2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(三)试题

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷?数学（理）（三）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =( )A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]2．已知i 是虚数单位，11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则|z|=（ ）A ．15B C ．125D 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9730S S -=，22a =，则2019a =（ ） A ．2017B ．2019C ．4036D ．40384．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．235．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(D ．()+∞6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．233π- B ．223π- C ．23π D ．413π- 7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（ ）A ．log 2log 2log 2x y z x y z >>B ．log 2log 2log 2y z x y z x >>C ．log 2log 2log 2x z y x z y >>D ．log 2log 2log 2y x z y x z >>9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．31B ．39C ．47D ．6010．已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(1,1)11．已知三棱柱111ABC A B C -的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．310B C ．710D 12．设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()y g x = ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(,1)()b m m =-∈R ，且(2)b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为______.14．已知91x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为212-，则实数a =______. 15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234··n n T a a a a a =⋅⋅⋅⋯，若72a =，1016a =，则满足n n S T >的最大正整数n 的值为______.16．某饮料厂生产A ，B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大，则m n +=_________.三、解答题17．在ABC 中，AB =D 为BC 上一点，且3BC BD =，2AD =. （Ⅰ）若30B =︒，ADB ∠为钝角，求CD 的长；（Ⅱ）若sin sin 3BAD CAD ∠=∠，求ABC 的周长. 18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下： 表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；()2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．19．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，BC CD ==E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE △为等边三角形．()1证明：AC BD ⊥；()2若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为3，求BE 的长．20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ，过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ，且4MA MB k k +=，求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离. 21．已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值. 23．已知函数()|31||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值.参考答案1．D 【分析】根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 【详解】解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．B 【分析】根据复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，求出||z 即可. 【详解】1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--，||z ==故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题. 3．C 【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，可得8930a a +=，结合22a =，建立1,a d 方程组，求解得到通项公式，即可求出结论. 【详解】由9730S S -=，得8930a a +=，所以121530a d +=， 又12a d +=，所以2d =，10a =， 所以02(1)22n a n n =+-=-， 所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 【点睛】本题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题. 4．B 【分析】设小三角形的边长为1642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=. 【详解】设小三角形的边长为1642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．A 【分析】求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】解：设(),0F c ，所以c =，直线OB 的方程为by x a=-， 直线BF 的方程为()b y x c a =-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0BO BA ⋅<，所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，13e ∴<<. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题. 6．B 【分析】由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 【详解】解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，，高为1，所以四棱锥的体积为12133=，半球的体积为322133ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为223π-. 故选：B. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力. 7．B 【分析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 【详解】易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 8．B 【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>， 又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ， 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>． 故选B ． 【点睛】本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 9．D 【分析】根据循环程序框图，循环计算到11n =时，输出T ，即可得出答案. 【详解】解：根据题意，0T =，1n =；8T =，2n =；84T =+，3n =；844T =++，4n =；8448T =+++，5n =；84480T =++++，6n =； 8448+012T =++++，7n =； 84480124T =+++++-，8n =； 8448012416T =+++++-+，9n =； 84480124168T =+++++-+-，10n =； 8448012416820T =+++++-+-+，11n =，故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选：D. 【点睛】本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力. 10．A 【分析】根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标，代入抛物线方程，求出p ，设点()11,P x y ，()22,Q x y 代入抛物线方程作差，得到PQ 斜率与12,y y 关系，即可求解.【详解】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为， 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 【点睛】本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，注意相交弦中点问题“点差法”的应用，属于中档题. 11．B 【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ， MN ∥12B 1C 1=OB ，则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =， 可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC =CA =CC 1，∵三棱柱111ABC A B C - 设BC =CA =CC 1=a ,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球，=a =2， ∴BC =CA =CC 1=2,CO =1,AO AN NO MB ====在△ANO 中,由余弦定理可得：2222AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅故选：B . 【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12．D 【分析】由已知可得()()f x x ωϕ=+，由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出()f x 的解析式，再有变换得出()g x ，再分别画出()g x与y =.【详解】解：设()()f x x ωϕ=+()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤， 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴， 且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心，由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心， 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=．4=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，y =,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-．所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示，4>时，163x π>-，所以()y g x =-7个．故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.13 【分析】由向量垂直的坐标关系，求出m ，再由向量的投影公式，即可求解. 【详解】根据题意，2(4,3)a b m -=-，(2)b a b ⊥-，(4)30m m ∴--=，1m ∴=或3m =，所以向量a 在b 方向上的投影为2||2a b b ⋅==2=.故答案为:2或2.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量的投影，考查计算求解能力，属于基础题. 14．2 【分析】求出二项展开式通项公式，得到3x 项的系数，建立a 的方程，求解即可. 【详解】99219911C C r rr r r r r T xx ax a --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由9233r r -=⇒=，得系数为339121C 2a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2a ∴=. 故答案为:2. 【点睛】本题考查二项展开式定理通项公式，熟记公式是解题关键，属于基础题. 15．12 【分析】根据已知求出{}n a 通项公式，进而求出,n n S T ，得到不等式21110*2221,n n n n N -+∈>+，等价转化为21110*222,n n n n N -+>∈，即211102n n n -+>，求解即可得出结论.