))==NULL){printf("can not open the file!");exit(1);}rewind(fp);while(!feof(fp)){i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L1;}i++;}L1: miwendraw(&c1x, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L2;}i++;}L2: miwendraw(&c1y, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L3;}i++;}L3: miwendraw(&c2x, stemp, i);i=0;while(1){stemp[i]=fgetc(fp);if(i%4==0){if(int(stemp[i]&0xFF) == 255 ) goto L4;}i++;}L4: miwendraw(&c2y, stemp, i);mp_zero(&tempzero);if(mp_cmp(&c1x, &tempzero)==0) break;Ecc_points_mul(&tempx, &tempy, &c2x, &c2y, k, a, p);mp_neg(&tempy, &temp);Two_points_add(&c1x,&c1y,&tempx,&temp,&mx,&my,a,zero,p);int chtem;chtem=chdraw(&mx,stemp);//从ming中取出字符串//保存解密结果for(int kk=0;kk<chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}chtem=chdraw(&my,stemp);//从ming中取出字符串//保存解密结果for(kk=0;kk<chtem;kk++){fprintf(fq,"%c",stemp[kk]);}}cout<<"\nok!解密完毕!"<<endl;cout<<"解密后的⽂字存放路径为 "<<filemi<<endl;fclose(fq);fclose(fp);mp_clear(&c1x);mp_clear(&c1y);mp_clear(&c2x);mp_clear(&c2y);mp_clear(&tempx);mp_clear(&tempy);mp_clear(&mx);mp_clear(&my);mp_clear(&temp);}。
椭圆曲线加密算法步骤
椭圆曲线加密算法步骤
椭圆曲线加密算法是一种非对称加密算法，其加密过程基于椭圆曲线上的数学问题。
以下是椭圆曲线加密算法的步骤：
1. 选取一条椭圆曲线E和一个基点G。
这里的椭圆曲线是一个
特殊的函数，而G是一个点在这个函数上的坐标。
2. 选取一个随机数k，作为私钥。
3. 将私钥k乘以基点G，得到公钥P=kG。
公钥P是一个点在椭
圆曲线上的坐标。
4. 要对明文进行加密，需要将明文转换为曲线上的点Q。
这可
以通过将明文的二进制表示形式解释为一个整数，然后将其乘以基点
G来实现。
5. 选取一个随机数r，作为加密算法的参数。
6. 计算密文C1=rG，C2=Q+rP。
C1和C2就是加密后的密文。
7. 要解密密文，需要使用私钥k来计算P=kC1。
然后，计算Q=C2-P，得到明文的点。
8. 最后，将明文点转换为明文的二进制表示形式，并进行解密。
椭圆曲线加密算法具有高度的安全性和效率，适用于各种加密应用场景。
- 1 -。
椭圆曲线加密方案原理
椭圆曲线加密方案原理
椭圆曲线加密（Elliptic Curve Cryptography，简称ECC）是一种公开密钥加密算法，其原理基于椭圆曲线上的数学问题。
其加密过
程主要涉及到以下几个步骤：
1. 选择一条合适的椭圆曲线和基点
在椭圆曲线加密方案中，需要先选择一条合适的椭圆曲线和一个
基点G，该基点是椭圆曲线上的一个不必为随机选择的点，即确定的一个点。
2. 生成私钥和公钥
ECC算法中，私钥是一个随机的整数，一般用k表示；公钥则是
基于私钥生成的一个点，表示为P=k*G，其中*是点乘运算。
3. 加密和解密
为了保护机密数据，Bob使用Alice的公钥P_A加密明文数据，
其方法是选择一个随机数r，然后计算点 C_1 = r*G 和 C_2 = M +
r*P_A，其中M是待加密的明文消息。
Bob通过发送(C_1,C_2)给Alice
来传递加密信息。
Alice使用她的私钥k_A解密经过加密和传输的消息，她将计算 P_A = k_A*G，然后使用它从C_1中恢复出随机数r，从而计算M=C_2-r*P_A。
ECC算法比传统的RSA加密算法具有更高的安全性和更短的密钥
长度。
它广泛应用于各种网络加密协议中，例如SSL/TLS协议、SSH加密等。
椭圆曲线密码体制
椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制一、什么是椭圆曲线密码体制椭圆曲线密码体制（简称ECC），又称椭圆曲线加密算法，是一种公开密钥密码体系，是一种基于现代密码术中数论和椭圆曲线理论的一种密码学体系，由Neal Koblitz和Victor Miller在1985年首次提出。
椭圆曲线密码体制是基于椭圆曲线上的椭圆点之间的变换来实现的，研究表明，它可以用比同等安全等级的传统密码体系所需要的密钥长度要短得多的密钥进行加密。
二、椭圆曲线密码体制的特点1. 安全：与RSA不同，椭圆曲线密码体制的安全性完全取决于数学上的易破性，没有同等级别的RSA系统比它更安全。
相对RSA而言，椭圆曲线系统的密钥长度更短，它的安全性能与相同等级的RSA系统相比也要高一些。
2. 速度：椭圆曲线密码体制的速度要比RSA更快，一般用椭圆曲线密码体制的执行时间可以达到RSA的1/30-1/1000。
3. 隐私：椭圆曲线密码体制具有较高的安全性，可以保证用户信息的安全性。
三、椭圆曲线密码体制的应用1. 数字签名：椭圆曲线密码体制最常用于数字签名，可以确保签名者之间的身份认证，避免信息传输过程中的欺诈行为，为数字处理私有、公共和敏感信息提供强大的安全保护。
2. 数据加密：椭圆曲线密码体制还可以应用于数据加密，可以有效保护不同终端上的资料传输安全，满足不同企业在网络安全方面的需求。
3. 隐私保护：虽然椭圆曲线密码体制的产生是为了提高通信安全性，但也可以应用于隐私保护，为信息发布者和使用者都提供安全保护。
四、椭圆曲线密码体制的缺点1. 椭圆曲线密码体系要求很高的计算能力，一旦公钥被公开，破解椭圆曲线密码体制的成本比RSA的上升很多，增加了攻击的成本。
2. 尽管椭圆曲线密码体制的速度比RSA快，但椭圆曲线算法的速度仍然比较慢，因此有时可能会影响用户体验。
3. 椭圆曲线密码体制中使用的椭圆点数量比较大，也使得它的安全性有限。
4. 椭圆曲线密码体制目前尚没有足够的理论和实际证明，是否能达到纳什不可破解定理的效果。
ecc合同概念
ECC合同概念一、什么是ECC合同ECC是指“Elliptic Curve Cryptography”的缩写，中文翻译为“椭圆曲线加密”。
ECC合同则是基于椭圆曲线加密算法的加密合同。
椭圆曲线加密是一种公钥密码体制，通过利用椭圆曲线上的点进行加密和解密操作。
ECC合同在计算机通信和信息安全领域广泛应用，成为保护数据安全和隐私的重要手段。
二、ECC合同的原理2.1 椭圆曲线加密算法椭圆曲线加密算法基于一个椭圆曲线的数学问题，该问题很难在有限时间内破解，从而保证了加密的安全性。
椭圆曲线加密算法涉及到椭圆曲线上的点的运算，包括点的加法、减法和标量乘法等操作。
2.2 公钥加密和私钥解密ECC合同使用的是公钥密码体制，其中包含公钥和私钥两个关键元素。
公钥用于加密数据，任何人都可以获得公钥，而私钥则用于解密数据，只有私钥的持有者可以解密被加密的数据。
这种方式保证了数据的安全性和隐私性。
三、ECC合同的优势3.1 安全性高相比传统的RSA等加密算法，ECC合同在相同的安全级别下使用更短的密钥长度，从而大大提高了加密效率。
而且椭圆曲线加密算法的数学基础更为复杂，难以被破解，提供了更高的安全性。
3.2 计算效率高ECC合同在加密和解密过程中的计算量较小，运算速度快。
这对于计算资源有限的设备以及网络通信中的实时性要求非常重要。
相比之下，RSA等算法的计算量较大，运算速度相对较慢。
3.3 资源消耗低由于ECC合同使用的密钥长度较短，其占用的存储空间和带宽资源也相对较小，适用于资源受限的环境。
在移动设备和物联网设备等场景下，ECC合同可以更好地满足资源消耗的限制。
3.4 适用性广泛ECC合同的优势使得它在各个领域都有广泛的应用。
不仅可以用于加密通信和数据传输，还可以应用于数字签名、身份认证、支付系统等领域，保证了信息安全和交易安全的需求。
四、ECC合同的应用4.1 加密通信ECC合同可以用于保护通信过程中的数据安全，通过加密和解密操作，保证了通信内容的机密性。
ecc椭圆曲线加密算法 源码
ecc椭圆曲线加密算法源码一、概述本文档详细介绍了椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）的源代码实现，包括算法原理、代码实现、测试用例等内容。
该算法广泛应用于现代密码学中，具有高安全性、低计算复杂度等优点。
二、算法原理椭圆曲线加密算法基于椭圆曲线数学理论，利用椭圆曲线上的点加法、标量乘法等运算实现加密和解密过程。
在该算法中，密钥由一对椭圆曲线参数生成，分为私钥和公钥，分别用于加密和解密操作。
私钥用于生成签名，公钥用于解密和验证签名。
三、代码实现本代码实现使用C语言编写，基于OpenSSL库。
以下是主要代码模块：1. 椭圆曲线参数定义2. 密钥生成与存储3. 加密和解密操作4. 签名和验证操作5. 测试用例四、源代码展示以下是部分关键代码的展示，以供参考：1. 椭圆曲线参数定义：```c#include <openssl/ec.h>// 定义椭圆曲线参数EC_GROUP *group = EC_GROUP_new_by_curve_name(NID_X9_62_prime_field);// ...```2. 密钥生成与存储：```c// 生成私钥和公钥EC_POINT *point = EC_POINT_new(group);BN_set_word(privKey, rand()); // 生成随机私钥EC_POINT_mul(group, point, privKey, NULL, NULL, NULL); // 计算公钥// ...```3. 加密和解密操作：```c// 加密数据unsigned char *ciphertext = malloc(ENCRYPT_LENGTH); // 假设加密长度为ENCRYPT_LENGTHEC_POINT_point_mul(group, point, privKey, data, NULL,EC_GROUP_get_degree(group)); // 加法运算加密数据// ...// 解密数据unsigned char decrypted[DECRYPT_LENGTH]; // 解密长度与加密长度相同EC_POINT_free(point); // 释放临时生成的点对象point = EC_POINT_new(group); // 重新生成点对象BN_new(); // 重新生成随机数对象EC_POINT_mul(group, point, pubKey, NULL, NULL, NULL); // 加法运算解密数据，得到原始数据memcpy(decrypted, point->data, DECRYPT_LENGTH); // 将解密结果保存到数组中free(point); // 释放点对象```4. 签名和验证操作：使用OpenSSL库提供的相关函数进行操作，这里不再展示。