【详解】根据题意，72a =，1016a =，2q ∴=，所以62n n a -=，记()1211221321232n n n n S a a a --=++⋯+==-， (11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=，由题意n n S T >，即(11)252122n n n-->， 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=，211102221n n n -+∴->，因此只需211102n n n -+>， 213100n n ∴-+<，131322n -+∴<<， 由于n 为整数，因此n最大为132+的整数部分，即为12. 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式，合理放缩是解题的关键也是难点，属于中档题. 16．7 【分析】设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩，画出可行域，结合已知，即可求得答案. 【详解】设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设B 饮料每桶利润为1，则目标函数为 1.5z x y =+，则 1.5y x z =-+，z 表示直线在y 轴上的截距，x ，y 只取整数，∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =，3n =时，z 取得最大值，故7m n +=. 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解． 17．（Ⅰ）4（Ⅱ）4+【分析】（Ⅰ）在ABD △中，根据正弦定理，结合ADB ∠范围，求出,ADB BAD ∠∠，即可求出结论；（Ⅱ）由已知可得12BAD CAD S S =△△，由sin sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式，求出4AC =，设BC x =，分别在,ADC ADB ∆∆中，用余弦定理表示,AC AB ，再由,ADC ADB ∠∠互补，建立x 的方程，求解即可. 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，2sin sin 30ADB ∴=∠︒，解得sin 2ADB ∠=， 则120ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，所以2AD BD ==， 所以24CD BD ==.（Ⅱ）由3BC BD =，得12BAD CAD S S =△△， 所以1sin 1212sin 2BAD CADAB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△，因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠，AB =4AC =，设BD x =由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠；2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠，22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠；222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠，可得3x =，所以BC =故ABC 的周长为4++【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 18．()115.75元；()2见解析，24.5. 【分析】()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=，重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，45X Y +=，2，9-，52-，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望． 【详解】解：()1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ，401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）．()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=． 重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=， 设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，则170302020X =--=，()23020300.923X =-++⨯=-， 设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，则190402525Y =--=，()24025400.929Y =-++⨯=-， 所以45X Y +=，2，9-，52-，则()450.90.70.63P X Y +==⨯=，()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=，()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=，所以其分布列为：根据题意，()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=． 【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19．()1证明见解析；()2BE =【分析】()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，证明BD ⊥平面AOC ，可得到结论；()2以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ECD和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论. 【详解】解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ， 因为ABD △是等边三角形，所以AO BD ⊥， 又因为BC CD =，所以CO BD ⊥，因为CO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ， 因为AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥．()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =， 所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF，OF =，EF =， 设EFO πθ∠=-，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-，311cos ,,22222CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0311cos sin 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 令1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭． 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =， 所以cos ,3OCn 〈〉==，22cos 1sin 2θθ∴= 所以cos θ=，sin θ=， 所以()1,1,1E 或()0,0,1E ．因为E 为三棱锥A BCD -外一点，所以()1,1,1E ，所以BE =【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）12- 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的对称性可得2b a =，再由1b =，即可求出椭圆1C 的方程； （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,A B 坐标关系，将4MA MB k k +=用坐标表示，化简得出,m k 关系，求出直线AB 过定点，当直线AB 斜率不存在时，求出其方程也过同一定点，即可求出结论.【详解】（Ⅰ）根据题意，1b =，又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直，所以sin 452b a ︒==，所以a =1C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，(),A A A x y ，(),B B B x y ，代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 所以2212A B km x x k -+=+，22112A B m x x k -⋅=+， 故1A MA A y k x -=，1B MB By k x -=， 所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-， ∴将12k m =-代入y kx m =+得：12k y kx =+-， 所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②当直线AB斜率不存在时，A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，24MA MB k k t+=+=-=， 解得12t =-，则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而点P 到点Q 1-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，相交弦问题注意根与系数关系的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.21．（Ⅰ）()ln f x x x =-（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出极大值，最大值，建立a 的方程关系，求解即可；（Ⅱ）12,x x 代入方程1ln 202x x +-=，整理得到1212122ln x x x x x x -=，进而有1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，01t <<，转化为证明112ln t t t ->，构造函数1()2ln h t t t t =--，根据函数单调性证明()0h t <即可.【详解】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(0)f x a x x '=->， 当0a 时，1()0f x a x'=->， 即函()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值.当0a >时，令1()0f x a x ，可得1x a =， 当10x a<<时，1()0ax f x x '-=>； 当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 所以ln 11a --=-，1a .故()ln f x x x =-. （Ⅱ）设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点， 所以111ln 202x x +-=，221ln 202x x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-， 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<， 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=. 构造函数1()2ln h t t t t =--，则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<，()0h t '>恒成立，故()(1)h t h <， 所以12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<， 因为ln 0t <，可知112ln t t t ->，故121x x +>.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明，构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．（1）22(3)16x y -+=（2）11【分析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换； （2）由（1）联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．【详解】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A 的直角坐标系为2)A ，点B 的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=， 代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.（2）由（1）联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)16-++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．23．（1）{|0x x ≤或1}x ≥.（2）4【分析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用基本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．【详解】（1）原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥，①当13x ≤时， 原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤；②当123x <<时， 原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥， 解得32x ≥， 2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知，不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.【点睛】本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。