椭圆曲率密码算法
椭圆曲率密码算法
椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非对称加密算法，与RSA、D-H等加密算法相比，它需要的密钥短得多，同时安全性更高。
ECC最早由Koblitz和Miller独立发明，又因为它用到了椭圆曲线而得名。
椭圆曲线是在x和y坐标中定义的一类特殊的曲线，其数学定义形式为y²=x³+ax+b，其中a和b是曲线中特定的常数。
图像上看，这一曲线形状像一个传统的“椭圆”，但实际上它无论是长轴还是短轴，都是由某一个常数a和b所决定的。
而密钥生成的过程，可以如下所述：
1. 随机选择一条椭圆曲线E: y²=x³+ax+b
2. 随机选择一个基点G（记为P）作为公钥，其纵标在曲线上
3. 选择一个私钥d，计算Q=dP
4. 将P和Q作为公钥和私钥
在此基础上，可以执行加密和解密操作
加密：将明文m转换为一点P(x,y)，随机选择一个数k，计算C1=kP，C2=kQ+P，加密结果为(C1,C2)
解密：首先计算kP，然后计算C2-k(dC1)，得到明文m。
而安全性取决于曲线的选择和私钥的长度，在相同的密钥长度条件下，ECC的安全性比RSA高得多。
具体来说，当需要相同的密钥长度时，ECC提供了比RSA更高的安全性，并且它使用的密钥长度要短得多。
总的来说，ECC不仅适用于移动设备、物联网等对计算资源有限的场景，而且也是一种在普遍应用中的加密技术。
当前，它已被大量应用于银行、电子商务和安全应用领域。
因此，对椭圆曲线加密算法有更深的了解，对我们理解加密算法和信息安全有重要的意义。
椭圆曲线密码算法
安全协议的发展
标准化进程
推动椭圆曲线密码算法的标准化进程，制定相关的安全标准和规范 ，促进其在安全协议中的应用。
混合加密方案
将椭圆曲线密码算法与其他加密算法相结合，形成更为强大的混合 加密方案，提高安全协议的整体安全性。
安全协议的演进
随着网络威胁的不断变化，椭圆曲线密码算法将在安全协议的发展中 发挥重要作用，助力安全协议的不断演进和升级。
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椭圆曲线密码算法的优势
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安全性高
由于椭圆曲线离散对数问 题的难解性，椭圆曲线密 码算法被认为是目前最安 全的公钥密码算法之一。
密钥长度短
相对于其他公钥密码算法 ，椭圆曲线密码算法使用 的密钥长度更短，提高了 加密和解密的效率。
适用于多种应用
椭圆曲线密码算法适用于 多种安全应用，如数字签 名、密钥协商和数据加密 等。
对称加密算法
与对称加密算法相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，因为它们基于更复杂的数学问题。然而，对称加密算法的加 密和解密速度更快。
哈希函数
与哈希函数相比，椭圆曲线密码算法具有更高的安全性，并且可以用于数字签名和身份验证等场景。然而，哈希函数 是不可逆的，不能用于加密和解密。
公钥基础设施（PKI）
与PKI相比，椭圆曲线密码算法的安全性更高，并且具有更小的密钥长度。然而，PKI已经得到了广泛的 应用和标准化，具有更高的兼容性和互操作性。
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CATALOGUE
椭圆曲线密码算法的实际应用案例
数字签名
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数字签名
椭圆曲线密码算法可用于生成数字签名，确保数据完整性 和来源可追溯性。通过使用私钥对数据进行加密，生成数 字签名，接收者可以使用公钥进行验证，确认数据是否被 篡改或伪造。
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• 椭圆曲线普通方程： 椭圆曲线普通方程：
• 无穷远点 ∞(0,Y,0) 无穷远点O • 平常点(x,y)斜率 ： 斜率k： 平常点 斜率
Fx ( x, y ) = a1 y − 3x 2 − 2a 2 x − a 4 Fy ( x, y ) = 2 y + a1 x + a3
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•
公钥加密－ 公钥加密－私钥解密
C1 − kC 2 = M + rK − k (rG ) = M + r ( K − kG ) = M
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ECC密钥互换算法 密钥互换算法
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 上的椭圆曲线E、基点P∈ 双方公开选定有限域GF(2k)上的椭圆曲线 、基点 ∈E(GF(2k))， 双方公开选定有限域 上的椭圆曲线 ， n为P的阶，k为二进制位数 为 的阶 的阶， 为二进制位数 Alice随机选取 ，0≤x≤n 随机选取x， 随机选取 Alice发送 A=xP 发送k 发送 Bob随机选取 ，0≤y≤n 随机选取y， 随机选取 Bob发送 B=yP 发送k 发送 Alice计算：kAB=yKA=xyP 计算： 计算 Bob计算： kAB=xKB=xyP 计算： 计算
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射影平面
• 对普通平面上点 对普通平面上点(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z，Z≠0， ， ， ， ， 则投影为射影平面上的点(X:Y:Z) 则投影为射影平面上的点
– 例如：点(1,3)可投影为 例如： 可投影为(Z:3Z:Z)，可为 可投影为 ，可为(1:3:1),(2.3:6.9:2.3)等 等 – 对普通平面上的直线 对普通平面上的直线ax+by+c=0，同样变换，得到对应于射影平 ，同样变换， 面上的直线为aX+bY+cZ=0 面上的直线为 – 对平行线 对平行线aX+bY+c1Z=0和aX+bY+c1Z=0，易解得 和 ，易解得Z=0，说明无穷 ， 的座标为(X:Y:0) 远点 的座标为
2 3 2 2 3 1 3 2 4 6
– 椭圆曲线方程是一个齐次方程 – 曲线上的每个点都必须是非奇异的（光滑的），偏导 曲线上的每个点都必须是非奇异的（光滑的），偏导 ）， 不同为0 数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不同为 、 、 不同为
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– 则给定 和G，根据加法法则，计算 很容易 则给定k和 ，根据加法法则，计算K很容易 – 但反过来，给定 和G，求k就非常困难 但反过来，给定K和 ， 就非常困难 这就是椭圆曲线加密算法的数学依据 – 点G称为基点（base point） 称为基点 称为基点（ ） – k（k<n）为私有密钥（privte key） （ ） 私有密钥（ ） – K为公开密钥（public key) 为公开密钥（
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• ECC－椭圆曲线加密 Ellipse Curve Cryptography －
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无穷远点
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• 定义平行线相交于无穷远点 ∞，使平面上所 定义平行线相交于无穷远点P 有直线都统一为有唯一的交点 • 性质： 性质：
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• 有限域 p 有限域F
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有限域椭圆曲线示例
y 2 = x 3 + ax + b (mod p )
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• 椭圆曲线 p(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1] 椭圆曲线E 为质数， ∈ ， 为质数 • 选择两个满足下列约束条件的小于 的非负整数a、b 选择两个满足下列约束条件的小于p的非负整数 、 的非负整数
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Y 2 Z = X 3 + XZ 2 + Z 3
椭圆曲线示例
Y 2 Z = X 3 + XZ 2 + Z 3
y 2 = x3 + x + 1
Y 2 Z = X 3 − XZ 2
y 2 = x3 − x
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Y 2 Z = X 3 + XZ 2 + Z 3
4a 3 + 27b 2 ≠ 0 (mod p)
• 当p=23，a=b=1时，椭圆曲线: p=23，a=b=1时 椭圆曲线:
P＋Q
-P P
2P
Q
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P＋Q
-P P
2P
Q
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椭圆曲线点的阶
n，使得数乘nP=O∞（显然 ，使得数乘 显然(n-1)P=-P ）， 则将n称为 的阶 则将 称为P的阶 称为 • 若n不存在，则P是无限阶的 不存在， 不存在 是无限阶的
在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n都是存在的
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• 如果椭圆曲线上一点 ，存在最小的正整数 如果椭圆曲线上一点P，
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ECC保密通信算法 保密通信算法
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ Alice选定一条椭圆曲线 ，并取椭圆曲线上一点作为基点 选定一条椭圆曲线E，并取椭圆曲线上一点作为基点G 选定一条椭圆曲线 Alice选择一个私有密钥 （k<n），并生成公开密钥K=kG 选择一个私有密钥k（ ），并生成公开密钥 选择一个私有密钥 ），并生成公开密钥 Alice将E和点 、G传给 和点K、 传给 传给Bob 将 和点 Bob收到信息后，将待传输的明文编码到上的一点 （编码 收到信息后， 收到信息后 将待传输的明文编码到上的一点M（ 方法略），并产生一个随机整数 ），并产生一个随机整数r（ 方法略），并产生一个随机整数 （r<n） ） Bob计算点 1=M+rK和C2=rG 计算点C 计算点 和 Bob将C1、C2传给 传给Alice 将 Alice收到信息后，计算C1-kC2，结果就应该是点M，因为： 收到信息后，计算 结果就应该是点 ，因为： 收到信息后
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椭圆曲线加密
主要内容
• • • • • • 椭圆曲线加密概念 射影平面 椭圆曲线 椭圆曲线加法群 有限域椭圆曲线 椭圆曲线加密方法
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ECC概念 概念
– 基于椭圆曲线理论的公钥加密技术（1985） 基于椭圆曲线理论的公钥加密技术（ ） – 与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同， 与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同， ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥 通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥 – ECC 164位的密钥产生一个安全级，相当于 位的密钥产生一个安全级， 位的密钥产生一个安全级 相当于RSA 1024 位密钥提供的保密强度，而且计算量较小， 位密钥提供的保密强度，而且计算量较小，处理速度 更快， 更快，存储空间和传输带宽占用较少
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椭圆曲线加密
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• 考虑 考虑K=kG ，其中 、G为椭圆曲线 p(a,b) 其中K、 为椭圆曲线 为椭圆曲线E 上的点， 为 的阶 的阶（ ），k为小于 为小于n 上的点，n为G的阶（nG=O∞ ）， 为小于 的整数
A
B C= -C’
（a）
（b）
如果椭圆曲线上的三个点A、B、C处于同一直线上， 那么其和等于零元，即A+B+C=O∞
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同点加法
P + P + P = 2 P + P = 3P
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• 若有 个相同的点P相加，记作 若有k个相同的点 相加 记作kP 个相同的点 相加，
– 一条直线只有一个无穷远点；一对平行线有公共的无穷远点 一条直线只有一个无穷远点； – 平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线
– 任何两条不平行的直线有不同的无穷远点（否则会造成有两个交点） 任何两条不平行的直线有不同的无穷远点（否则会造成有两个交点）
P∞
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• 阿贝尔（Abel）加法群 阿贝尔（ ）
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（a）
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零元与负元
O∞（零元） C’=A+B y2-xy = x3+1 P
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• O∞与-P
P’= -P（负元）
（a）
（b）
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非椭圆曲线示例
Y 2Z = X 3 + X 2
Y 2Z = X 3
（a）
（b）
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椭圆曲线普通方程
y + a1 xy + a 3 y = x + a 2 x + a 4 x + a 6
• 一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯 特拉斯方程（ 特拉斯方程（Weierstrass）所有点的集合： ）所有点的集合：